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其中,，i>+b=0為所要求解的超平面,，w是超平面的法向量,，b是超平面的偏移量，C是懲罰因子,，(w,x_i)表示w和x_i的點集,，為了較準確地將兩類數(shù)據(jù)分開,，使用映射Φ：X→H將x從輸入空間X映射到一高維的特征空間H,。為便于計算,，選擇一個核函數(shù)k(x_i,x_j)=<Φ(x_i),Φ(x_j)>用于特征空間中點積的運算,。其Lagrange表達式為：　

　　這是由Vapnik提出的第一種支持向量機,，也被稱為C-SVM或標準支持向量機,。
2 代價敏感支持向量機
　　考慮兩類的分類問題,，類別分別為C⁺和C^-,，假定C+的錯分代價大于C^-的錯分代價,。為了解決分類中的代價不對稱問題，將分類算法SVM進行改造,，基本思想就是對C+錯分,、C^-錯分兩種錯誤分別引入不同的代價函數(shù),。這種方法等價于對誤分代價高的類使用更大的拉格朗日算子α_i，從而使分類平面遠離C⁺,，而靠近C^-,，使得未知數(shù)據(jù)被劃分為C+的概率更大，從而減小了分類中因錯分引起的損失,。
　　在支持向量機(SVM)中，原始問題為：
　　

　　在訓練過程中使用C⁺>C^-,，得到的分類器的決策平面靠近類別C^-,，使測試樣本更多地落在C⁺的區(qū)域中,，從而減小C⁺類的樣本錯分的可能性，但也加大了C^-類樣本被錯分的可能性,。因此需尋找合適的參數(shù),，使得兩類樣本的分類結果都盡可能地達到最優(yōu)。設兩類樣本的約束值的比值為：
　　s=C⁺/C^-
　　s值通常使用窮舉的方法來確定,，先固定C^-的值為C,，搜索最佳參數(shù)C⁺的值,，使得分類的錯誤代價最小,。
　　代價敏感支持向量機的主要思想就是通過改變兩類的懲罰因子C⁺和C^-的比值,，使得分類面向遠離錯分代價高的一類的方向移動,，從而使得樣本更大可能地被分為這一類，降低分類錯誤代價,，但提高某一類樣本的分類正確率總是以犧牲另一類的分類正確率為代價的。
3 屬性的權值
　　樣本屬性重要性的度量是屬性相關分析的主要內容,，在模糊集和粗糙集理論方面有許多的研究,。這里介紹常用的基于信息熵的屬性權值的計算方法[6]。
　　設有數(shù)據(jù)樣本集合S,，該樣本集有m個不同的屬性值和n個不同的類別,分別定義為A_i(i=1,…,m)和C_j(j=1,…,n),，s_i為C_i中的樣本數(shù),。根據(jù)概率分布和聯(lián)合概率分布以及信息論中熵和條件熵的定義,，對于一個給定的樣本分類問題所需的期望信息由下式給出：
　　
　　式中 p_i是樣本屬于C_j的概率,，其中 p_i=s_i/s,。
　　設屬性A有v個不同值{a₁,a₂,…,a_v},屬性A可將樣本集S劃分為v個子集{s₁,s₂,…,s_v},其中S_j為在屬性A上具有值a_i,，設s_ij為子集S_j中類C_i的樣本數(shù)。根據(jù)A的這種劃分的期望信息為：
　　　　

　　式中p_ij=s_ij/|s_j|,|s_j|是s_j中樣本屬于類C_i的概率,。
　　在屬性A上該劃分獲得的信息增益為：
　　δ=H(C)-E(A)
　　根據(jù)上面的計算得到每個屬性的權重系數(shù)為：
　　
　　從分析中知道,，該權重系數(shù)反應了樣本中各個屬性的重要程度,，權重系數(shù)值越大則該屬性越重要,，對分類的貢獻越大,。
在確定了樣本屬性重要度后,，就可以構造基于樣本屬性重要度的代價敏感支持向量機。
4 實驗結果
　　本文利用MATLAB軟件進行模擬實驗,，對＋1類和－1類的分類性能進行比較,，在三維空間中引入兩類不同的樣本：正類和負類，并引入了一定數(shù)量的噪聲和野值數(shù)據(jù),。為了驗證所提算法的有效性,，利用所提算法進行了一系列比較實驗。在實驗中,，模擬用的訓練樣本和測試樣本均隨機產生,，樣本數(shù)據(jù)情況如表1所示。

　　在實驗中考慮正類的錯分代價大于負類的錯分代價,，分別用C-SVM,、Cost-sensitive SVM和屬性加權的Cost-sensitive SVM進行性能測試，表2所示為分類準確率的比較,。由表2可見代價敏感支持向量機分類算法提高了錯分代價高的類別的分類精度,，在進行屬性加權后，總體的分類精度也得到了提高,。