朱艷平

　?。ㄐ抨栟r林學院 信息工程學院,，河南 信陽 464000）

　　摘要：混沌系統(tǒng)在圖像和視頻加密方面的應用研究日益增多。為了篩選出更適合應用于信息加密的混沌系統(tǒng),，對一維Logistic系統(tǒng),、四維廣義Henon系統(tǒng)、三維Lorenz系統(tǒng),、三維Rossler系統(tǒng),、四維Chen系統(tǒng)和四維CNN系統(tǒng)的混沌動力學行為特性進行比較，并提出密鑰變化率的計算方法,，以此為指標來衡量各混沌系統(tǒng)的密鑰敏感性,。仿真實驗結果表明，CNN系統(tǒng)表現(xiàn)出更為優(yōu)越的混沌動力學行為特性,，更適合應用于信息加密系統(tǒng)中,。

　　關鍵詞：混沌系統(tǒng)；性能比較,；自相關性,；互相關性；密鑰變化率

　　0引言

　　在網絡帶給人們便利的同時,，人們越來越重視信息的安全性,。隨著圖像、語音和視頻應用范圍的不斷擴大,，傳統(tǒng)的加密方法已不能滿足信息加密的需求,，于是混沌加密逐漸成為研究的熱點［1］。

　　混沌系統(tǒng)由于其遍歷性,、內隨機性,、分形結構、對初始值的敏感性,、軌道不穩(wěn)定性以及長期不可預測性等特點,，使其更適合應用于加密系統(tǒng)中［24］。目前應用于信息加密的混沌系統(tǒng)有很多,，本文從混沌吸引子,、混沌信號,、自相關性,、互相關性,、密鑰敏感性和密鑰空間六個方面對各種混沌系統(tǒng)的動力學行為特性進行比較，從而篩選出更適合應用于信息加密的混沌系統(tǒng),。

1各混沌系統(tǒng)數學模型

　　Logistic 系統(tǒng)的方程如式(1)所示［5］,，當3.569 946…≤u≤4時，該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),，這里取u=3.9,。

　　xn+1=uxn(1－xn)x0∈(0,1)u∈(0,4］(1)

　　四維廣義Henon混沌映射的數學模型如式(2)所示［1］，其中a=1.76,，b=0.1時,，該系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。

　　x1(k+1)=a－x3(k)2－bx4(k)

　　x2(k+1)=x1(k)

　　x3(k+1)=x2(k)

　　x4(k+1)=x3(k)(2)

　　Lorenz混沌系統(tǒng)的微分方程如式(3)所示［6］,，當σ=10,，ρ=28，β=8/3時,，該系統(tǒng)進入混沌狀態(tài),。

　　=－σx+σy

　　=ρx－y－xz

　　=－βz+xy(3)

　　Rossler系統(tǒng)的微分方程如式(4)所示［2］，當a=b=0.2,，c在4.2與9之間時,，該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，這里取c=5,。

　　=－y－z

　　=x+ay

　　=b+z(x－c)(4)

　　四維超混沌Chen系統(tǒng)的數學模型如式(5)所示 ［7］ ,，當a=35，b=7,，c=12,，d=3，0.085≤γ≤0.789時,，該系統(tǒng)為超混沌系統(tǒng),，這里γ的取值為0.5。

　　1=a(x2－x1)+x4

　　2=bx1－x1x3+cx4

　　3=x1x2－dx3

　　4=x2x3+γx4(5)

　　選擇合適的模板參數,，四維CNN超混沌系統(tǒng)的數學模型如式(6)所示［8］：

　　1=－x3－x4

　　2=2x2+x3

　　3=12x1－13x2

　　4=96x1－90x4+198f(x4)(6)

2各混沌系統(tǒng)動力學行為特性比較

　　2.1混沌吸引子

　　上述六種系統(tǒng)均可產生混沌吸引子,，均為混沌系統(tǒng)，其中四維Henon系統(tǒng),、四維Chen系統(tǒng)和四維CNN系統(tǒng)為超混沌系統(tǒng),，此處不再贅述。

　　2.2混沌信號

　　以混沌信號x1為例,，各系統(tǒng)所產生的混沌信號如圖1所示,，其中Logistic系統(tǒng)的混沌信號如圖1(a)所示,， Henon系統(tǒng)的混沌信號如圖1(b)所示，Lorenz系統(tǒng)的混沌信號如圖1(c)所示,，Rossler系統(tǒng)的混沌信號如圖1(d)所示,，Chen系統(tǒng)的混沌信號如圖1(e)所示，CNN系統(tǒng)的混沌信號如圖1(f)所示,。

　　圖1各系統(tǒng)所產生的混沌信號從圖1可以看出,，Logistic系統(tǒng)和Henon系統(tǒng)所產生的混沌信號呈現(xiàn)勻均分布的態(tài)勢，而Lorenz系統(tǒng),、Rossler系統(tǒng),、Chen系統(tǒng)和CNN系統(tǒng)所產生的混沌信號隨機特性不強，呈現(xiàn)局部現(xiàn)行化特點,，容易受AR 模型預測和相空間重構法的攻擊,。為了解決該問題，參考文獻［9］采用公式（7）對混沌信號進行處理,，使其變成均勻分布,。其中si為原始的混沌信號，s*i為處理后的混沌信號,，round表示四舍五入取整操作,。

　　s*i=si×102－round(si×102)(7)

　　2.3自相關性

　　以信號x1為例進行仿真研究，實驗結果表明：Logistic系統(tǒng)x1的自相關性在0.33~0.37的范圍內趨近于0,；Henon系統(tǒng)在0~0.4的范圍內趨近于0,；Lorenz系統(tǒng)在-20~40的范圍內趨近于0；Rossler系統(tǒng)在-14~14的范圍內趨近于0,；Chen系統(tǒng)在-20~20的范圍內趨近于0,；CNN系統(tǒng)在-0.75~0.9的范圍內趨近于0。故各混沌系統(tǒng)的自相關性從優(yōu)到劣的順利為：Logistic系統(tǒng),、Henon系統(tǒng),、CNN系統(tǒng)、Rossler系統(tǒng),、Chen系統(tǒng)和Lorenz系統(tǒng),。

　　2.4互相關性

　　以信號x1和x2為例進行仿真研究，實驗結果表明：由于Logistic系統(tǒng)只有一路混沌信號,，故無法對混沌信號的互相關性進行分析,。Henon系統(tǒng)x1和x2的互相關性在0~0.4的范圍內趨近于0；Lorenz系統(tǒng)在-20~40的范圍內趨近于0,；Rossler系統(tǒng)在-14~14的范圍內趨近于0,；Chen系統(tǒng)在-20~20的范圍內趨近于0；CNN系統(tǒng)在-0.5~0.5的范圍內趨近于0,。故各混沌系統(tǒng)的互相關性從優(yōu)到劣的順序為： Henon系統(tǒng),、CNN系統(tǒng),、Rossler系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)和Lorenz系統(tǒng),。

　　2.5密鑰敏感性

　　密鑰敏感性分為初始值密鑰敏感性和模板參數密鑰敏感性,。以密鑰變化率KCR(Key Change Rate)為指標對各混沌系統(tǒng)的密鑰敏感性進行分析，按下式計算密鑰的變化率：

　　KCR=∑ki=1Dif(key(i),key′(i))k

　　Dif(key(i),key′(i))=0key(i)=key′(i)

　　1key(i)≠key′(i)(8)

　　上式中的key(i)表示原密鑰所生成的第i個混沌序列值,，key′(i)表示將原密鑰作微小的改變后所生成的第i個混沌序列值,，k表示所生成的混沌序列值的個數,。KCR的值越大,，表示該系統(tǒng)的密鑰敏感性越強，反之越弱,。將各混沌系統(tǒng)的各個初始值密鑰作微小的改變,，使其相差10-16，取24 000*n個混沌值進行計算,，所得的密鑰變化率如表1所示,，其中n為混沌系統(tǒng)的維數。

　　從表1可以看出,，各混沌系統(tǒng)的初始值密鑰敏感性從優(yōu)到劣的順序為：Chen系統(tǒng),、CNN系統(tǒng)、Lorenz系統(tǒng),、Rossler系統(tǒng),、Logistic系統(tǒng)和Henon系統(tǒng)。模板參數密鑰敏感性分析與此類似,，此處不再贅述,。

　　2.6密鑰空間

　　若計算機浮點數的實現(xiàn)精度為16位有效數字，則各混沌系統(tǒng)的密鑰空間如下：一維Logistic系統(tǒng)為1032,，四維Henon系統(tǒng)為1096,，三維Lorenz系統(tǒng)為1096，三維Rossler系統(tǒng)為1096,，四維Chen系統(tǒng)為10144,，四維CNN系統(tǒng)為10640。從以上數據可知,，四維CNN系統(tǒng)的密鑰空間最大,，一維Logistic系統(tǒng)的密鑰空間最小。

3結論

　　本文從混沌吸引子,、混沌信號,、自相關性、互相關性,、密鑰敏感性和密鑰空間六個方面對各混沌系統(tǒng)的動力學行為特性進行比較,。從仿真實驗結果可知,，CNN系統(tǒng)具有密鑰空間最大、密鑰敏感性強,、自相關性和互相關性較好的優(yōu)點,，缺點是混沌信號不能呈現(xiàn)均勻分布，但可采用參考文獻［9］的方法進行處理,，以彌補其不足,。綜合分析，CNN超混沌系統(tǒng)表現(xiàn)出良好的混沌動力學行為特征,，更適合應用于混沌加密系統(tǒng)中,。

參考文獻

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