摘 要： 針對稱重儀表檢測電路中輸入與輸出值之間存在非線性關(guān)系的特性，在比較了幾種非線性校正方法的基礎(chǔ)上,，給出了一種易于微處理器實現(xiàn)的正交多項式的非線性校正方法,，求取稱重儀表檢測電路的非線性特征,，實現(xiàn)了稱重儀表的非線性校正,。同時討論了該算法的原理、校正參數(shù)的空間復(fù)雜度和算法的時間復(fù)雜度,，從而論證了此算法在簡單微處理器上的可用性,，并以3階多項式為例介紹了該算法的實驗效果。實踐表明,，該算法簡單實用,，效果較好。
關(guān)鍵詞： 正交多項式,；傳感器,；非線性校正
稱重儀表是電子衡器的心臟部件，它融合了當(dāng)今先進的信息技術(shù)和計算機技術(shù),，在工業(yè)過程控制和貿(mào)易結(jié)算等方面得到了廣泛應(yīng)用,。隨著微型計算機技術(shù)和嵌入式系統(tǒng)的迅速發(fā)展，現(xiàn)代測控系統(tǒng)對稱重儀表準(zhǔn)確度,、穩(wěn)定性和工作條件等方面提出了更高的要求,。然而，由于電子元器件性能參數(shù)的離散性,、穩(wěn)定性和敏感性等因素的影響,，使得壓力傳感器的反饋信號X和被測物體的質(zhì)量Y不是標(biāo)準(zhǔn)的線性關(guān)系。因此,，需要對稱重儀表增加非線性校正環(huán)節(jié),。
非線性校正可以通過模擬電路來實現(xiàn)，但是模擬電路的接入不但增大了儀表的體積和成本,，而且還會帶來新的非線性因素,。隨著智能化儀表的發(fā)展，軟件非線性校正方法得到了廣泛應(yīng)用,。目前,，非線性校正方法主要有遺傳算法[1]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[2],、支持向量機法[3],、插值法[4]、函數(shù)擬合法等,，這些方法取得了良好的校正效果,，但是由于算法的復(fù)雜性對稱重儀表的處理器速度和存儲器容量提出更高要求,，使得其中一些算法在普通的智能儀表中實現(xiàn)困難。鑒于這個原因,，參考文獻[5]和參考文獻[6]分別采用了分段插值法和最小二乘法擬合曲線函數(shù)達到了較好的效果,。然而分段插值法雖然算法簡單，但是需要保存的浮點數(shù)參數(shù)隨著插值節(jié)點的增加而增多,，對于存儲空間有限的稱重儀表來說浪費了過多的資源,；最小二乘法擬合曲線函數(shù)雖然算法成熟，需保存的參數(shù)也不多,，但是在工程實踐中經(jīng)常會出現(xiàn)參數(shù)差異較大的病態(tài)方程,，使得出的數(shù)據(jù)不可靠。本文基于正交多項式構(gòu)造了一個稱重儀表的非線性校正系統(tǒng),，既降低了曲線擬合算法的運算復(fù)雜度,，又節(jié)省了存儲空間，提高了稱重儀表的可靠性和穩(wěn)定性,。
1 稱重儀表的非線性校正原理
如圖1所示,，稱重儀表由稱重壓力傳感器、放大電路,、濾波器,、采樣保持器、A/D轉(zhuǎn)換電路,、微處理器及相關(guān)附屬配件組成,。其中，微處理器和A/D轉(zhuǎn)換電路是稱重儀表的核心部件,，負(fù)責(zé)將壓力傳感器反饋的模擬量轉(zhuǎn)換為數(shù)字量,，同時，依據(jù)計量算法將此數(shù)字量轉(zhuǎn)換成稱重物體的稱重值,。
軟件實現(xiàn)稱重儀表的非線性校正就是在測量系統(tǒng)中為被測物重量與電信號輸出之間構(gòu)造理想的非線性函數(shù)關(guān)系,。假設(shè)被測物體的質(zhì)量為m，傳感器及其采集電路的電信號輸出為v,，其校正模型表示為v=g（m）,。在A/D轉(zhuǎn)換之后增加一個由微處理器實現(xiàn)的非線性校正環(huán)節(jié)y=f（v），使補償后的輸出y與被測質(zhì)量u之間具有良好的線性特征,，即：
Y=u=g-1（m）（1）
由式（1）可知,，當(dāng)非線性校正環(huán)節(jié)為稱重儀表的反函數(shù)時，則可實現(xiàn)稱重儀表輸出的非線性校正,。由于g（m）函數(shù)具有高度的非線性,，因此f（v）很難直接獲得。本文利用正交多項式構(gòu)造了稱重儀表的擬合函數(shù)，實現(xiàn)了稱重儀表的非線性校正,。
2 正交多項式的非線性校正原理
稱重儀表的非線性特征可以用m次多項式的非線性曲線來逼近,，該多項式方程通過構(gòu)造正交多項式[7]來獲得。對于稱重儀表通過靜態(tài)實驗標(biāo)定獲得的數(shù)據(jù)點（xi,，yi）（i=1,，2，…,，n）,，此處x為稱重儀表通過A/D轉(zhuǎn)換后獲得的數(shù)字量，y為稱重值,，選取一組在這些點上的正交的多項式函數(shù)系{Qi（xi）,，j=0,，1,，…，m}作為基函數(shù)組,，其中Qi（xi）是j次多項式,。擬合多項式記為：
式（4）中，k,，j=0,，1，…,，m,，一般m遠(yuǎn)小于n。
根據(jù)格拉姆-施密特正交化方法,，構(gòu)造給定點上的正交多項式Qj（x）（j=0,，1，…,，m-1）的方法如下：
Q0（x）=1Q1（x）=（x-?琢0）Qj+1（x）=（x-?琢j）Qj（x）-?茁jQj-1（x）（5）
其中：
通過以上遞推公式,，可以將式（2）推導(dǎo)為m次多項式的一般形式：
將q0Q0（x）項展開后累加到式（7），得：
當(dāng)j=1時,，令Q1（x）=t0+t1x,，顯然，t0=0,，t1=1,。由遞推公式（3）得：
將q1Q1（x）項展開后累加到多項式（7）中，即有：
a0+q1t0?圯a0
q1t1?圯a1
對于j=2,，3,，…，m，逐步遞推Qj（x）,，根據(jù)式（5）有：
3 算法設(shè)計
3.1 校正方程參數(shù)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和空間復(fù)雜度
由式（7）可知,，m階正交多項式的非線性校正方程常駐內(nèi)存參數(shù)由m+1個多項式系數(shù)組成，即a0,，a1,，…，am,，在算法中將這些參數(shù)定義為一個數(shù)組a[0],，a[1]，…,，a[m],。在稱重儀表稱重過程中實時用到這些參數(shù)進行非線性校正。如果使用3階正交多項式,，只需要4個浮點數(shù),，一般的微處理器完全可以支持。
由式（14）可以看到,，m階多項式系數(shù)的計算過程中還需要3個長度為m+1的數(shù)組（即公式中的s,、t、b）作為臨時輔助變量,，在算法中,，分別定義為s[m]、t[m],、 b[m],，其中m=0，1,，…,，m，共需3×（m+1）個浮點數(shù),。此外,，通過算法優(yōu)化，可以將式（3）和式（6）中的3個長度為m+1的參數(shù)值（即公式中的α,、β,、q）縮減為3個變量重復(fù)使用，在算法中定義為α,、β,、q三個浮點數(shù)。
同時,，由遞推公式（3）和（6）,，n個數(shù)據(jù)采樣點也要占用2n個浮點數(shù)分別存放采樣值x和稱重值y作為臨時變量,。在算法中定義為長度為n的數(shù)組x[n]、y[n],。
綜上所述,，構(gòu)造n個采樣點的m階正交多項式所需臨時變量的空間復(fù)雜度為：
2n+3（m+1）+（m+1）+3
由此計算，如果構(gòu)造10個采樣點的3階正交多項式,，構(gòu)造過程共需39個浮點數(shù),，其中，臨時變量35個,，常駐內(nèi)存變量4個,。如果微處理器的存儲內(nèi)存資源不能達到要求，可以用離線方式構(gòu)造正交多項式,，只將多項式系數(shù)保存在稱重儀表中在線使用,。
3.2 正交多項式校正算法流程和時間復(fù)雜度
以下給出m階正交多項式算法流程，其中m≥3,。
算法預(yù)備：通過稱重儀表靜態(tài)標(biāo)定,，獲取n個采樣點（xi，yi）分別存入數(shù)組x[n],、y[n],，并定義其他上述相關(guān)變量,。
?。?）當(dāng)j=0時，依據(jù)式（8）求取式（2）中的q0,，并且將q0的值放入多項式系數(shù)a[0]中保存,，依據(jù)式（9）計算α0并保存到α中，令b[0]=1,。
?。?）當(dāng)j=1時，t[0]=-α0,，t[1]=1,。依據(jù)式（10）~式（12）計算式（2）和式（5）的α1、β1,、q1并分別保存到變量α,、β、q中,。同時,，更新多項式系數(shù)a[0]=a[0]-α×q，a[1]=q,。
?。?）當(dāng)j=2，3，…,，m時,，依據(jù)式（14）和式（15）依次進行以下運算和變量更新：
①s[j]=t[j-1],；
?、趕[j-1]=-α×t[j-1]+t[j-2]；
?、郛?dāng)j≥3時,，依次對k=j-2，j-3,，…,，1進行如下運算：
s[k]=α×t[k]+t[k-1]-β×b[k]；
?、躶[0]=-α×t[0]-β×b[0],；
⑤當(dāng)k=j-1,，j-2,，…，0時,，由式（3）,、式（6）計算當(dāng)前的αj、βj,、qj并分別保存到變量α,、β、q中,，在下一次循環(huán)中使用,；
⑥當(dāng)k=j-1,，j-2,，…，0時,，更新如下變量：b[k]=t[k],； t[k]=s[k]；
?、哂墒剑?5）,，更新多項式系數(shù)a[j]=q×s[j]；
?、嘤墒剑?5）,，更新當(dāng)k=j-1,，j-2，…,，0時多項式系數(shù)a[k]=q×s[k]+a[k],。
（4）保存正交多項式系數(shù)a[0],，a[1],，…，a[m],。
可以看出,，構(gòu)造正交多項式的時間復(fù)雜度主要集中在步驟（3）。其中,，計算①,、②、③中s[j]的累計時間復(fù)雜度為（m+2）（m-1）/2,，⑥,、⑦、⑧的計算可放在同一循環(huán)中,，其時間復(fù)雜度為（m+2）（m-1）/2,。除此之外，計算⑤中αj,、βj,、qj還需要n（m+2）（m-1）/2次的運算?？偟臅r間復(fù)雜度為：
?。╪+1）（m+2）（m-1）/2
當(dāng)用10個采樣點構(gòu)造3階正交多項式時，其時間復(fù)雜度為55,，這個值對于一般的微處理器來說完全可以支持。
4 實驗結(jié)果分析
4.1 實驗方案
為了檢驗正交多項式對稱重儀表輸入電壓值u和重量值x的實際逼近效果,，實驗分兩步進行：
?。?）選取0~380 kg作為稱重儀表的量程，每隔40 kg測量一次,，一共獲得10個數(shù)據(jù)作為數(shù)據(jù)標(biāo)定點（xi,，ui），結(jié)果如表1所示,。用這10個采樣點構(gòu)造3階正交多項式,，獲得多項式系數(shù)。
?。?）以20 kg為間隔,，在0~380 kg之間測量電壓值作為測試點,，共獲得20個測試點并代入正交多項式進行檢驗（結(jié)果如表2所示）。
最后計算所有測試點的相對誤差,，分析實驗結(jié)果,。
4.2 實驗結(jié)果
由表1所列的數(shù)據(jù)標(biāo)定點，按照正交多項式構(gòu)建方法求得正交多項式系數(shù)為：a0=12.8278,，a1=1.2659,，a2= -4.3691×10-5，a3=-2.8491×10-8,，從而求得此稱重儀表非線性校正環(huán)節(jié)的表達式為：
w（u）=-12.8278+1.2659u-4.3691×10-5u2-2.8491×10-8u3（16）
將表2中的20個測試值ui代入式（16）,，求得實際測量值wi，從表2可以看出,，最大誤差為0.283,，最小誤差為-0.005，誤差的算術(shù)平均值為0.003,。
圖2是根據(jù)相對誤差計算公式式（17）繪制的各稱重測試點相對誤差直方圖,。從圖中可以看出，所有試驗點的相對誤差均未超過1%,，19個相對誤差測試點中,，相對誤差最大的是稱重載荷最小的點，其相對誤差是 0.9%,，其次是第二個測試點,，相對誤差是0.3%，其他測試點的相對誤差逐漸減小,，最大不超過0.2%,，平均相對誤差0.03%，當(dāng)稱重載荷大于300 kg時相對誤差小于 0.01%,，其精度完全符合測試要求,。從相對誤差的變化趨勢上看，當(dāng)稱重載荷質(zhì)量較小時,，相對誤差較大,；稱重載荷越大，相對誤差呈鋸齒狀減小,。這說明正交多項式與稱重儀表的實際值很接近,，誤差值很平均，稱重越重,，相對誤差就越小,。因此，在精度要求較高時,，正交多項式校正算法更適用于接近滿量程的應(yīng)用,。
δ=?駐k/xi×100%（17）
本文針對稱重儀表采集信號輸入和稱重值輸出呈非線性特征,，在稱重系統(tǒng)中加入了由軟件方法實現(xiàn)的非線性校正環(huán)節(jié)，利用正交多項式擬合法進行了非線性補償,。實驗結(jié)果表明,，稱重儀表通過非線性校正之后最大相對誤差小于1%，稱重越大,，相對誤差越小,，其校正效果能達到實際需要。
實際應(yīng)用中也表明,，正交多項式非線性校正技術(shù)算法簡單可靠,、運算過程中所需存儲器容量較小，易于在只配備簡單微處理器的稱重儀表中實現(xiàn),。在實際應(yīng)用中提高了稱重計量準(zhǔn)確性和靈敏度,，降低了誤差，具有廣泛的應(yīng)用價值,。
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