摘  要： 為了提高刀具預(yù)調(diào)測量儀的檢測精度,，提出了一種改進(jìn)的圖像快速亞像素邊緣檢測算法——基于正交多項式擬合的亞像素邊緣檢測算法。首先,，利用傳統(tǒng)的Sobel算子完成邊緣點整像素級別的檢測,，確定邊緣的主體區(qū)域；然后,，過邊緣點沿邊緣法線方向拓展像素,，取一系列像素點并計算其灰度值；最后根據(jù)像素點灰度分布的數(shù)學(xué)特征,，利用正交多項式和最小二乘法求擬合函數(shù),，通過擬合曲線確定圖像邊緣點的精確位置，實現(xiàn)圖像亞像素邊緣檢測,。實驗證明,，該算法運行時間短，約為0.63 s,；檢測精度高,，可達(dá)0.1 pixels。

　　關(guān)鍵詞： 邊緣檢測,； 亞像素,； Sobel；正交多項式,； 曲線擬合

0 引言

　　在機械加工時,，刀具的幾何參數(shù)對數(shù)控機床的生產(chǎn)效率和加工質(zhì)量有著重大影響，因此,，刀具必須在使用前明確其精確參數(shù),。目前，國內(nèi)常用的刀具測量方法,，如機械式測量法,、光學(xué)投影法等已無法滿足現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)的要求，以圖像處理為核心的圖像測量技術(shù)具有高精度,、高效率,、非接觸和自動化程度高等優(yōu)點，能實現(xiàn)對刀具參數(shù)的精確檢測,。圖像測量技術(shù)的實質(zhì)是提取刀具精確的輪廓邊緣,，邊緣檢測是圖像處理的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。傳統(tǒng)的邊緣檢測算法，如Sobel算子,、Canny算子,、LOG算子等雖然其形式簡單，易實現(xiàn),，速度快,，但檢測精度不理想，僅能達(dá)到整像素級別,，且對噪聲特別敏感,，常產(chǎn)生偽邊緣。欲提高檢測系統(tǒng)的精度,，通過優(yōu)化算法的軟處理比提高系統(tǒng)硬件分辨率的硬處理更加實用,、有效[1]。

　　提出一種改進(jìn)的圖像亞像素邊緣檢測算法,，利用傳統(tǒng)的Sobel算子和五次正交多項式最小二乘擬合原理實現(xiàn)邊緣精定位,。

1亞像素邊緣檢測算法理論

　　1.1邊緣主體區(qū)域粗定位

　　Sobel算子既能確定邊緣點的位置和方向，還能根據(jù)像素點上下,、左右鄰點的灰度加權(quán)差,，對噪聲具有平滑作用，能提供較好的圖像邊緣信息,，所以在邊緣主體區(qū)域粗定位時選用Sobel算子,。Sobel算子是一種梯度幅值，其表現(xiàn)形式為：

　　其中,，M（x,，y）是像素點灰度值，Sx,、Sy分別是邊緣點橫向,、縱向的檢測灰度值。當(dāng)M（x,，y）大于給定的閾值時,，可確定點（x，y）為邊緣點,，并根據(jù)Sx,、Sy判斷梯度方向，=arctan（Sy/Sx）,。從圖1可以看出,，Sobel算子對邊緣主體區(qū)域粗定位有很好的效果[2]。

　　1.2 邊緣亞像素精定位

　　CCD是光強積分器件,，在CCD采樣過程中,，物空間突變的灰度在光學(xué)成像后會成為漸變的形式,。如圖2（a）所示，圖像兩側(cè)分別表示背景和物體各自內(nèi)部的灰度變化情況,，兩者之間表示圖像邊緣附近的灰度變化情況,；如圖2（b）所示,，沿邊緣法線方向,，物體與背景內(nèi)部區(qū)域的灰度差分值微小，而邊緣附近的灰度差分最大,，這就是經(jīng)典邊緣提取的理論,。

　　以上述理論為基礎(chǔ)，對過粗定位所得邊緣點,，沿邊緣法線方向拓展像素,，得到一系列過邊緣線的像素點，求得這些點對應(yīng)的灰度值,，然后根據(jù)這些點灰度分布的數(shù)學(xué)特征,，利用五次正交多項式最小二乘法擬合原理求得擬合函數(shù)與曲線，再根據(jù)擬合曲線確定圖像邊緣亞像素點的位置,，從而實現(xiàn)邊緣點的亞像素精確定位,，這就是本文改進(jìn)的亞像素邊緣檢測算法的原理。

　　1.2.1 正交多項式擬合函數(shù)

　　在實際應(yīng)用中,，要在保證檢測精度的前提下盡可能地縮短運算時間,，從而提高運算效率，因此選擇適當(dāng)數(shù)量的邊緣點是十分重要的,。選點過多會增加運算時間,，降低效率；選點過少會降低檢測精度,，定位不準(zhǔn),。綜合以上因素，本課題選取5個像素點,，橫坐標(biāo)x代表像素值,，其取值分別設(shè)為-2、-1,、0,、1、2,，其縱坐標(biāo)y代表各點對應(yīng)的灰度值,。根據(jù)施密特正交化公式[3]可得正交基函數(shù)，如式1所示,。

　　為了能取得較理想的擬合效果,，選取[G0（x）,，G1（x），G2（x）,，G3（x）,，G4（x），G5（x）]為基底進(jìn)行擬合,，擬合函數(shù)方程為：

　　F5（x）=a0·G0（x）+a1·G1（x）+a2·G2（x）+a3·G3（x）+a4·G4（x）+a5·G5（x）（2）

　　其中,，a0、a1,、a2,、a3、a4,、a5是五次正交多項式函數(shù)的未知系數(shù)[4],。

　　假設(shè)任一坐標(biāo)點（xi，yi）的橫,、縱坐標(biāo)隨機誤差分別為pi,、qi，則實測點坐標(biāo)到擬合曲線的距離殘差為：

　　全部點到曲線的距離殘差平方和為：

　　求取式（4）最小值min（S）時,，根據(jù)正交多項式最小二乘法擬合原理推導(dǎo)得系數(shù)為：

　　直接使用式（5）求多項式系數(shù)計算量大,，較困難，且不能直觀體現(xiàn)各變量之間的內(nèi)在規(guī)律與聯(lián)系,，因此對公式進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化為如下更直觀的矩陣表達(dá)式：

　　由式（6）可求得多項式系數(shù)值：

　　將式（7）代入式（2）得擬合函數(shù)F5（x）：

　　1.2.2 計算圖像邊緣位置

　　根據(jù)亞像素邊緣檢測原理可知,，擬合函數(shù)表達(dá)式F5（x）是以點的灰度值為基本元素求得的。從數(shù)學(xué)意義上來講,，F(xiàn)5（x）描述了圖像邊緣線的情況,，而函數(shù)一階微分

　　則描述了邊緣線變化程度的情況，即點的灰度值變化率的情況,。那么,，函數(shù)二階微分

　　則描述了點的灰度值變化率的變化情況。

　　由以上分析可知,，亞像素點的位置就是點的灰度值變化率變化最大的位置,，依據(jù)極值求解條件，將函數(shù)F5（x）對x求二階微分并令其等于零,，即

　　求得x的數(shù)值即是亞像素點的位置,。

2 亞像素邊緣檢測算法的實驗

　　利用Visual C++6.0語言在MATLAB V201b2軟件平臺編寫Sobel算子和本文改進(jìn)的算法程序?qū)崿F(xiàn)對圖像的數(shù)字處理。

　　實驗1 算法抗噪性能研究

　　圖像信噪比等于信號與噪聲的功率譜之比,。由此可知,，邊緣點的檢測精度與噪聲成負(fù)相關(guān)關(guān)系。分別用兩種算法處理圖像,，效果如圖3所示,?？梢钥闯觯疚乃惴ㄅcSobel算子相比同樣具有完整且較細(xì)的邊緣,，但前者生成的噪點明顯更少,，因而具有更好的抗噪聲性能。

　　實驗2 算法檢測精度研究[5]

　　制作了尺寸為100×100的二值化圖像,，如圖4所示,。白色矩形所在區(qū)域的灰度值為0，其余背景灰度值為255,，底邊在圖像第20行,、第20~80列位置上,。首先提取了部分邊緣點理論坐標(biāo)值,，再使用改進(jìn)的算法處理圖像并提取了相應(yīng)邊緣點的亞像素坐標(biāo)檢測值，如表1所示,。通過分析與計算可知改進(jìn)算法的檢測精度,。

　　以單個像素點坐標(biāo)理論值與檢測值的坐標(biāo)差值作為算法偏差，經(jīng)計算可得其標(biāo)準(zhǔn)偏差約為0.1 pixels,。

　　實驗3 算法時間研究

　　取尺寸為1 600×1 455的同一圖像在同一實驗平臺進(jìn)行多次測試,，得到多組運行時間，如表2所示,。為了提高數(shù)據(jù)的可靠性,，首先從數(shù)據(jù)中去掉一個最小值和一個最大值，再求取其他組的平均值作為運行時間,。經(jīng)計算,，Sobel處理時間約為0.34 s，本文算法的處理時間約為0.63 s,。

3 結(jié)束語

　　從理論分析與仿真實驗可以看出,，本文改進(jìn)的亞像素邊緣檢測算法具有抗噪性能強、檢測精度高,、運行速度快的優(yōu)點,，主要適用于對處理速度和檢測精度要求較高的機器視覺檢測系統(tǒng)，而且已試用于數(shù)控機床刀具預(yù)調(diào)測量儀,，極大地提高了數(shù)控機床的效能,，運行穩(wěn)定、可靠,。

　　參考文獻(xiàn)

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　　[3] 王新民，術(shù)洪亮.工程數(shù)學(xué)計算方法[M].北京：高等教育出版社,，2005.

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　　[5] PERKINS W A. INSPECTOR： a computer vision system which Learn to inspect parts[C]. IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence，PAMI-5,，1983：584-592.