0 引言

    隨著無人機(jī)技術(shù)的不斷完善,，無人機(jī)的應(yīng)用越來越廣泛。如何使無人機(jī)在規(guī)劃的某片區(qū)域中尋找出一條從起始點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)既安全又滿足相應(yīng)約束條件且所花費(fèi)代價最小的航跡一直是研究的熱點(diǎn)^[1],。標(biāo)準(zhǔn)解決航跡規(guī)劃問題的順序是按照預(yù)先選定好的航跡代價函數(shù),，通過一定的搜索算法，選出總的代價函數(shù)值最小的路線作為規(guī)劃出的航跡^[2-3],。

    在路徑規(guī)劃中,，常用的搜索算法有A*算法、動態(tài)規(guī)劃法,、Dijkstra算法,、遺傳算法等。在這些算法中,，由于A*算法計(jì)算簡單,，算法實(shí)現(xiàn)容易且在理論上能夠保證規(guī)劃出的路徑全局最優(yōu)，因此得到廣泛應(yīng)用^[3],。但是把A*算法應(yīng)用在航跡規(guī)劃中搜索空間將急劇增加,，由此導(dǎo)致收斂時間變長，所需內(nèi)存空間增加,。針對這個問題,，本文提出把無人機(jī)的機(jī)動限制結(jié)合到搜索空間中從而縮小搜索空間，同時對A*算法中的open表的管理進(jìn)行改進(jìn),，以提高收斂時間,，縮小內(nèi)存使用量。

1 改進(jìn)A*算法實(shí)現(xiàn)航跡規(guī)劃

    航跡規(guī)劃的本質(zhì)是在規(guī)劃的區(qū)域內(nèi),，在給定的約束條件下尋找一條從起點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的最優(yōu)或次優(yōu)的飛行航跡,。傳統(tǒng)的規(guī)劃算法是基于預(yù)先確定的航跡代價函數(shù)生成一條具有最小代價的航跡^[4-5]。然而,，在許多應(yīng)用中,，這樣得到的最小代價的航跡并不能滿足實(shí)際需求。在實(shí)際應(yīng)用中,，航跡規(guī)劃需考慮無人機(jī)的機(jī)動性能,、碰撞概率、飛行時間等約束條件,，同時由于無人機(jī)航跡規(guī)劃的地域廣闊,，因此形成的搜索空間大,。通常的搜索算法要獲得一條最優(yōu)航跡需要很長的收斂時間和極大的內(nèi)存空間，所以在實(shí)際應(yīng)用中需對搜索算法進(jìn)行相應(yīng)的改進(jìn),。由于A*算法計(jì)算速度快,、實(shí)現(xiàn)容易且能達(dá)到全局最優(yōu)的特點(diǎn)，因此選擇對A*算法進(jìn)行改進(jìn),，使其適用于無人機(jī)航跡規(guī)劃,。

1.1 改進(jìn)A*算法

    無人機(jī)由于受機(jī)動性能、最小飛行距離,、航跡距離,、飛行高度等的約束，通過A*規(guī)劃出來的航跡不一定能夠滿足無人機(jī)的實(shí)際飛行條件,。在擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)時通常把相關(guān)的約束條件結(jié)合到搜索算法中,，這樣既有效減少了搜索空間，也縮短了規(guī)劃所需的時間,。無人機(jī)飛行時為達(dá)到最佳狀態(tài)一般需要滿足的約束條件有：最小飛行距離,、最大拐彎角、最大爬升/下滑角,、最長飛行距離,、最低離地高度^[6]。

    假設(shè)給定了起始點(diǎn)和目標(biāo)位置,，一條從起始位置到當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的航跡,，最小航跡段長度為L，最大拐彎角為φ,，最大爬升/下滑角為θ,，則從當(dāng)前位置在最小飛行距離、最大拐彎角以及最大爬升/下滑角的約束條件下能夠到達(dá)的就只有有限的位置空間,。如圖1所示,，節(jié)點(diǎn)o處的縱向的張角為2θ₂,，在水平面上的張角為2θ₁,，扇面的半徑為最小飛行距離。

    圖1是未經(jīng)離散化的可搜索空間示意圖,。在離散規(guī)劃空間時,，柵格的邊長長度為無人機(jī)的最小飛行距離。把規(guī)劃空間離散化后結(jié)合無人機(jī)的約束條件可縮小算法搜索空間,。無人機(jī)飛行是有方向性的,，在進(jìn)行當(dāng)前節(jié)點(diǎn)擴(kuò)展時，飛行反方向的節(jié)點(diǎn)以及垂直于該飛行方向的鄰接節(jié)點(diǎn)都可以裁剪掉,。這樣在水平方向上的最大拐彎角就可以限制在3個搜索空間中,，垂直方向上的最大爬升/下滑角也同樣可以限制在3個搜索空間中,，這樣把擴(kuò)展當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的后繼節(jié)點(diǎn)的搜索空間縮小為9個。如圖2所示,，B節(jié)點(diǎn)是當(dāng)前新擴(kuò)展節(jié)點(diǎn),，A點(diǎn)是B點(diǎn)的父親節(jié)點(diǎn)，C點(diǎn)為新擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)的鄰接計(jì)算節(jié)點(diǎn),。

    在三維空間中,，每個柵格都是一個立方體，在水平剖面和豎直剖面上都要滿足最小步長,、最大拐彎角和最大爬升/下滑角,。但是在實(shí)際控制中，最大轉(zhuǎn)彎角和最大爬升/下滑角可以通過一定的關(guān)系轉(zhuǎn)換,，轉(zhuǎn)化為其他直接控制的參數(shù)來滿足要求,。下面就分別對水平面和豎直平面進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

1.1.1 水平面關(guān)系轉(zhuǎn)化

    假設(shè)無人機(jī)當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,，y,，z)，新擴(kuò)展的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為(x₁,，y₁,，z₁)，航跡偏角為θ,，航跡傾斜角為β,，轉(zhuǎn)彎半徑為R，最大側(cè)向過載為N_ymax,，S₁,、S₂分別為水平面上兩節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展步長。三維航跡規(guī)劃是基于地球坐標(biāo)系,，水平方向是通過改變航向來躲避障礙物,，因此在水平方向上的轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖3所示。

    根據(jù)圖3的幾何關(guān)系可知新擴(kuò)展的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為：

1.1.2 縱向關(guān)系轉(zhuǎn)化

    無人機(jī)的縱向機(jī)動性能主要受到最大爬升/下滑角的限制,。在低空飛行時,，可以通過對地形坡度的限制來達(dá)到對最大爬升角的限制。

    如圖4所示,，假設(shè)當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的空間坐標(biāo)為(x_i,，y_i，z_i),，待擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)的空間坐標(biāo)為(x_i+1,，y_i+1，z_i+1),，兩節(jié)點(diǎn)之間的距離為l,，其爬升角為β,，則由幾何關(guān)系可知：

1.1.3 對open表結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)

    由于在進(jìn)行節(jié)點(diǎn)擴(kuò)展尋找最優(yōu)航跡時頻繁地對open表中的節(jié)點(diǎn)執(zhí)行插入、刪除,、排序操作,，同時open表中的節(jié)點(diǎn)數(shù)目也相對較多，每次執(zhí)行插入,、刪除操作后都需要對open表進(jìn)行排序,。順序存儲結(jié)構(gòu)執(zhí)行插入、刪除,、排序操作均較費(fèi)時,。執(zhí)行插入、刪除操作的時間復(fù)雜度是O(n),，排序的時間復(fù)雜度為O(n²),。由于在搜索時從open表中刪除的是代價值最小的節(jié)點(diǎn)，而open表是按照節(jié)點(diǎn)代價值大小來組成的有序表,，因此實(shí)際在執(zhí)行刪除操作時的時間復(fù)雜度是O(1),，當(dāng)有新節(jié)點(diǎn)插入時即需對open表進(jìn)行排序以保證open表一直處于有序狀態(tài)。由此分析得出對open表的管理主要時間花銷是在節(jié)點(diǎn)排序上,，為提高整體的運(yùn)行效率,，這里對open表的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行一定的改進(jìn)，通過采用樹形的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來管理open表,。最小二叉堆是一種典型的樹形數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),，通過最小二叉堆對節(jié)點(diǎn)進(jìn)行排序的時間復(fù)雜度為O(n log₂ n)，通過此種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可減少open表節(jié)點(diǎn)排序的時間花銷,。

1.2 代價函數(shù)的建立

    軍用無人機(jī)航跡規(guī)劃的目標(biāo)是在滿足無人機(jī)物理特性約束以及具體飛行任務(wù)約束的前提下生成超低空地形跟隨,、地形回避以及威脅回避的飛行軌跡，以提高無人機(jī)的生存概率,。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中P_Ci為無人機(jī)在第i航跡的撞地概率,；P_Di是無人機(jī)在第i段航跡被敵方雷達(dá)探測到的概率，P_Ki為無人機(jī)在第i段航跡被敵方雷達(dá)探測到并被擊毀的概率^[7],。由于這些概率和地區(qū)的地形,、威脅的分布密度、發(fā)現(xiàn)威脅的能力等都存在著很大關(guān)系,，同時這些概率和無人機(jī)的各項(xiàng)狀態(tài)（飛行高度,、速度,、油量等）之間的關(guān)系很難定義,，即使找出他們之間關(guān)系，該公式也將十分復(fù)雜,，勢必將增加代價函數(shù)的計(jì)算難度,。由此需要對上述的代價函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,。無人機(jī)在低空突防時飛行的高度越低，被敵人發(fā)現(xiàn)的幾率就越小,，規(guī)劃出的航跡飛行時間越短,，越能達(dá)到出其不意的效果，同時也提高了無人機(jī)的生存概率,；若飛行時間過長,，會增加累計(jì)威脅，同時也增加油量的消耗,?；谏鲜鲈蛟俳Y(jié)合啟發(fā)式A*算法的表達(dá)式，把g(n)和h(n)分別簡化為如下形式：

    起始節(jié)點(diǎn)到當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的代價函數(shù)值：

    上述代價函數(shù)表達(dá)式中L_i表示從起始點(diǎn)到當(dāng)前節(jié)點(diǎn)飛行過的路程,，F(xiàn)_max表示無人機(jī)油箱中的總的油量,，H_min、H_max分別表示無人機(jī)為防止撞地的最小飛行高度和為防止被敵人雷達(dá)探測到的最高飛行高度,，T_f表示無人機(jī)能接受威脅的最大門限值,。啟發(fā)函數(shù)中L_n表示當(dāng)前節(jié)點(diǎn)到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的距離，h_n表示目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的高程值,，λ₁,、λ₂、λ₃,、μ₁,、μ₂為表達(dá)式中各項(xiàng)的加權(quán)系數(shù)。設(shè)定不同的加權(quán)系數(shù),，獲得的航跡也有所不同：如果增大高度值的系數(shù)λ₁,，則規(guī)劃出來的平均航跡高度就會越低，增大威脅值的系數(shù)值λ₂,，則規(guī)劃出來的航跡將遠(yuǎn)離威脅,，同理增大航跡長度系數(shù)值λ₃，這樣規(guī)劃出來的航跡長度將減少,。通過對這些權(quán)重系數(shù)的不同組合,，可以得到所期望的滿足條件的最優(yōu)航跡。

1.3 算法實(shí)現(xiàn)

    通過結(jié)合無人機(jī)的自身限制以及任務(wù)要求,，在三維航跡搜索過程中將大大縮小搜索空間,，從而規(guī)劃出滿足條件的航跡。A*算法的實(shí)現(xiàn)主要是維護(hù)兩個表：open表以及closed表,。在三維空間中算法實(shí)現(xiàn)的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

    (1)把地理威脅等環(huán)境信息初始化到規(guī)劃空間中,。

    (2)把起始點(diǎn)添加到open表中，同時把closed表置空。

    (3)判斷open表是否為空,，若為空則算法結(jié)束,；反之，則找出open表中代價值最小的節(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前節(jié)點(diǎn),，同時把該節(jié)點(diǎn)從open表中刪除,，放入closed表中。

    (4)判斷當(dāng)前節(jié)點(diǎn)是否為目標(biāo)節(jié)點(diǎn),，若當(dāng)前節(jié)點(diǎn)到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的距離小于最小飛行距離,，則將目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的父親節(jié)點(diǎn)當(dāng)作當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，航跡搜索過程結(jié)束,。

    (5)對當(dāng)前節(jié)點(diǎn)進(jìn)行擴(kuò)展：

    ①根據(jù)約束條件產(chǎn)生當(dāng)前節(jié)點(diǎn)待擴(kuò)展區(qū),；

    ②對待擴(kuò)展區(qū)中的每個節(jié)點(diǎn)，根據(jù)式(5),、(6)計(jì)算每個節(jié)點(diǎn)的航跡代價,；

    ③如果待擴(kuò)展區(qū)域中的某個節(jié)點(diǎn)已經(jīng)在closed表中且其代價估值小于closed表中的估價值，則更新closed表中的估價值,，同時把該節(jié)點(diǎn)移出closed表,，放入open表中；如若不在closed表中,，則判斷該節(jié)點(diǎn)是否在open表中,，如果不在則把該節(jié)點(diǎn)插入到open表中；

    ④如果該節(jié)點(diǎn)在open表中且open表中的g(n)值都大于當(dāng)前計(jì)算的g(n)值,，則更新open表中節(jié)點(diǎn)g(n)的值,，更新后需保證open表仍然有序。

    (6)接著繼續(xù)跳轉(zhuǎn)到步驟(3)執(zhí)行上述操作直至找到目標(biāo)節(jié)點(diǎn),。

    由于在節(jié)點(diǎn)擴(kuò)展時,，每個被擴(kuò)展的節(jié)點(diǎn)都會記錄其父節(jié)點(diǎn)，當(dāng)算法找到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)后則算法結(jié)束,。接著通過從目標(biāo)節(jié)點(diǎn)向前回溯直到起始位置,，這樣就得到了從起始點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的最小代價航跡。

2 仿真結(jié)果    

    對上述改進(jìn)后的算法在Intel Core i5,、3.1 GHz的PC上進(jìn)行驗(yàn)證試驗(yàn),，運(yùn)行環(huán)境是Windows7操作系統(tǒng)。規(guī)劃的空域大小為60 km×60 km,，假設(shè)起始節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,，0，0),，目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為(60,，60,，0)，最低離地間隙為100 m,，最大轉(zhuǎn)彎角為45°，最大爬升/下滑角為30°,。實(shí)驗(yàn)通過用基本A*算法和改進(jìn)后的A*算法分別設(shè)置二組不同的λ₁,、λ₂、λ₃,、u₁,，u₂值來規(guī)劃最優(yōu)航跡并對算法改進(jìn)前后的性能進(jìn)行比較分析。仿真圖5的λ₁,、λ₂,、λ₃、μ₁,、μ₂分別為λ₁=0.1,，λ₂=0.3，λ₃=0.6,，μ₁=0.45,，μ₂=0.55，由于λ₃所占權(quán)重較大,，所以規(guī)劃出來的航跡總的路程較小,。仿真圖6的λ₁，λ₂,，λ₃,，μ₁，μ₂分別為λ₁=0.4,，λ₂=0.5,，λ₃=0.1，μ₁=0.45,，μ₂=0.55,，由于λ₁、λ₂所占權(quán)重較大,，所以規(guī)劃出的航跡飛行高度較低,，安全性較高。

    兩種參數(shù)的飛行高度分別如圖7,、圖8所示,。通過對比可知，第一組數(shù)據(jù)的平均飛行高度要高于第二組,，這就印證了參數(shù)λ₁的大小影響無人機(jī)的平均飛行高度,，飛行高度越低也間接提高了無人機(jī)的安全性,，飛行高度越低，越難被敵人雷達(dá)發(fā)現(xiàn),。

    基本A*算法與改進(jìn)后的A*算法性能比較如表1所示,。通過各項(xiàng)數(shù)據(jù)對比可以看出，改進(jìn)后的算法規(guī)劃時間較改進(jìn)前的少很多,，并且總的航跡路程也縮減了不少,，這樣能夠在最快的時間內(nèi)規(guī)劃出滿足需求的最優(yōu)航跡。通過改變參數(shù)λ₁,、λ₂,、λ₃的權(quán)重比例可以規(guī)劃出更側(cè)重于飛行高度、安全性以及飛行距離的航跡,。

3 結(jié)束語

    本文通過把無人機(jī)的各項(xiàng)機(jī)動性能限制,、飛行路程以及飛行高度等約束條件相結(jié)合的方式來縮小節(jié)點(diǎn)擴(kuò)展時的搜索空間，同時對節(jié)點(diǎn)水平方向和縱向方向的空間劃分,，使規(guī)劃出的航跡節(jié)點(diǎn)包含了無人機(jī)在該節(jié)點(diǎn)的各項(xiàng)狀態(tài),。在三維空間中，經(jīng)過限制后滿足要求的節(jié)點(diǎn)已很少,，大大提高了搜索效率,，對open表結(jié)構(gòu)的改進(jìn)減少了open表中節(jié)點(diǎn)排序的時間。同時對評價代價函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,，使算法能夠更快地收斂到最優(yōu)解,。

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