0 引言

　　穿墻雷達(dá)成像（Through the Wall Radar Imageing,，TWRI）使用電磁波穿透墻體和內(nèi)部封閉的建筑物進(jìn)行監(jiān)測(cè)，以確定建筑結(jié)構(gòu)布局,，區(qū)分建筑物內(nèi)部的活動(dòng)情況,，檢測(cè)、識(shí)別和跟蹤運(yùn)動(dòng)目標(biāo),。TWRI技術(shù)在搜救,、墻后目標(biāo)檢測(cè)和城區(qū)環(huán)境的監(jiān)視等方面?zhèn)涫荜P(guān)注[1-4]。TWRI系統(tǒng)通常利用超寬帶信號(hào)和大孔徑天線陣列提供高的距離向和方位向分辨率,，能夠在較短的采樣時(shí)間內(nèi)利用較小的存儲(chǔ)空間獲得高質(zhì)量圖像,，與之對(duì)應(yīng)的后向投影一類算法需要大的空間和時(shí)間（或頻率）采樣數(shù)據(jù)才能獲得高質(zhì)量成像。

　　近年來(lái),，壓縮感知理論的興起,，國(guó)內(nèi)外學(xué)者將該理論很好地應(yīng)用到TWRI中，提出了一些高分辨稀疏成像方法[5-6],。它們首先將成像區(qū)域劃分為有限個(gè)網(wǎng)格,，當(dāng)目標(biāo)恰好落在網(wǎng)格點(diǎn)上，稀疏成像效果很好,。一旦目標(biāo)偏離了網(wǎng)格點(diǎn),，基矩陣不匹配，從而引起成像模糊,，甚至散焦,。為此，文獻(xiàn)[5]通過(guò)建立off-gird稀疏表示模型,，提出了一種基于L21范數(shù)懲罰項(xiàng)的FISTA算法,，該算法雖能較準(zhǔn)確地恢復(fù)目標(biāo)散射系數(shù)，但是算法的性能受人工參數(shù)設(shè)置的影響,，在實(shí)際應(yīng)用中很難正確地選擇,。文獻(xiàn)[6]針對(duì)穿墻雷達(dá)偏離網(wǎng)格目標(biāo)成像中提出了一種貝葉斯推理方法，克服了FISTA算法性能受人工參數(shù)設(shè)置的影響,。但是,，該方法在成像區(qū)域劃分網(wǎng)格數(shù)過(guò)大時(shí)處理速度會(huì)很慢，所以需要尋求新的方法提高處理速度,。

　　本文提出一種改進(jìn)的正交匹配追蹤方法（GBTOMP算法）實(shí)現(xiàn)偏離網(wǎng)格目標(biāo)超寬帶穿墻雷達(dá)稀疏成像,。該方法以正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法為基礎(chǔ),，先通過(guò)最速上升梯度優(yōu)化方法搜索到目標(biāo)的真實(shí)位置,，逐漸減小網(wǎng)格偏移量，修正模型中的感知矩陣,，再由修正的感知矩陣通過(guò)最小二乘方法計(jì)算目標(biāo)散射系數(shù),，但在此計(jì)算過(guò)程中，會(huì)引入冗余下標(biāo),。本文利用貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)去冗余,，這樣既可以減小重構(gòu)過(guò)程的運(yùn)算量，還可以增強(qiáng)重構(gòu)的精度和抗噪性能,。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性和可行性,。

1 稀疏表示模型

　　一般的穿墻傳播模型可以等效為如圖1所示的兩層傳播模型[7]。假設(shè)均勻介質(zhì)墻體的厚度為d,，相對(duì)介電常數(shù)為?著,。將成像區(qū)域在方位向和距離向上離散成Nx Ny個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的像素值用?滓k,，l,，k=1，…,，Nx,，l=1，…,，Ny表示,，當(dāng)網(wǎng)格點(diǎn)有目標(biāo)時(shí)k，l不為0,，反之k,，l等于0。為了方便表示,，將k,，l按照順序重新排列成Nx Ny維的目標(biāo)散射系數(shù)列向量，令所有元素的網(wǎng)格位置用矩陣表示,，其中的元素用p=[xp,，yp]T表示，對(duì)應(yīng)的像素值用p表示,，則第n個(gè)天線回波信號(hào)的離散數(shù)據(jù)模型為：

　　式中,，yn=[yn(t1),，…，yn(tM)]T,，An為M×Nx Ny的矩陣,，第m行的元素為[s(tn，m-n,，1),，…，s(tn,，m)],，這里n，p為第n個(gè)天線到第p個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)之間的傳播時(shí)延,。

　　根據(jù)圖1所示的傳播模型,，n，p可以近似表示為：

　　式中,，xn,、yn分別表示天線的坐標(biāo)位置，n,，p為傳播的入射角,，當(dāng)成像區(qū)域距離天線較遠(yuǎn)時(shí)可以近似為：

　　將N個(gè)天線到成像區(qū)域中所有像素點(diǎn)的傳播時(shí)延按照式（2）和式（3）來(lái)計(jì)算，并把所有天線的接收數(shù)據(jù)進(jìn)行堆疊,，由此所構(gòu)造的離散數(shù)據(jù)模型為：

　　然而,，實(shí)際情況中目標(biāo)很可能偏離預(yù)設(shè)網(wǎng)格，如圖1所示,，這種偏移會(huì)影響A′的精確計(jì)算,。定義成像空間所有網(wǎng)格的偏移量矩陣為，A′關(guān)于的函數(shù)為A′,。另外,，對(duì)于穿墻成像場(chǎng)景來(lái)說(shuō)滿足稀疏特性，因此可以利用較少的測(cè)量值恢復(fù),。令表示從y中隨機(jī)選擇選擇Q1個(gè)天線單元和每個(gè)天線單元隨機(jī)選擇Q2個(gè)數(shù)據(jù)得到的Q1Q2個(gè)數(shù)據(jù)矢量,，并定義這種隨機(jī)選擇形式構(gòu)成的測(cè)量矩陣用表示[8]，由此得到大小為Q1Q2×1的測(cè)量數(shù)據(jù)（或稀疏成像）模型（為了書(shū)寫(xiě)方便將A為：

　　根據(jù)式（5）的稀疏成像模型可以看出,，感知矩陣A有關(guān),，因此求解式（4）反演需要事先準(zhǔn)確估計(jì)?專參數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)A滿足約束等距性質(zhì)時(shí),，可以通過(guò)求解如下優(yōu)化問(wèn)題將高維信號(hào)從低維的測(cè)量值中準(zhǔn)確重構(gòu)出來(lái),。

　　由于最小0范數(shù)問(wèn)題是一個(gè)非確定性多項(xiàng)式難問(wèn)題，目前的重構(gòu)算法都是基于0范數(shù)的變換或逼近處理，其中貪婪算法以其運(yùn)算速度快,，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的優(yōu)勢(shì)被用于穿墻雷達(dá)成像中,。

2 GBTOMP的稀疏成像方法

　　2.1 GBTOMP算法

　　本文提出的GBTOMP算法是在正交匹配追蹤算法[9]的迭代過(guò)程中采用梯度優(yōu)化最速上升算法校正網(wǎng)格偏移量，然后采用貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)[10]剔除冗余下標(biāo),。該算法整體上可以分為兩大步：第一,，根據(jù)殘差與感知矩陣的內(nèi)積最大值找到最匹配原子位置（預(yù)設(shè)網(wǎng)格位置）。由于目標(biāo)可能會(huì)偏離預(yù)設(shè)的網(wǎng)格位置,，因此在該位置需要進(jìn)行梯度優(yōu)化的最速上升,，以搜索到目標(biāo)的真實(shí)位置,，從而以目標(biāo)真實(shí)位置建立新的感知矩陣,，并由該矩陣?yán)米钚《朔ㄇ蟮蒙⑸湎禂?shù)向量的近似值，同時(shí)通過(guò)交替迭代更新下標(biāo)集求解來(lái)得到目標(biāo)散射系數(shù),。第二,，OMP算法在有噪聲和沒(méi)有噪聲的情況下都會(huì)存在冗余下標(biāo)問(wèn)題。為解決此問(wèn)題,，GBTOMP算法最后采用貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)理論給出判決準(zhǔn)則對(duì)第一步輸出的預(yù)選下標(biāo)集中原子進(jìn)行篩選,，得到等于或者大于信號(hào)真實(shí)下標(biāo)集估計(jì)后，再用最小二乘算法進(jìn)行重構(gòu),，以改善算法的性能,，增強(qiáng)其抗噪能力。GBTOMP算法流程如下,。

　　初始化：構(gòu)造測(cè)量向量,，網(wǎng)格偏移矩陣，感知矩陣A,。

　　(1)采用OMP算法找到匹配原子對(duì)應(yīng)的空間網(wǎng)格位置,，利用最速上升梯度優(yōu)化方法對(duì)偏離網(wǎng)格進(jìn)行估計(jì)，再利用最小二乘法對(duì)目標(biāo)散射系數(shù)進(jìn)行粗估計(jì),，輸出預(yù)選下標(biāo)集P和粗重構(gòu)目標(biāo)散射系數(shù)X,。

　　(2)從預(yù)選下標(biāo)集P出發(fā)，通過(guò)貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)準(zhǔn)則設(shè)置一個(gè)適當(dāng)門(mén)限Thj對(duì)P中的元素進(jìn)行篩選,，將大于門(mén)限的元素都保留在最終的下標(biāo)集F中,。

　　輸出：根據(jù)最終下標(biāo)集F，利用最小二乘法得到目標(biāo)散射系數(shù)最終的估計(jì)值,。

　　2.2 網(wǎng)格偏移量的估計(jì)

　　在GBTOMP算法的迭代過(guò)程中需要估計(jì)網(wǎng)格偏移量,，其代價(jià)函數(shù)的構(gòu)造是關(guān)鍵。OMP算法是以測(cè)量數(shù)據(jù)和感知矩陣A構(gòu)造代價(jià)函數(shù)的,。為了能夠使得估計(jì)準(zhǔn)確,，并使處理過(guò)程更加穩(wěn)定，本文使用OMP算法相關(guān)函數(shù)的平方開(kāi)方項(xiàng)來(lái)表示[11]：

　　首先初始化迭代更新次數(shù)k=1,，殘差向量r,。計(jì)算感知矩陣A所有列和殘差向量r的內(nèi)積值,，找到內(nèi)積值最大時(shí)所對(duì)應(yīng)的列下標(biāo)pk，接著進(jìn)入搜索目標(biāo)真實(shí)位置過(guò)程,，滿足搜索條件|Ji-Ji-1|<a結(jié)束,，這里的i代表搜索過(guò)程中的迭代次數(shù)，a代表很小的一個(gè)正數(shù),。在此過(guò)程中,，從?仔中取出第pk列賦給?仔0，以該點(diǎn)坐標(biāo)(xp,，yp)計(jì)算出與隨機(jī)選擇Q1個(gè)天線組成新集合的第q個(gè)索引號(hào)天線位置之間的雙程傳播時(shí)延為：

　　為求解代價(jià)函數(shù)J關(guān)于所選擇坐標(biāo)(xp,，yp)的梯度，需要事先求解?子q,，p關(guān)于(xp,，yp)的偏導(dǎo)，分兩種情況進(jìn)行：

　　(1)當(dāng)xq=xp時(shí),，即q,，p=0，q,，p簡(jiǎn)化為：

　　(2)當(dāng)xq≠xp時(shí),，即q，p≠0,，q,，p關(guān)于xp和yp的偏導(dǎo)數(shù)為：

　　假設(shè)輻射脈沖波形為高斯脈沖s(t)，則第q個(gè)天線和所選目標(biāo)坐標(biāo)(xp,，yp)對(duì)應(yīng)的感知矩陣Aq,、B是大小為Q2×1的矩陣，它們的第q2行分別為：

　　式中是當(dāng)前(xp,，yp)對(duì)應(yīng)的感知矩陣,，僅僅是A的一個(gè)子集，這樣處理是為了提高運(yùn)行速度,，減小存儲(chǔ)空間,。B1x和B1y表示對(duì)矩陣分別關(guān)于xp和yp的偏導(dǎo)數(shù)，它們的具體表達(dá)式與s(t)有關(guān),。以梯度搜索方法更新所選空間的坐標(biāo)為：

　　式中是搜索步長(zhǎng),，本文中以網(wǎng)格尺寸為參考的很小的正數(shù)。由此得到更新后的重新計(jì)算代價(jià)函數(shù)Ji,，搜索迭代次數(shù)i=i+1,，一旦代價(jià)函數(shù)滿足條件|Ji-Ji-1|<a就終止搜索過(guò)程。終止后，將所選的網(wǎng)格空間位置?仔1所對(duì)應(yīng)的感知矩陣保存在A2矩陣中,，同時(shí)將所選的感知矩陣列下標(biāo)pk添加到預(yù)選下標(biāo)集P中,，由A2通過(guò)最小二乘法計(jì)算出第k次粗估計(jì)的散射系數(shù)xpre，并更新殘差向量,。

　　繼續(xù)搜索下標(biāo)并校正網(wǎng)格偏移量,，如此循環(huán)迭代，k=k+1,，直到殘差向量r滿足條件,，粗估計(jì)結(jié)束。將k次循環(huán)求得的散射系數(shù)xpre對(duì)應(yīng)其下標(biāo)集P賦給Nx Ny維列向量X,。

　　X{P}=xpre(18)

　　2.3 貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)去冗余

　　為剔除OMP算法輸出的預(yù)選集P中的冗余下標(biāo),，根據(jù)貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚10]構(gòu)造似然函數(shù)，其似然比檢驗(yàn)公式為：

　　根據(jù)判決準(zhǔn)則可知,，當(dāng)(zj-mj)2>Thj時(shí),，下標(biāo)j對(duì)應(yīng)的散射系數(shù)?滓j的值為非零,，更新此時(shí)的j為最終下標(biāo),，反之，下標(biāo)j對(duì)應(yīng)的散射系數(shù)?滓j為零,，則從預(yù)選下標(biāo)集中剔除此時(shí)的j值,。對(duì)預(yù)選下標(biāo)集中元素進(jìn)行篩選，最終剩下的真實(shí)下標(biāo)集為F,，接下來(lái)利用最小二乘法進(jìn)行目標(biāo)散射系數(shù)重構(gòu)完成整個(gè)GBTOMP算法,。

3 仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

　　3.1 仿真結(jié)果分析

　　利用GPRMAX產(chǎn)生仿真數(shù)據(jù)[12]，發(fā)射信號(hào)采用高斯脈沖,，脈沖中心頻率為1 GHz,。墻體厚度為0.20 m，相對(duì)介電常數(shù)為6,，電導(dǎo)率為0.03 S/m,。

　　場(chǎng)景1：天線陣列由16個(gè)收發(fā)共置單元組成，隨機(jī)選擇其中的10個(gè)天線單元,，陣元間距為0.1 m,。成像區(qū)域是[-1 m，1 m]×[0.3 m,，1.3 m],，距離向和方位向的網(wǎng)格尺寸均為0.05 m。假設(shè)成像區(qū)域中有三個(gè)點(diǎn)目標(biāo),，其坐標(biāo)分別為(-0.414 m,，0.514 m)，(0.025 m，0.725 m),，(0.325 m,，0.965 m)。圖2為OMP方法和本文GBTOMP方法成像結(jié)果,。從圖2(a)可以看出,，OMP方法成像出現(xiàn)嚴(yán)重散焦，同時(shí)帶來(lái)虛假像,，從圖2(b)可以看到,，估計(jì)的目標(biāo)位置和預(yù)設(shè)目標(biāo)位置完全吻合，同時(shí)目標(biāo)像聚焦程度高,，很明顯本文方法性能優(yōu)于傳統(tǒng)OMP方法,。

　　場(chǎng)景2：天線陣列由45個(gè)收發(fā)共置單元組成，隨機(jī)選擇其中的10個(gè)天線單元,，陣元間距為0.04 m,，與墻體之間的距離為0.2 m。圖3給出了2維GPRMAX模型,，圖中左邊的長(zhǎng)方形目標(biāo)中心位于(0.7 m,，3.25 m)，長(zhǎng)為0.4 m,，寬為0.3 m,，右邊的圓形目標(biāo)體的中心位置位于(1.25 m，3.05 m),，半徑為0.2 m,。GPRMAX網(wǎng)格單元尺寸為0.005 m，采樣時(shí)窗為30 ns,。假設(shè)回波信號(hào)由有目標(biāo)時(shí)減去無(wú)目標(biāo)時(shí)的信號(hào)進(jìn)行模擬,。

　　圖4給出了兩個(gè)擴(kuò)展目標(biāo)的成像結(jié)果，成像區(qū)域的方位向和距離向的網(wǎng)格尺寸設(shè)為0.03 m,。圖中的矩形和圓形虛線框代表兩目標(biāo)的真實(shí)位置,。從圖4可以看出，傳統(tǒng)OMP方法的成像效果較差,，雖然能夠大致識(shí)別目標(biāo)位置,，但是引入了很多的虛假目標(biāo)像，而本文方法GBTOMP成像效果明顯改善,，目標(biāo)像清晰,。

　　3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

　　使用美國(guó)GSSI公司的探地雷達(dá)SIR-20搭建穿墻實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景，如圖5所示,。實(shí)驗(yàn)墻體為實(shí)心磚墻,，墻體厚度0.20 m,，相對(duì)介電常數(shù)6.4。選用1 GHz的喇叭天線,，架高1.2 m,，貼著墻體。水平移動(dòng)喇叭天線共掃描21個(gè)測(cè)點(diǎn),，數(shù)據(jù)處理時(shí)隨機(jī)選擇10個(gè)測(cè)點(diǎn),，測(cè)點(diǎn)間距為0.05 m，合成孔徑長(zhǎng)度為1 m,，要求在每個(gè)天線孔徑測(cè)試點(diǎn)處測(cè)量2次,，包括有人和無(wú)人的場(chǎng)景。人體目標(biāo)高度為1.80 m,，體型寬度約0.40 m,，站在墻后1 m處。SIR-20系統(tǒng)數(shù)據(jù)采集的參數(shù)設(shè)置：每道采樣1 024點(diǎn),，每秒60道,，時(shí)間窗15 ns。

　　首先將SIR-20系統(tǒng)采集的數(shù)據(jù)波形做平均處理,，然后經(jīng)過(guò)去噪和雜波相消,、自動(dòng)增益控制等信號(hào)處理得到較好的目標(biāo)回波，所有成像都是以天線陣列中心為坐標(biāo)原點(diǎn),。圖6給出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)成像結(jié)果比較,，圖中的矩形虛線框代表目標(biāo)的真實(shí)位置,。從圖中可以看出,，傳統(tǒng)OMP方法目標(biāo)成像散焦現(xiàn)象較嚴(yán)重，目標(biāo)區(qū)域不能確定,，且周圍還有較多的虛假像,。而本文GBTOMP方法成像則不同，雜波相對(duì)較少,，且目標(biāo)位置清晰可見(jiàn),，由此看來(lái)通過(guò)校正目標(biāo)偏離網(wǎng)格能夠很好解決傳統(tǒng)稀疏成像所出現(xiàn)的散焦現(xiàn)象。

4 結(jié)論

　　本文提出的GBTOMP稀疏成像方法,，交替迭代得到目標(biāo)真實(shí)空間位置和目標(biāo)散射系數(shù),，目標(biāo)位置的校正保證了基矩陣的匹配，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的高質(zhì)量稀疏成像,。仿真和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)處理結(jié)果表明：與OMP成像相比,，本文GBTOMP方法成像效果在目標(biāo)位置準(zhǔn)確度還是目標(biāo)聚焦程度有明顯的提高。但是,，由于以點(diǎn)稀疏模型對(duì)擴(kuò)展目標(biāo)進(jìn)行成像,，存在圖像不夠平滑,，也不連續(xù)等問(wèn)題，下一步工作將對(duì)擴(kuò)展目標(biāo)的稀疏成像方法展開(kāi)研究,。

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