黃務(wù)蘭1,2,，張濤1,3

　?。?.上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 信息管理與工程學(xué)院,上海 200433,； 2.常州大學(xué) 商學(xué)院, 江蘇 常州 213164,；3.上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 上海市金融信息技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,，上海 200433）

      摘要：該文以最小化配送時(shí)間為目標(biāo),，研究帶時(shí)間窗的車輛路徑問題,，建立整數(shù)規(guī)劃模型,。為了加快遺傳算法的收斂速度和尋優(yōu)能力，提出一種改進(jìn)遺法算法IGALS (Improved Genetic Algorithm with Local Search),。改進(jìn)算法借用精英保留策略,，采用點(diǎn)交叉和段交叉算子結(jié)合的交叉算子；提出路段允許延遲時(shí)間概念,，并以此為依據(jù)使用局部搜索策略進(jìn)一步提高解的質(zhì)量,。通過Solomon標(biāo)準(zhǔn)算例測試，驗(yàn)證了改進(jìn)算法(IGALS)較簡單遺傳算法(GA)具有更好的全局尋優(yōu)能力和更快的收斂速度,。

　　關(guān)鍵詞：帶時(shí)間窗車輛路徑問題,；遺傳算法；交叉算子,；局部搜索,；整數(shù)規(guī)劃

0引言

　　車輛路徑問題(Vehicle Route Problem，VRP)的研究最早由DANTZIG G和RAMSER J于1959年提出［1］,，近60年來始終是運(yùn)籌學(xué)與組合優(yōu)化領(lǐng)域的研究熱點(diǎn),，受到了國內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注。為了滿足實(shí)際需求,，學(xué)者對VRP問題逐步進(jìn)行了擴(kuò)展和變形,。其中帶時(shí)間窗車輛路徑問題（Vehicle Route Problem with Time Windows，VRPTW）是在車輛路徑問題的基礎(chǔ)上加入了時(shí)間窗約束,。加入時(shí)間窗后,，極大地增加了VRP問題計(jì)算難度和復(fù)雜度,，除了考慮VRP問題空間方面的路徑之外，還必須考慮時(shí)間上的排程,，因此吸引了許多國內(nèi)外學(xué)者對其進(jìn)行研究,，成為VRP問題研究領(lǐng)域最熱門的研究方向之一［24］。本文研究帶時(shí)間窗路徑優(yōu)化問題,，以最小化配送時(shí)間為目標(biāo)建立路徑優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,，借用精英策略思想設(shè)計(jì)交叉算子提高遺傳算法的尋優(yōu)性能，并使用基于延遲時(shí)間的局部搜索策略進(jìn)一步提高解的質(zhì)量,。

1問題描述和數(shù)學(xué)建模

　　帶時(shí)間窗車輛路徑優(yōu)化問題描述為：某快遞配送中心擁有M輛型號相同且載重量為Q的配送車輛,，為N個(gè)已知客戶做派發(fā)快件服務(wù)。每個(gè)顧客服務(wù)位置和需求量已知,，客戶具有服務(wù)時(shí)間窗［ETi,LTi］,，即最早和最遲開始服務(wù)時(shí)間，以及持續(xù)服務(wù)時(shí)間STi,，如果車輛到達(dá)客戶i的時(shí)間早于ETi,，車輛需要在客戶i處等待。現(xiàn)要求對該問題進(jìn)行路徑規(guī)劃,，要求在最小化成本的前提下配送完所有客戶所花費(fèi)的總時(shí)間最少,。為了能更準(zhǔn)確地表述模型，引入如下符號體系:M表示可供使用的最大車輛數(shù),；N表示客戶數(shù)目,；Q表示車輛的最大載重量；tij表示顧客i到顧客j的路由時(shí)間,； ［ETi,LTi］表示節(jié)點(diǎn)i的時(shí)間窗,；ATi表示車輛到達(dá)節(jié)點(diǎn)i的時(shí)間；Si表示車輛k開始服務(wù)節(jié)點(diǎn)i的時(shí)間,；WTi表示車輛在客戶i處的閑置等待時(shí)間,；STi表示顧客i持續(xù)服務(wù)時(shí)間，為已知量,。

　　定義如下決策變量：

　　xijk=1,車輛k由客戶i駛向客戶j

　　0,其他

　　yik=1,客戶i的配送任務(wù)由車輛k完成

　　0,，其他

　　本文目標(biāo)是合理安排配送路徑，力求配送完所有客戶所花費(fèi)的總時(shí)間最少,。其中,，配送時(shí)間分為三部分：車輛的路由時(shí)間，可由式(1)表述,；車輛因時(shí)間窗未開在客戶處的等待時(shí)間,，可由式(2)表述；服務(wù)客戶的時(shí)間,，因該時(shí)間是一已知量,，與決策安排無關(guān),，因此不列入目標(biāo)函數(shù)中。

　　式(4)表示客戶i只能由一輛車為其配送服務(wù),；式(5)表示配送中心最多發(fā)出M輛車,；式(6)和式(7)表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系；式(8)確保每輛車承載的貨物總量不超過其最大容量,，且不為負(fù),；式(9)初始化到達(dá)配送中心時(shí)間、開始服務(wù)時(shí)間與持續(xù)服務(wù)時(shí)間都為0,；式(10)表示車輛到達(dá)客戶i的時(shí)間先于或等于開始服務(wù)時(shí)間,，且為非負(fù)時(shí)間；式(11)表示顧客i的持續(xù)服務(wù)時(shí)間為正數(shù),；式(12)表示車輛由客戶i到達(dá)客戶j的時(shí)間計(jì)算公式,，即前驅(qū)點(diǎn)與后繼點(diǎn)的時(shí)間關(guān)系,；式(13)表示服務(wù)客戶i的時(shí)間應(yīng)滿足時(shí)間窗約束,；式(14)表示實(shí)際開始服務(wù)客戶i的時(shí)間計(jì)算方法； 式(15)和式(16)分別表示變量xijk和yik的取值范圍為0或1,。

2求解算法設(shè)計(jì)

　　2.1改進(jìn)的交叉算子

　　遺傳算法是由美國的HLLAND J H教授［5］最早提出的,，是一類借鑒生物界自然選擇和自然遺傳機(jī)制的隨機(jī)搜索算法。本文結(jié)合實(shí)際問題,，提出一種改進(jìn)的遺傳算法,，稱之為IGALS (Improved Genetic Algorithm with Local Search)。

　　本文采用點(diǎn)交叉和段交叉結(jié)合的方式,，保證遺傳算法種群的多樣性,。其中點(diǎn)交叉采用循環(huán)交叉方法，段交叉方法借用精英策略的思想,。它將每輛車的行駛線路劃分為一段,，對每一段線路計(jì)算目標(biāo)值。將單個(gè)種子某趟車目標(biāo)值優(yōu)的路線保留不變,，同時(shí)借鑒參與交叉的另一種子中目標(biāo)值優(yōu)的某趟車路線來替換目標(biāo)種子中目標(biāo)值劣的某車輛路段,，交換之后去掉重復(fù)節(jié)點(diǎn)，這樣可以有目的地進(jìn)一步優(yōu)化目標(biāo)種子的解,。

　　設(shè)有15個(gè)節(jié)點(diǎn),，參與交叉的父代種子Pr1和Pr2，其中每個(gè)種子按單趟車輛線路劃分為4段,，種子內(nèi)部適應(yīng)值最優(yōu)車輛線路標(biāo)識為Elite1和Elite2,，最壞適應(yīng)值車輛路段分別標(biāo)識為Worse1和Worse2，如圖1所示,。

　　交叉過程中種子內(nèi)部次序調(diào)整如下,，即將最壞路段置為第一段,，精英路段置為第二段，如圖2所示,。

　　最后,，將交叉種子精英路段替換掉目標(biāo)種子最壞路段，并去掉后面重復(fù)節(jié)點(diǎn),。交叉后的兩種子如圖3所示,，其中“*”號表示去掉重復(fù)種子留下的空位。去掉目標(biāo)種子的最壞路段節(jié)點(diǎn),，Pr2中的11,、13節(jié)點(diǎn)是有待進(jìn)行重新插入的節(jié)點(diǎn)，必要時(shí)進(jìn)行重新排序的操作,，交叉后的兩種子如圖4所示,。

　　2.2局部搜索策略

　　局部搜索算法也稱大規(guī)模鄰域搜索（Large Neighborhood Search，LNS）,，是一類改正型算法,，它是1998年由SHAW P［6］提出的，算法的每一步迭代都是通過搜索當(dāng)前解的鄰域得到一個(gè)改進(jìn)的解,。因時(shí)間窗約束,，種子在迭代過程中解的質(zhì)量并不十分理想?；诖?，本文設(shè)計(jì)一種局部搜索(Local Search)策略，提出路段允許延遲時(shí)間概念,，依據(jù)該指標(biāo),，在可行線路中進(jìn)行局部搜索，最大限度地減少節(jié)點(diǎn)等待時(shí)間,，進(jìn)一步優(yōu)化遺傳算法的求解性能,，找到使目標(biāo)值更優(yōu)的解。

　　設(shè)有一條可行線路Routek(v0,v1,…,vi－1,vi,vi+1,…,vn,v0),，其中v0為配送中心,， vi(i=1,2,3…n)為車輛要配送貨物的客戶點(diǎn)，已知客戶i的時(shí)間窗［ETi,，LTi］和配送中心時(shí)間窗［0,H］,，車輛在vi點(diǎn)的持續(xù)服務(wù)時(shí)間STi，tij為車輛從i到j(luò)的時(shí)間,，WTi為車輛在vi點(diǎn)的等待時(shí)間,。

　　定義每個(gè)節(jié)點(diǎn)的最早完成時(shí)間Vei和最遲開始時(shí)間Vli，最早完成時(shí)間Vei表示車輛完成從v0到vi配送任務(wù)的最早時(shí)間，而最遲開始時(shí)間Vli表示車輛順利完成vi到vn各點(diǎn)的配送任務(wù),，應(yīng)在vi點(diǎn)開始作業(yè)的最晚開始時(shí)間,。

　　Vei和Vli的計(jì)算方法如下：

　　Vei=max(ETi+STi,Vei－1+ti－1,i+STi)(17)

　　Vli=min(LTi,Vli+1－ti,i+1－STi)(18)

　　因車輛在配送中心無配送任務(wù)，ST0=0,，故Ve0=ET0=0,，Vl0=LT0=H，從Ve0＝0開始依次計(jì)算Ve1,、Ve2,、…、Ven的值,。從Vl0＝H開始依次計(jì)算Vln,，Vln－1，…,，Vl1的值,。

　　定義：相鄰節(jié)點(diǎn)(vi,vj)即某一路段的允許延遲時(shí)間用DTij表示:

　　DTij=Vlj－Vei(19)

　　(1)移除策略

　　①移除路由時(shí)間tij比較大的客戶節(jié)點(diǎn)j將其從原始路線中移出,；②移除等待時(shí)間WTj較大的客戶節(jié)點(diǎn)j,；③移除tij+WTj值較大的客戶節(jié)點(diǎn)。

　?。?）重插策略

　?、賹⑦`反時(shí)間窗和載重量的位置排除，這些位置不能插入,；②設(shè)有可行線路(v0,v1,…,vi－1,vi,vi+1,…，vn,v0),，將vj點(diǎn)插入vi－1到vi之間的充要條件是:

　　DTi－1,i≥ti－1,j+tji－ti－1,i+STj (20)

　　很明顯,，采用該局部搜索策略會明顯降低目標(biāo)值中的等待時(shí)間，充分發(fā)揮尋優(yōu)作用,。

3仿真實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)分析

　　本文采用Solomon標(biāo)準(zhǔn)測試算例C1,、R1、RC1型數(shù)據(jù)進(jìn)行測試,，它們具有時(shí)間范圍較短,，車輛容量較小的特點(diǎn)，適合模擬本文描述問題,。

　　實(shí)驗(yàn)采用C++語言,，在Visual Studio 2010集成開發(fā)環(huán)境中編寫，程序運(yùn)行在Win 7系統(tǒng)中的Intel Corei5,，2.5 GHz主頻(6 GB內(nèi)存),，64位的Laptop機(jī)上。車輛路由速度為單位速度，交叉概率pc=0.75,，變異概率pm=0.10,，種群規(guī)模設(shè)為100，表1是兩種算法每個(gè)算例運(yùn)行10次的結(jié)果,，平均目標(biāo)值為10次取平均的結(jié)果,。可見,，29組測試數(shù)據(jù)中,，改進(jìn)的混合遺法算法平均目標(biāo)值全部優(yōu)于簡單遺傳算法，最大改進(jìn)率高達(dá)35.54%,。改進(jìn)的混合遺傳算法使用局部搜索策略和精英交叉策略,，加快了尋優(yōu)速度，并能有效地避免算法陷入局部最優(yōu),。

　　算例R101最優(yōu)結(jié)果的迭代過程如圖5所示,，橫軸代表算法迭代次數(shù)，縱軸代表最優(yōu)解的值,。簡單遺傳算法在迭代20 000次左右陷入了局部最優(yōu)解,，最優(yōu)值為2 724.61，可以看出算法的最大缺陷是“早熟”,。改進(jìn)的混合遺傳算法前段收斂速度較快,，其中迭代到16 000次左右遇到一個(gè)局部較優(yōu)解，目標(biāo)值為2 704.58,，但是算法很快就跳出該解,，最后求得一個(gè)更優(yōu)解，目標(biāo)值降到2 568.44,。改進(jìn)的混合遺傳算法在后段能夠跳出局部最優(yōu)解,，主要是局部搜索算法進(jìn)一步尋優(yōu)的結(jié)果。說明改進(jìn)的混合遺傳算法能夠較好地避免“早熟”并有較快的收斂速度,。

4結(jié)論

　　當(dāng)前電子商務(wù)的快速發(fā)展帶動了快遞物流業(yè)的發(fā)展,，影響快遞服務(wù)質(zhì)量的關(guān)鍵因素之一為快遞配送時(shí)效。本文以最小化快遞配送時(shí)間為目標(biāo),，研究帶時(shí)間窗的車輛路徑問題,，建立數(shù)學(xué)模型；為克服遺傳算法收斂速度慢和早熟的缺陷,，設(shè)計(jì)并采用了一種段交叉算子和基于延遲時(shí)間的局部搜索策略,。通過Solomon標(biāo)準(zhǔn)算例測試表明，改進(jìn)的混合遺傳算法較簡單遺傳算法有較好的全局尋優(yōu)能力,，驗(yàn)證了本文算法的有效性,。

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