傳統(tǒng)微弱信號檢測方法在檢測信噪比極低信號時效果很差[1],，而Duffing振子混沌系統(tǒng)由于具有對初值極端敏感,、對噪聲具有較好免疫力等優(yōu)點，在檢測微弱信號時表現(xiàn)出良好效果,。作為一種新的微弱信號檢測方法，混沌振子方法不是消除噪聲,，而是從噪聲背景中提取信號,，針對其獨特性可將其應(yīng)用到實際工程中，包括心電信號檢測[2],、GPS信號捕獲[3],、機電設(shè)備早期故障診斷[4]等方面。

　　本文在分析Duffing非線性動力學系統(tǒng)運動特性基礎(chǔ)上,，針對Duffing振子微弱信號檢測方法存在的問題,，提出基于偽哈密頓量的變尺度Duffing振子弱信號檢測方法。

1 理論分析

　　1.1 基于Duffing方程微弱信號檢測原理

　　選用連續(xù)動力學系統(tǒng)中Duffing振子作為研究對象,，Duffing方程標準形式為[5]：

　　式(1)中,，k為阻尼比，r為策動力振幅,，w為策動力角頻率,。

　　式(1)加入待測信號并寫成狀態(tài)方程形式為：

　　上式中為外部引入的湮沒在噪聲中的微弱正弦信號，h為待測正弦信號幅度,，為待測信號與Duffing系統(tǒng)內(nèi)置周期策動力信號頻率差,， 為待測信號初始相位， n(t)為待測信號中混有的噪聲,。

　　在Simulink仿真環(huán)境下由式(2)即可構(gòu)造出傳統(tǒng)的混沌振子檢測微弱信號的檢測模型,。

　　1.2 Duffing系統(tǒng)混沌判據(jù)

　　傳統(tǒng)上用Lyapunov特性指數(shù)(LCE)確定系統(tǒng)從混沌態(tài)躍變到周期態(tài)的相變閾值rd，用梅爾尼科夫(Melnikov)函數(shù)進行理論計算得到混沌閾值rc的粗略估計值[6],。Duffing方程的Melnikov函數(shù)形式如下：

　　1.3 高頻參數(shù)待測信號尺度變換

　　式(4)說明混沌閾值與周期策動力頻率有關(guān),，當k=0.5時，其關(guān)系如圖1所示,?？梢姰斚到y(tǒng)阻尼比k固定時，在低頻段只需要很小幅度的驅(qū)動力就會使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌,，而在高頻段時則需要較大的驅(qū)動力,。另一方面，Duffing系統(tǒng)只有在低頻參數(shù)條件下有較好的動態(tài)特性和檢測效果，且Duffing振子檢測信號時,，不同頻率待測信號對應(yīng)的相變閾值也不同,，如果每次檢測過程都要搜索相變閾值，將大大增加檢測復雜度,。

　　在處理工程信號時,，文章對待測信號進行二次采樣，即引入變尺度系數(shù)R,，對待測信號進行頻率/時間尺度變換,。若待測信號角頻率為w，其采樣頻率為fs,，則數(shù)值計算的步長為dt=1/fs,。對檢測系統(tǒng)引入變尺度系數(shù)R相當于將信號的時間間隔增大了R倍，相應(yīng)的信號角頻率被壓縮R倍后變?yōu)閣/R,，此時數(shù)值計算步長變?yōu)閐t′=Rdt=R/fs,。

2 自相關(guān)與小波變換聯(lián)合去噪

　　設(shè)已知頻率待測信號為：x(t)=s(t)+n(t),s(t)是周期信號，n(t)是均值為零的高斯白噪聲,，信號自相關(guān)輸出為：

　　式(7)中,，n′(t)是相關(guān)信號中混有的噪聲。

　　實際中由于積分時間不可能無限長,，噪聲只能得到一定程度的抑制[7],，剩余噪聲可通過對相關(guān)后信號進行小波閾值變換進一步削弱。

　　小波閾值消噪過程中,，信號經(jīng)過小波變換后,，可以認為由信號產(chǎn)生的小波系數(shù)包含有信號的重要信息，其幅值大,，但數(shù)目較少,，而噪聲對應(yīng)的小波系數(shù)幅值小。因此,，通過在不同尺度上選取一合適閾值,，并將小于該閾值的小波系數(shù)置零，而保留大于該閾值的小波系數(shù),，從而使信號中的噪聲得到有效抑制,。最后進行逆小波變換，得到去噪后的重構(gòu)信號,。

3 Duffing系統(tǒng)偽哈密頓量

　　考慮平面微分動力系統(tǒng)：

　　則稱式(8)為平面哈密頓系統(tǒng),，其中H(x1,x2)稱為該系統(tǒng)的哈密頓量。

　　對于式(1)Duffing方程,，不考慮阻尼項和策動力的影響,，可以改寫為：

　　實際應(yīng)用中阻尼項和策動力對于系統(tǒng)的哈密頓量有一定影響,，但對系統(tǒng)能量分布幾乎沒有影響，此時的哈密頓量為偽哈密頓量(PH)[8],。圖2為Duffing系統(tǒng)PH值分布情況,，兩個鞍點處PH值最低，系統(tǒng)混沌特性越明顯PH值越低,，大尺度周期狀態(tài)時PH值最高,。

　　用下式構(gòu)造Duffing系統(tǒng)平均哈密頓量(APH)。

　　式(17)中,，N為動力系統(tǒng)的時間序列長度,，i為系統(tǒng)的第i個狀態(tài)。圖3是策動力為rcos(t)時,，策動力幅值變化時Duffing系統(tǒng)APH值變化情況,。基于圖3中APH值階躍型跳變特性來設(shè)定閾值,，進而判斷是否存在微弱信號,。

4 仿真測試和分析

　　基于前面分析,，提出如圖4所示基本原理檢測低信噪比微弱信號,。

　　仿真環(huán)境下為試驗待測信號，n(t)為均值為零的高斯白噪聲,。檢測系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)為：系統(tǒng)初始狀態(tài)(x,0)=(0,0),， k=0.5, fs=10 000 Hz，h=0.000 3 V,w=200 rad/s,，w=0,采用四階Runge-Kutta方法對Duffing方程進行數(shù)值求解,，數(shù)值計算步長為:

　　dt=1/fs=0.000 1         (13)

　　引入變尺度系數(shù)R=200,變換后信號角頻率w′=1 rad/s，則二次采樣頻率fs′=fs/R=500 Hz,，數(shù)值計算步長dt′=Rdt=0.02,。

　　圖5~圖7分別為-20 dB待測信號及此信號先后經(jīng)過自相關(guān)器和小波閾值變換后的輸出，從圖就能直觀看出兩次去噪過程均提高了待測信號信噪比,。

　　本文算法采用信噪比改善因子SNIR衡量去噪效果,，其計算式如下：

　　SNIR=SNRout-SNRin  (14)

　　式中：SNRin為輸入信噪比，SNRout為輸出信噪比,。

　　圖8為不同輸入信噪比條件下的SNIR值,，由圖可知，通過相關(guān)運算可以抑制部分噪聲,，對相關(guān)后信號進行小波閾值變換,，信噪比又有一定程度改善，且在一定范圍內(nèi),，輸入信號信噪比越低,，這種改善越明顯,，證明了本文方法的有效性。

　　若系統(tǒng)APH值用T表示,，仿真得到閾值rd=0.827 856 7,，數(shù)次驗證后選APH值判決系統(tǒng)狀態(tài)的門限值為=0.35，則有：

　　實驗中取t=100 時Lmax值作為最終系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定的Lmax值,，實驗得到表1~表3結(jié)果,。

　　從表1~表3數(shù)據(jù)看出，基于偽哈密頓量和Lyapunov指數(shù)的系統(tǒng)狀態(tài)判別方法結(jié)果是一致的,。另外,，混沌檢測系統(tǒng)能夠檢測的信噪比門限為-10.5 dB, 相關(guān)-混沌檢測系統(tǒng)能夠檢測的信噪比門限為-35.5 dB，相關(guān)與小波變換聯(lián)合-混沌檢測系統(tǒng)能夠檢測的信噪比門限為-39 dB,，由此可見本文檢測算法的有效性和優(yōu)越性,。

　　實驗得到，利用系統(tǒng)APH值判別狀態(tài)的平均計算時間為0.62 s,，利用系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定時Lmax值判別狀態(tài)的平均計算時間為6.7 s,。可見,，APH值算法計算效率明顯高于Lyapunov特性指數(shù)算法,。

　　本文提出基于偽哈密頓量的變尺度Duffing振子弱信號檢測方法，通過頻率/時間尺度變換把高頻信號轉(zhuǎn)換為固定角頻率1 rad/s的信號,，方便了設(shè)置系統(tǒng)相變閾值,，克服了傳統(tǒng)方法低頻參數(shù)信號的限制；搭建相關(guān)與小波閾值變換的聯(lián)合去噪系統(tǒng),極大程度地改善了信噪比,，避免了噪聲對檢測結(jié)果的不利影響,；構(gòu)造Duffing系統(tǒng)偽哈密頓量實時地表征系統(tǒng)動力學行為，解決了定量判斷系統(tǒng)狀態(tài)時計算量大,，效率低的難題,。仿真分析驗證了本文所提檢測方法的有效性和優(yōu)越性。

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