0 引言

    在MIMO網(wǎng)絡(luò)中,，隨著發(fā)射機(jī)與接收機(jī)數(shù)量的增加,，信道中接收機(jī)所受到的干擾也會(huì)隨之增大。如何減少信道中各個(gè)用戶所受到的干擾是一個(gè)重要研究課題,。之前的學(xué)者已經(jīng)提出了許多處理信道中干擾的方法,，譬如，多天線下的波束成形法^[1],，其中在大多數(shù)干擾處理方法中,，接收機(jī)所受到的干擾都會(huì)隨著收發(fā)對(duì)數(shù)量的增長(zhǎng)急劇增加，而干擾對(duì)齊(Interference Alignment,，IA)方案的提出可以有效減少信道間干擾,，并且越來(lái)越被人們所關(guān)注。

    當(dāng)沒(méi)有足夠的信道資源用于消除干擾時(shí),，IA方法嘗試將每個(gè)接收機(jī)的所有干擾對(duì)齊到小部分資源維度中去,，而剩余的資源維度可以用來(lái)存放每個(gè)接收機(jī)的期望消息。IA方法被提出后,，就相繼被運(yùn)用到干擾信道^[2](Interference Channel,，IC)、X信道^[3](X Channel,，XC)等基本網(wǎng)絡(luò)信道模型中,。其中X信道可以看作是干擾信道、廣播信道(Broadcast Channel,，BC)以及多輸入信道(Multiple Access Channel,，MAC)的復(fù)合信道，因此,，研究干擾對(duì)齊在MIMO X信道中的可行性意義重大,。干擾對(duì)齊在M×N X信道中完美實(shí)現(xiàn)時(shí)^[4],，信道中的自由度(Degree of Freedom，DoF)可以達(dá)到上界(MN)/(M+N-1),。

    在傳播延遲較大的信道中時(shí),，譬如水聲信道以及深空信道，干擾對(duì)齊方法可以發(fā)揮巨大作用,，但是對(duì)于具有較大傳播時(shí)延的M×N X信道的具體干擾對(duì)齊方案還在繼續(xù)探索中,。其中，2×2 X 信道^[5-6],、K×2 X信道^[7]基于傳播延遲的干擾對(duì)齊方案已經(jīng)被證實(shí)可以完美實(shí)現(xiàn),，且已經(jīng)得到具體的干擾對(duì)齊信道設(shè)計(jì)方案。但是,，當(dāng)發(fā)送端數(shù)目K≥3時(shí),，還沒(méi)有文獻(xiàn)給出能實(shí)現(xiàn)完美干擾對(duì)齊的具體信道設(shè)計(jì)方案，并且K×3 X信道已經(jīng)被證明,，其不存在完美的干擾對(duì)齊方案^[8],。 

    為了盡可能達(dá)到3×3 X信道的自由度上界9/5，本文在完美干擾對(duì)齊自由度中5個(gè)時(shí)隙的基礎(chǔ)上增加一個(gè)額外時(shí)隙,。在多天線信道中,，可以使用空間干擾對(duì)齊的預(yù)編碼方案^[9]，在單天線情況下,，信道中消息的編解碼使用循環(huán)多項(xiàng)式的表示方法，首先對(duì)發(fā)送端發(fā)送的每個(gè)消息設(shè)計(jì)合理的編碼方案,，其次為每對(duì)發(fā)射機(jī)和接收機(jī)之間設(shè)置合理的傳播時(shí)延,，最終在接收端進(jìn)行解碼后，該3×3 X信道可以達(dá)到3/2自由度,，比傳統(tǒng)的時(shí)分多址的方案在時(shí)間上可以節(jié)省33.3%,。進(jìn)而，分析了本方案中各個(gè)發(fā)射機(jī)以及接收機(jī)在歐幾里得二維以及三維空間中的可行性范圍,，并給出了具體示例,。

1 系統(tǒng)模型

1.1 3×3 X信道系統(tǒng)模型

    3×3 X信道模型如圖1所示，信道中有3個(gè)發(fā)射機(jī)和3個(gè)接收機(jī),，分別用S_j和D_i表示,，i，j∈{1,，2,，3}，且假設(shè)信道中每個(gè)節(jié)點(diǎn)只有一根天線,。使用W_ij表示發(fā)送機(jī)Sj發(fā)送到接收機(jī)D_i的唯一期望消息,，τ_ij表示發(fā)射機(jī)S_j到接收機(jī)D_i之間的傳播延遲,，v_j和r_i分別表示發(fā)射機(jī)Sj發(fā)送的和接收機(jī)D_i所接收到的消息多項(xiàng)式。

1.2 算法說(shuō)明

    每個(gè)發(fā)射機(jī)S_j和接收機(jī)D_i之間的信道被等分為n個(gè)時(shí)隙,，每個(gè)時(shí)隙中只能發(fā)送一個(gè)消息,。假設(shè)傳播延遲是一個(gè)時(shí)隙的靜態(tài)和非負(fù)整數(shù)倍。與傳統(tǒng)的正交多址方案類似,，消息在n個(gè)時(shí)隙之后,，根據(jù)傳播延遲的信道特性循環(huán)右移。該過(guò)程可以通過(guò)循環(huán)右移多項(xiàng)式建立模型,，且周期為n,。

    要發(fā)送的消息在發(fā)射機(jī)處設(shè)置偏移量為x^s發(fā)送，且信道延遲矩陣延遲t個(gè)時(shí)隙,。在一個(gè)周期(n個(gè)時(shí)隙)后,，得到的延遲消息由x^s+tW_ijmod(xⁿ-1)表示，此處的s和t即為式(2)和式(3)中的p_ij和τ_ij,。

    編碼方案：從S_j發(fā)送的3個(gè)消息W_1j,、W_2j、W_3j,，通過(guò)編碼函數(shù)的編碼函數(shù)e_j轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式v_j(x)中,，如式(1)所示：

2 添加額外時(shí)隙的干擾對(duì)齊方案

    已知，3×3 X信道自由度上界為9/5^[2],，理論上可以通過(guò)基于無(wú)限符號(hào)擴(kuò)展的漸近干擾對(duì)齊（IA）來(lái)實(shí)現(xiàn),，這需要無(wú)窮資源來(lái)逼近，實(shí)際中不可能實(shí)現(xiàn),。此外,，已經(jīng)證明，對(duì)于K×3 X信道,，不能通過(guò)傳播時(shí)延來(lái)達(dá)到DoF上限^[8],。因此，無(wú)法在5個(gè)時(shí)隙(對(duì)于3×3 X信道,，n的最小值為5)內(nèi)正確發(fā)送信道中所有9個(gè)消息,。 

    一方面，本文需要通過(guò)3×3 X信道發(fā)送所有9個(gè)獨(dú)立消息,；另一方面,，期望最小的額外延遲成本以獲得盡可能大的DoF。因此,，除了最小的5個(gè)時(shí)隙之外,，僅添加一個(gè)額外的時(shí)隙以減少最多的延遲是合理的，即n=6。

    接下來(lái)本文提出一種方案來(lái)完成在n=6個(gè)時(shí)隙上發(fā)送M=9個(gè)消息的基本任務(wù),，即自由度為3/2,。

    首先，考慮各個(gè)消息在發(fā)射機(jī)處設(shè)置的偏移量（偏移量有多種設(shè)置方案,，此時(shí)僅以如下偏移量為例說(shuō)明）,，假設(shè)各個(gè)消息在各個(gè)發(fā)射機(jī)的偏移量后代入式(2)后可得式(8)：

    通過(guò)設(shè)置每個(gè)待發(fā)送消息的偏移量，可以得到發(fā)送端的消息發(fā)送順序,，如圖2所示,。

    其中，信道中的傳輸延時(shí)矩陣D如式(9)所示：

    已知傳播周期(即一個(gè)周期所包含的總時(shí)隙數(shù))n=6,，接收機(jī)所接收到的消息多項(xiàng)式如下,。

    在接收機(jī)D₁處，r₁(x)如式(10)所示：

    由式(10)可以看出,，在接收機(jī)D₁處,，期望消息W₁₁、W₁₂和W₁₃分別在每個(gè)循環(huán)中的第1,、第2以及第6個(gè)時(shí)隙中被無(wú)干擾地接收到,。同理，在接收機(jī)D₂處,，所接收到的多項(xiàng)式如式(11)所示：

    很明顯,，在接收機(jī)D₂處，D₂的期望消息W₂₂,、W₂₁和W₂₃分別在每個(gè)循環(huán)周期的第2,、第3和第5個(gè)時(shí)隙上被無(wú)干擾地接收。最后,，接收機(jī)D₂處所接收到的多項(xiàng)式如式(12)所示：

    由式(12)可以看出,，D₃的期望消息W₃₃、W₃₁和W₃₂分別在每個(gè)循環(huán)周期的第1,、第5和第6個(gè)時(shí)隙里被無(wú)干擾地接收到。

    通過(guò)本方案,，3個(gè)接收機(jī)均可以在一個(gè)周期內(nèi)(即6個(gè)時(shí)隙內(nèi))接收到各自的期望消息,，并對(duì)齊絕大多數(shù)干擾。每個(gè)接收端的消息接收情況如圖3所示,。

    總的來(lái)說(shuō),，對(duì)于3×3 X信道中的9個(gè)消息，通過(guò)對(duì)發(fā)送端的消息進(jìn)行合理的編碼設(shè)計(jì),，以及信道中的傳播延遲矩陣的設(shè)計(jì),，可以在n=6個(gè)時(shí)隙中實(shí)現(xiàn)干擾對(duì)齊方案，并且能達(dá)到DoF=9/6=3/2,。

3 對(duì)比分析

    本文運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)3×3 X信道添加額外時(shí)隙的干擾對(duì)齊方案下,，每個(gè)時(shí)隙內(nèi)成功接收的總有效消息數(shù)進(jìn)行分析,，并與3×3 X信道在時(shí)分多址方案下的每個(gè)時(shí)隙成功接收的總有效消息數(shù)進(jìn)行對(duì)比。

    本文提出的外加額外時(shí)隙的干擾對(duì)齊方案中,，每個(gè)傳輸周期內(nèi),，需要占用6個(gè)時(shí)隙即可以成功傳輸9個(gè)期望消息，信道可達(dá)自由度為3/2,；在時(shí)分多址情況下,，每個(gè)傳輸周期需要占用9個(gè)時(shí)隙才能成功傳輸這9個(gè)期望消息，信道可達(dá)自由度為1,。即采用本文方案,，每個(gè)周期可以節(jié)省3個(gè)時(shí)隙數(shù)。

    下面是針對(duì)兩種方案,，接收端所能接收的有效消息總數(shù)的對(duì)比,，如圖4所示。當(dāng)發(fā)送9n個(gè)消息時(shí),，干擾對(duì)齊方案需要6n個(gè)時(shí)隙,，時(shí)分多址方案需要9n個(gè)時(shí)隙，比本文所提出的方案多花費(fèi)3n個(gè)時(shí)隙數(shù),。由此可以看出,，對(duì)于3×3 X信道，使用增加額外一個(gè)時(shí)隙的干擾對(duì)齊方案時(shí),，比傳統(tǒng)的時(shí)分多址方案使用的時(shí)間減少33.3%,。通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，添加一個(gè)額外時(shí)隙的干擾對(duì)齊方案能大大提高網(wǎng)絡(luò)中的消息傳輸效率,。

4 歐幾里得空間中的可行性分析

    在本節(jié)中,，討論所提出的方案在歐幾里得二維或三維空間中的可行性。為簡(jiǎn)單起見(jiàn),，假設(shè)傳播速度v在所有鏈路中是恒定的,，這意味各對(duì)收發(fā)機(jī)之間的傳播延遲量也代表其距離關(guān)系。

    S_j和D_i之間的距離可以用d_ij=v(τ_ij+τ₀)表示,，其中τ₀是傳播延遲的參考原點(diǎn),。用a表示為D₁和D₂之間的距離，b表示D₁和D₃之間的距離,，c表示D₂和D₃之間的距離,。在本文模型中，Δτ（傳播延遲）增加表示此對(duì)收發(fā)機(jī)之間相應(yīng)的距離增加,，步長(zhǎng)為Δd=vΔτ,。用O_i(S_j)表示以D_i為中心的圓/球，其圓周上帶有S_j。

式中,，d₀可以根據(jù)實(shí)際情況設(shè)置成不同的值,，可以將此可行性條件應(yīng)用于不同場(chǎng)景，圖5即為該3×3 X信道中,，3個(gè)發(fā)射機(jī)和3個(gè)接收機(jī)在二維歐氏空間上的一種可行性位置排布,。

    下面給出一個(gè)參考示例。例：假設(shè)d₀=1 000,，由式(20)可以得知：0≤Δd≤1 000,，分別考慮Δd取最小值、中間值和最大值時(shí)的可行性范圍,。

    通過(guò)上述例子可以發(fā)現(xiàn),，通過(guò)增加一個(gè)額外時(shí)隙進(jìn)而實(shí)現(xiàn)干擾對(duì)齊這一方案在歐氏空間中是可行的，并且可以通過(guò)不同的場(chǎng)景設(shè)置不同的d₀和Δd來(lái)得出節(jié)點(diǎn)排布的位置范圍,，即a,、b、c的取值范圍,。

5 結(jié)論

    本文研究了3×3 X信道時(shí)域上外加一個(gè)額外時(shí)隙的干擾對(duì)齊方案的可行性,，基于信道傳播延遲，在信道發(fā)送端和接收端使用循環(huán)多項(xiàng)式的編解碼方案,，在接收端解碼之后,，可以成功傳送全部期望消息，信道自由度可以達(dá)到3/2,。把該方案與時(shí)分多址的方法進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),，該方案在每個(gè)傳輸周期內(nèi)可以節(jié)約1/3的時(shí)間。同時(shí)分析了此方案在歐幾里得二維和三維空間中的可行性范圍,，證明了該方案的可行性,。

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作者信息:

劉  鋒，王淑萍,，姜?jiǎng)倜?/p>

(上海海事大學(xué) 信息工程學(xué)院,，上海201306)