0 引言

    在MIMO網(wǎng)絡(luò)中，隨著發(fā)射機與接收機數(shù)量的增加,，信道中接收機所受到的干擾也會隨之增大,。如何減少信道中各個用戶所受到的干擾是一個重要研究課題。之前的學者已經(jīng)提出了許多處理信道中干擾的方法,，譬如,，多天線下的波束成形法^[1]，其中在大多數(shù)干擾處理方法中,，接收機所受到的干擾都會隨著收發(fā)對數(shù)量的增長急劇增加,，而干擾對齊(Interference Alignment，IA)方案的提出可以有效減少信道間干擾,，并且越來越被人們所關(guān)注,。

    當沒有足夠的信道資源用于消除干擾時，IA方法嘗試將每個接收機的所有干擾對齊到小部分資源維度中去,，而剩余的資源維度可以用來存放每個接收機的期望消息,。IA方法被提出后，就相繼被運用到干擾信道^[2](Interference Channel,，IC),、X信道^[3](X Channel,，XC)等基本網(wǎng)絡(luò)信道模型中。其中X信道可以看作是干擾信道,、廣播信道(Broadcast Channel,，BC)以及多輸入信道(Multiple Access Channel，MAC)的復(fù)合信道,，因此,，研究干擾對齊在MIMO X信道中的可行性意義重大。干擾對齊在M×N X信道中完美實現(xiàn)時^[4],，信道中的自由度(Degree of Freedom,，DoF)可以達到上界(MN)/(M+N-1)。

    在傳播延遲較大的信道中時,，譬如水聲信道以及深空信道,，干擾對齊方法可以發(fā)揮巨大作用，但是對于具有較大傳播時延的M×N X信道的具體干擾對齊方案還在繼續(xù)探索中,。其中,，2×2 X 信道^[5-6],、K×2 X信道^[7]基于傳播延遲的干擾對齊方案已經(jīng)被證實可以完美實現(xiàn),，且已經(jīng)得到具體的干擾對齊信道設(shè)計方案。但是,，當發(fā)送端數(shù)目K≥3時,，還沒有文獻給出能實現(xiàn)完美干擾對齊的具體信道設(shè)計方案，并且K×3 X信道已經(jīng)被證明,，其不存在完美的干擾對齊方案^[8],。 

    為了盡可能達到3×3 X信道的自由度上界9/5，本文在完美干擾對齊自由度中5個時隙的基礎(chǔ)上增加一個額外時隙,。在多天線信道中,，可以使用空間干擾對齊的預(yù)編碼方案^[9]，在單天線情況下,，信道中消息的編解碼使用循環(huán)多項式的表示方法,，首先對發(fā)送端發(fā)送的每個消息設(shè)計合理的編碼方案，其次為每對發(fā)射機和接收機之間設(shè)置合理的傳播時延,，最終在接收端進行解碼后,，該3×3 X信道可以達到3/2自由度，比傳統(tǒng)的時分多址的方案在時間上可以節(jié)省33.3%,。進而,，分析了本方案中各個發(fā)射機以及接收機在歐幾里得二維以及三維空間中的可行性范圍，并給出了具體示例,。

1 系統(tǒng)模型

1.1 3×3 X信道系統(tǒng)模型

    3×3 X信道模型如圖1所示,，信道中有3個發(fā)射機和3個接收機,，分別用S_j和D_i表示，i,，j∈{1,，2，3},，且假設(shè)信道中每個節(jié)點只有一根天線,。使用W_ij表示發(fā)送機Sj發(fā)送到接收機D_i的唯一期望消息，τ_ij表示發(fā)射機S_j到接收機D_i之間的傳播延遲,，v_j和r_i分別表示發(fā)射機Sj發(fā)送的和接收機D_i所接收到的消息多項式,。

1.2 算法說明

    每個發(fā)射機S_j和接收機D_i之間的信道被等分為n個時隙，每個時隙中只能發(fā)送一個消息,。假設(shè)傳播延遲是一個時隙的靜態(tài)和非負整數(shù)倍,。與傳統(tǒng)的正交多址方案類似，消息在n個時隙之后,，根據(jù)傳播延遲的信道特性循環(huán)右移,。該過程可以通過循環(huán)右移多項式建立模型，且周期為n,。

    要發(fā)送的消息在發(fā)射機處設(shè)置偏移量為x^s發(fā)送,，且信道延遲矩陣延遲t個時隙。在一個周期(n個時隙)后,，得到的延遲消息由x^s+tW_ijmod(xⁿ-1)表示,，此處的s和t即為式(2)和式(3)中的p_ij和τ_ij。

    編碼方案：從S_j發(fā)送的3個消息W_1j,、W_2j,、W_3j，通過編碼函數(shù)的編碼函數(shù)e_j轉(zhuǎn)換為多項式v_j(x)中,，如式(1)所示：

2 添加額外時隙的干擾對齊方案

    已知,，3×3 X信道自由度上界為9/5^[2]，理論上可以通過基于無限符號擴展的漸近干擾對齊（IA）來實現(xiàn),，這需要無窮資源來逼近,，實際中不可能實現(xiàn)。此外,，已經(jīng)證明,，對于K×3 X信道，不能通過傳播時延來達到DoF上限^[8],。因此,，無法在5個時隙(對于3×3 X信道，n的最小值為5)內(nèi)正確發(fā)送信道中所有9個消息,。 

    一方面,，本文需要通過3×3 X信道發(fā)送所有9個獨立消息,；另一方面，期望最小的額外延遲成本以獲得盡可能大的DoF,。因此,，除了最小的5個時隙之外，僅添加一個額外的時隙以減少最多的延遲是合理的,，即n=6,。

    接下來本文提出一種方案來完成在n=6個時隙上發(fā)送M=9個消息的基本任務(wù)，即自由度為3/2,。

    首先,，考慮各個消息在發(fā)射機處設(shè)置的偏移量（偏移量有多種設(shè)置方案，此時僅以如下偏移量為例說明）,，假設(shè)各個消息在各個發(fā)射機的偏移量后代入式(2)后可得式(8)：

    通過設(shè)置每個待發(fā)送消息的偏移量,，可以得到發(fā)送端的消息發(fā)送順序，如圖2所示,。

    其中,，信道中的傳輸延時矩陣D如式(9)所示：

    已知傳播周期(即一個周期所包含的總時隙數(shù))n=6，接收機所接收到的消息多項式如下,。

    在接收機D₁處,，r₁(x)如式(10)所示：

    由式(10)可以看出，在接收機D₁處,，期望消息W₁₁,、W₁₂和W₁₃分別在每個循環(huán)中的第1、第2以及第6個時隙中被無干擾地接收到,。同理，在接收機D₂處,，所接收到的多項式如式(11)所示：

    很明顯,，在接收機D₂處，D₂的期望消息W₂₂,、W₂₁和W₂₃分別在每個循環(huán)周期的第2,、第3和第5個時隙上被無干擾地接收。最后,，接收機D₂處所接收到的多項式如式(12)所示：

    由式(12)可以看出,，D₃的期望消息W₃₃、W₃₁和W₃₂分別在每個循環(huán)周期的第1,、第5和第6個時隙里被無干擾地接收到,。

    通過本方案，3個接收機均可以在一個周期內(nèi)(即6個時隙內(nèi))接收到各自的期望消息,，并對齊絕大多數(shù)干擾,。每個接收端的消息接收情況如圖3所示,。

    總的來說，對于3×3 X信道中的9個消息,，通過對發(fā)送端的消息進行合理的編碼設(shè)計,，以及信道中的傳播延遲矩陣的設(shè)計，可以在n=6個時隙中實現(xiàn)干擾對齊方案,，并且能達到DoF=9/6=3/2,。

3 對比分析

    本文運用MATLAB軟件對3×3 X信道添加額外時隙的干擾對齊方案下，每個時隙內(nèi)成功接收的總有效消息數(shù)進行分析,，并與3×3 X信道在時分多址方案下的每個時隙成功接收的總有效消息數(shù)進行對比,。

    本文提出的外加額外時隙的干擾對齊方案中，每個傳輸周期內(nèi),，需要占用6個時隙即可以成功傳輸9個期望消息,，信道可達自由度為3/2；在時分多址情況下,，每個傳輸周期需要占用9個時隙才能成功傳輸這9個期望消息,，信道可達自由度為1。即采用本文方案,，每個周期可以節(jié)省3個時隙數(shù),。

    下面是針對兩種方案，接收端所能接收的有效消息總數(shù)的對比,，如圖4所示,。當發(fā)送9n個消息時，干擾對齊方案需要6n個時隙,，時分多址方案需要9n個時隙,，比本文所提出的方案多花費3n個時隙數(shù)。由此可以看出,，對于3×3 X信道,，使用增加額外一個時隙的干擾對齊方案時，比傳統(tǒng)的時分多址方案使用的時間減少33.3%,。通過比較發(fā)現(xiàn),，添加一個額外時隙的干擾對齊方案能大大提高網(wǎng)絡(luò)中的消息傳輸效率。

4 歐幾里得空間中的可行性分析

    在本節(jié)中,，討論所提出的方案在歐幾里得二維或三維空間中的可行性,。為簡單起見，假設(shè)傳播速度v在所有鏈路中是恒定的,，這意味各對收發(fā)機之間的傳播延遲量也代表其距離關(guān)系,。

    S_j和D_i之間的距離可以用d_ij=v(τ_ij+τ₀)表示，其中τ₀是傳播延遲的參考原點。用a表示為D₁和D₂之間的距離,，b表示D₁和D₃之間的距離,，c表示D₂和D₃之間的距離。在本文模型中,，Δτ（傳播延遲）增加表示此對收發(fā)機之間相應(yīng)的距離增加,，步長為Δd=vΔτ。用O_i(S_j)表示以D_i為中心的圓/球,，其圓周上帶有S_j,。

式中，d₀可以根據(jù)實際情況設(shè)置成不同的值,，可以將此可行性條件應(yīng)用于不同場景,，圖5即為該3×3 X信道中，3個發(fā)射機和3個接收機在二維歐氏空間上的一種可行性位置排布,。

    下面給出一個參考示例,。例：假設(shè)d₀=1 000，由式(20)可以得知：0≤Δd≤1 000,，分別考慮Δd取最小值,、中間值和最大值時的可行性范圍。

    通過上述例子可以發(fā)現(xiàn),，通過增加一個額外時隙進而實現(xiàn)干擾對齊這一方案在歐氏空間中是可行的,，并且可以通過不同的場景設(shè)置不同的d₀和Δd來得出節(jié)點排布的位置范圍，即a,、b,、c的取值范圍。

5 結(jié)論

    本文研究了3×3 X信道時域上外加一個額外時隙的干擾對齊方案的可行性,，基于信道傳播延遲,，在信道發(fā)送端和接收端使用循環(huán)多項式的編解碼方案，在接收端解碼之后,，可以成功傳送全部期望消息,，信道自由度可以達到3/2。把該方案與時分多址的方法進行對比可以發(fā)現(xiàn),，該方案在每個傳輸周期內(nèi)可以節(jié)約1/3的時間。同時分析了此方案在歐幾里得二維和三維空間中的可行性范圍,，證明了該方案的可行性,。

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作者信息:

劉  鋒,，王淑萍，姜勝明

(上海海事大學 信息工程學院,，上海201306)