0 引言

    近年來,，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)引起了科學家的廣泛關(guān)注^[1],。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)最重要的統(tǒng)計特征是小世界效應(yīng)^[2]和無標度特性^[3]，其中,，小世界網(wǎng)絡(luò)具有小的特征路徑長度和大的簇系數(shù),，而無標度特性指的是網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點度(節(jié)點的度定義為與該節(jié)點相關(guān)聯(lián)的邊的條數(shù))分布服從冪律^[4]。

    復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的同步現(xiàn)象是一種重要的研究課題^[5-7],。研究表明,，無標度網(wǎng)絡(luò)和小世界網(wǎng)絡(luò)的同步能力好于規(guī)則網(wǎng)絡(luò)^[8]。對這一現(xiàn)象的普遍解釋是小世界網(wǎng)絡(luò)和無標度網(wǎng)絡(luò)的平均最短距離小，使得信息之間的交流更高效,。然而本文發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的同步能力幾乎獨立于網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度,，即平均路徑相同的網(wǎng)絡(luò)同步能力卻存在較大的差異。NISHIKAWA T,、MOTTER A E等的研究表明,，對無標度網(wǎng)絡(luò)而言，網(wǎng)絡(luò)度分布的不均勻性抑制了網(wǎng)絡(luò)同步能力的增強^[9],；HONG H,、KIM B J等的研究則表明，對WS小世界網(wǎng)絡(luò)而言,，使節(jié)點度分布變得不均勻(即增大度分布的方差)增強了小世界網(wǎng)絡(luò)的同步能力^[10],，與文獻的結(jié)論貌似沖突。本文對此給出了詳盡的解釋,。

    BARAHONA M和PECORA L M^[11]研究了線性耦合網(wǎng)絡(luò)的同步穩(wěn)定性問題,，給出了主穩(wěn)定函數(shù)判據(jù)。如果在網(wǎng)絡(luò)的每個節(jié)點上放置一個動力學系統(tǒng)(該動力學系統(tǒng)既可以是極限環(huán),，也可以是混沌的),，讓有邊相連的兩個節(jié)點的動力學系統(tǒng)之間存在相互耦合作用，就形成了一個動力學網(wǎng)絡(luò),。設(shè)網(wǎng)絡(luò)有N個節(jié)點,那么第i個節(jié)點所滿足的狀態(tài)方程是：

    WS小世界網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造算法為：(1)給定一個節(jié)點數(shù)為N的規(guī)則網(wǎng)絡(luò),，每個節(jié)點都與它最鄰近的K=2k個節(jié)點相連，通常N≥K≥1,；(2)依次訪問網(wǎng)絡(luò)中的每個節(jié)點,，對每個節(jié)點的所有連線以概率p進行重連，連接該節(jié)點的一端不變,，另一端隨機選擇節(jié)點連接,，但兩個節(jié)點之間不允許重復(fù)連接，也不允許節(jié)點與自身相連,。

    本文考慮了一種擇優(yōu)選擇的小世界網(wǎng)絡(luò)模型(Small-World Networks with Preferential Attachment,，PA小世界網(wǎng)絡(luò))。其構(gòu)造算法為：(1)步驟(1)與WS小世界網(wǎng)絡(luò)模型相同,；(2)在WS小世界網(wǎng)絡(luò)斷開重連時,，不是隨機選擇一個節(jié)點連接，而是按照正比與節(jié)點度的概率選擇節(jié)點連接,。

1 網(wǎng)絡(luò)幾何特征量

1.1 簇系數(shù)

    簇系數(shù)是表征網(wǎng)絡(luò)節(jié)點集群程度的物理量,。節(jié)點i的簇系數(shù)定義為所有相鄰節(jié)點之間連邊的數(shù)目與可能的最大連邊數(shù)目的比例。假設(shè)節(jié)點i的度為k_i,，它的所有鄰居節(jié)點之間的邊數(shù)為E_i，則節(jié)點i的簇系數(shù)定義為C_i=2E_i/(k_i(k_i-1))。對網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的簇系數(shù)求平均值就是整個網(wǎng)絡(luò)的簇系數(shù),。

1.2 特征路徑長度

    在網(wǎng)絡(luò)中,，兩點間的距離定義為連接兩點的最短路徑所包含的邊的數(shù)目，對所有節(jié)點對的距離求平均就得到了網(wǎng)絡(luò)的特征路徑長度,。

1.3 節(jié)點度的方差

    節(jié)點度的方差是衡量節(jié)點度分布均勻性的一種度量,。度分布越均勻，方差越??；反之，方差越大,。其定義為：

1.4 節(jié)點的介數(shù)

    節(jié)點k的介數(shù)定義為：

式中,，g_ij是節(jié)點i和節(jié)點j之間最短路徑的條數(shù)，g_ikj表示節(jié)點i和節(jié)點j之間最短路徑中經(jīng)過節(jié)點k的條數(shù),。對網(wǎng)絡(luò)中的所有節(jié)點對(i,，j)求和即可以得到節(jié)點k的介數(shù)。由此可以看出,，一個節(jié)點的介數(shù)反映了該節(jié)點在其他節(jié)點通信中的重要程度,。

2 仿真結(jié)果

    仿真中，選擇網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)N=500(仿真表明,，節(jié)點數(shù)的多少并不影響結(jié)果的普遍性),，K=2k=12，即網(wǎng)絡(luò)的平均度<k>=12,。仿真圖的數(shù)據(jù)為節(jié)點數(shù)N=500時程序運行50次的平均結(jié)果,。

    首先研究了特征根比例R隨重連概率p的變化情況。如圖1所示,，對于PA小世界網(wǎng)絡(luò),，隨著的p增大，R值先是單調(diào)減小然后單調(diào)增大,，表明該網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨著p先增強后減弱,；對于WS小世界網(wǎng)絡(luò)，R單調(diào)遞減,，這表明WS小世界網(wǎng)絡(luò)的同步能力隨著p的增大而增強,。那么發(fā)生這種差異的原因是什么呢？為此,，本文還研究了網(wǎng)絡(luò)的其他幾何特征量,，如網(wǎng)絡(luò)的特征路徑長度l和簇系數(shù)C(如圖2所示)、節(jié)點度的方差σ²(如圖3所示),、節(jié)點的最大介數(shù)B_max(如圖4所示)以及節(jié)點的最大度數(shù)k_max(如圖5所示)等隨著p的變化情況,。

    由圖2可以看出,，對于PA小世界網(wǎng)絡(luò)和WS小世界網(wǎng)絡(luò)，特征路徑長度l和簇系數(shù)C都隨著p的增加而單調(diào)減小,，且?guī)缀醣３忠恢?，這說明圖1中R值的差異不是由特征路徑長度l和簇系數(shù)C的不同引起的；同時,，也表明對于特征路徑長度和簇系數(shù)都幾乎相同的網(wǎng)絡(luò),，其同步性能仍然可以展現(xiàn)出相當?shù)牟町悾舱f明了兩者中的任何一個都不是造成這種差異的原因,。

    圖3是對PA小世界網(wǎng)絡(luò)和WS小世界網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點度的方差仿真的結(jié)果,。顯而易見，PA小世界網(wǎng)絡(luò)和WS小世界網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點度的方差都隨著p的增大而增大,，但在PA小世界網(wǎng)絡(luò)中,，由于重連時另一端為擇優(yōu)選擇，導(dǎo)致節(jié)點度的方差增大的速度明顯快于WS小世界網(wǎng)絡(luò),。HONG H^[10]等人認為小世界網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點度的方差的增大會導(dǎo)致其同步能力的增強,。本文的仿真也表明，在WS小世界網(wǎng)絡(luò)中,，隨著p的增大,，R逐漸減小，節(jié)點度方差σ²逐漸增大,，那么是否節(jié)點度的方差的增大是導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)同步能力增強的原因呢,？答案是否定的?？梢钥吹?，在PA小世界網(wǎng)絡(luò)中，隨著重連概率p的增大,，方差也逐漸增大,，且增加的速率明顯大于WS小世界網(wǎng)絡(luò)，但由于節(jié)點度的方差增加的太快,，使得這種度分布的不均勻性對網(wǎng)絡(luò)的同步能力起了抑制作用(如在圖1中當p≥0.7時R值的上揚,，表明了PA小世界網(wǎng)絡(luò)同步能力的下降)。從圖1可以看出,，在整個p值的范圍內(nèi),，PA小世界網(wǎng)絡(luò)的同步能力明顯不及WS小世界網(wǎng)絡(luò)(因為R_PA>R_WS)。

    另由圖3可知,，在整個p值的范圍內(nèi),，PA小世界網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點度的方差始終大于WS小世界網(wǎng)絡(luò)。因為兩種網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)特征路徑長度l和簇系數(shù)C幾乎相等(由圖2可知),，由此可以推斷,，節(jié)點度的不均勻性實際上對網(wǎng)絡(luò)的同步能力起抑制作用,。由此，在WS小世界網(wǎng)絡(luò)中,，增強網(wǎng)絡(luò)同步能力的主要因素不是節(jié)點度方差逐漸增大(節(jié)點度方差只是由于小世界網(wǎng)絡(luò)中邊的重連引起的一種很自然且必然的結(jié)果),，網(wǎng)絡(luò)的特征路徑長度下降才是最主要的原因(當p值較小時，盡管度分布的不均勻性抑制了網(wǎng)絡(luò)的同步能力,，但由于網(wǎng)絡(luò)的特征路徑長度大幅下降，網(wǎng)絡(luò)的同步能力還是增強了,；但是,，當網(wǎng)絡(luò)的特征路徑長度下降幾乎為常數(shù)時，如果節(jié)點度分布的方差大于一定的臨界值,，其抑制作用就比較明顯了,，如圖1和圖3所示)。所以,，短的特征路徑長度和均勻的節(jié)點度分布綜合作用才能導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)同步能力的增強,。此外，NISHIKAWA T^[9]和HONG H^[10]均認為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的最大介數(shù)B_max是表征網(wǎng)絡(luò)同步能力的一種相對合理的因素,。降低網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的最大介數(shù)B_max將導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)同步能力的增強,。圖4的仿真結(jié)果也說明了這個問題?？梢钥吹?，在PA小世界網(wǎng)絡(luò)中，B_max隨p先是單調(diào)下降然后單調(diào)上升,，與R隨p的變化趨勢相同,。所以，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的最大介數(shù)B_max的確可以作為表征網(wǎng)絡(luò)同步能力的一種度量,。

    由圖4可知,，在整個p值范圍內(nèi)，PA小世界網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的最大介數(shù)始終大于WS小世界網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的最大介數(shù),；而圖1中,，在整個p值范圍內(nèi)，PA小世界網(wǎng)絡(luò)的同步能力始終不及WS小世界網(wǎng)絡(luò),，這從另外一個側(cè)面反映了最大介數(shù)表征網(wǎng)絡(luò)同步能力的合理性,。在無標度網(wǎng)絡(luò)中，網(wǎng)絡(luò)中最大節(jié)點度k_max和最大介數(shù)B_max是正相關(guān)的,，即k_max越大,，通常B_max也越大；在WS小世界網(wǎng)絡(luò)中,，變化呈相反的趨勢,，隨著k_max的增大,，B_max單調(diào)下降，如圖4和圖5所示,，在PA小世界網(wǎng)絡(luò)中,，k_max和B_max呈現(xiàn)一種相對微妙復(fù)雜的關(guān)系。

3 結(jié)論

    本文研究了一種擇優(yōu)選擇的小世界網(wǎng)絡(luò)模型,，基于這種模型,，詳盡地研究了網(wǎng)絡(luò)的同步能力與網(wǎng)絡(luò)中的各種幾何特征量(如網(wǎng)絡(luò)平均路徑、簇系數(shù),、度分布以及介數(shù)等)之間的關(guān)系,。研究結(jié)果表明，網(wǎng)絡(luò)的特征路徑長度和簇系數(shù)都不能單獨決定網(wǎng)絡(luò)的同步能力,，因為,，在兩者都相等的情況下網(wǎng)絡(luò)仍然可以有很多不同的配置，因而網(wǎng)絡(luò)的同步能力仍然可以存在較大的差異,。節(jié)點度分布的不均勻性從本質(zhì)上抑制了網(wǎng)絡(luò)的同步能力,。仿真結(jié)果表明，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的最大介數(shù)是表征網(wǎng)絡(luò)同步能力的一種相對統(tǒng)一的物理量,。

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作者信息：

呂  瑛，李穎華

(西北工業(yè)大學明德學院 信息工程學院,，陜西 西安710124)