摘   要： 在分析已有算法的基礎(chǔ)上，利用增量法與分治法相結(jié)合的思想,實(shí)現(xiàn)了直接對空間散亂點(diǎn)的三角剖分,。通過對空間散亂點(diǎn)的三角剖分,，最終得到滿足所要重建物體的三角網(wǎng)格模型，且網(wǎng)格非常均勻,該模型直觀、清晰地再現(xiàn)了實(shí)體模型,。實(shí)驗(yàn)證明了算法的可行性,。
關(guān)鍵詞： 三維重建; 空間散亂點(diǎn); 三角剖分; 增量法; 分治法

    在計算機(jī)視覺中,三維重建是指由多幅二維圖像恢復(fù)物體三維可見表面幾何形狀的方法（物體的空間位置信息）。三維重建直接模擬人類雙眼處理景物的方式,，具有簡單,、可靠、靈活,、使用范圍廣等特點(diǎn),，可以進(jìn)行非接觸、自動,、在線檢測等,。
　從某種角度上說，三維重建的最終目的是可視,，就是把被重建的物體真實(shí)地顯示出來,。由三維重建算法得到的是一組三維點(diǎn)集，并不能求得整個物體表面的細(xì)節(jié),，因此需要對這些散亂的三維點(diǎn)進(jìn)行三角剖分,，用許多小三角形組成的表面來近似物體表面，這樣就相當(dāng)于給散亂的三維點(diǎn)集搭起一個立體的網(wǎng)狀骨架模型,。經(jīng)過三角剖分之后,，所有三角形的平面片在空間撐出了物體的三維模型。這時只需要將物體的紋理從圖像中取出,，并映射至三維模型上就可以提供物體的真實(shí)三維模型,。
　三角剖分是虛擬現(xiàn)實(shí)、計算機(jī)視覺等領(lǐng)域的一個研究熱點(diǎn),。目前針對三角化的研究主要有：BOLL和VEMURI[1],、 BRINKLEY和SCHMITT等采用參數(shù)表示法，將三維數(shù)據(jù)映射到二維參數(shù)域上,在二維進(jìn)行曲面重構(gòu),然后將結(jié)果映射回三維空間,；BOWYER和WATSON[2]采用Delaunay三角剖分法,將二維的Delaunay三角剖分推廣到三維進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)重構(gòu),。BERNARIDINI 的 BPA 算法[3]通過種子三角形不斷向周圍擴(kuò)展，從而構(gòu)成最終的三角形網(wǎng)格等,。
　目前,對于平面區(qū)域的散亂點(diǎn)集三角剖分已經(jīng)取得了一定的成果,，但很多算法推廣至三維空間仍存在一些問題，在算法的時間效率上也有待進(jìn)一步提高,，因此對于三維空間散亂點(diǎn)集的三角剖分有待進(jìn)一步的發(fā)展,。
　本文提出了一種利用增量法與分治法相結(jié)合的算法，直接對空間散亂點(diǎn)進(jìn)行三角剖分,，降低算法的時間復(fù)雜度,，并通過編程證明了該算法的可行性,。
1  三角剖分算法的基礎(chǔ)理論
　三角剖分中以Delaunay三角剖分最具有代表性，它是優(yōu)化的三角剖分,。Delaunay三角剖分的概念是1934年由俄國數(shù)學(xué)家Delaunay提出的,。  
   三角剖分所具備的優(yōu)異特性主要有以下幾個方面：
   (1)最接近：以最臨近的三點(diǎn)形成三角形，且各線段(三角形的邊)皆不相交,；
   (2)唯一性：不論從區(qū)域何處開始構(gòu)建,，最終都將得到一致的結(jié)果；
　(3)最優(yōu)性：任意兩個相鄰三角形形成的凸四邊形的對角線如果可以互換的話,，那么兩個三角形6個內(nèi)角中最小的角度不會變大,；
　(4)最規(guī)則：如果將三角網(wǎng)中的每個三角形的最小角進(jìn)行升序排列，則Delaunay三角網(wǎng)的排列得到的數(shù)值最大,；
　(5)區(qū)域性：新增,、刪除、移動某一個頂點(diǎn)時只會影響臨近的三角形,；
　(6)具有凸多邊形的外殼：三角網(wǎng)最外層的邊界形成一個凸多邊形的外殼,。
　關(guān)于Delaunay三角剖分主要有三類:增量算法(逐點(diǎn)插入法)、分治法(分割歸并算法)和三角網(wǎng)生長算法,。三角網(wǎng)生長法在20世紀(jì)80年代中期以后就很少用到,較常見的是分治算法和逐點(diǎn)插入法,。
　增量算法的思想：先構(gòu)造一個包含所有點(diǎn)集的大三角形，然后逐點(diǎn)在三角形內(nèi)插入點(diǎn),，插入的過程不斷用Delaunay三角優(yōu)化準(zhǔn)則去檢查和調(diào)整,，直到所有點(diǎn)插入完整，算法結(jié)束,。
　逐點(diǎn)插入法有不同的實(shí)現(xiàn)方法，區(qū)別在于初始多邊形的不同和初始三角剖分的方法不同,。較有代表性的是Lawson算法[4]以及Lee和Schacher算法[5],。
   分治算法的思想：所謂的分治法，其實(shí)就是分而治之,。首先把要處理的點(diǎn)集分成幾個相等的子點(diǎn)集,，按Delaunay三角優(yōu)化準(zhǔn)則對各子點(diǎn)集進(jìn)行三角剖分，然后把各個子集的相鄰三角形邊界進(jìn)行合并,，最后對合并時在子集邊界處新生成的三角形進(jìn)行優(yōu)化,。
   分治法也有不同的實(shí)現(xiàn)方法,其不同之處在于使用不同的子集劃分方法、子集中三角剖分方法或者各子集邊界的合并方法,，比較經(jīng)典的算法是Lee和Schacher算法[5],、Dwyer算法[6]。
2 改進(jìn)的三角剖分算法
2.1 復(fù)雜度及優(yōu)缺點(diǎn)分析
　增量算法簡單直觀,，占用內(nèi)存小,，魯棒性好,，容易實(shí)現(xiàn)，但時間復(fù)雜度差,最壞情況為O(n2),。當(dāng)處理的散亂點(diǎn)數(shù)量增長時,，處理的時間也指數(shù)地增長，故降低其時間復(fù)雜度顯得相當(dāng)重要,。
　分治算法時間復(fù)雜度方面較好,，其最壞情況為O(lgn)，但由于遞歸執(zhí)行,，需要較大的內(nèi)存空間,，對于大規(guī)模的散亂點(diǎn)的處理要求大量的內(nèi)存空間。
　兩種算法各有自己的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn),，增量算法時間效率差,，節(jié)省內(nèi)存空間;而分治法時間效率好，但需要大量內(nèi)存,。          
　改進(jìn)的算法思想是把分治算法與增量法結(jié)相結(jié)合,，以分治算法為主體,增量法為輔：當(dāng)遞歸分割數(shù)據(jù)點(diǎn)集的過程進(jìn)行到子點(diǎn)集中的數(shù)據(jù)量小于一個預(yù)定值——分割閾值時終止,然后用增量法在子集中生成子三角網(wǎng)。這一新的算法稱為合成算法,。
2.2 算法的改進(jìn)
2.2.1 分治法中的改進(jìn)
   分治法中采用一對八式的八叉樹數(shù)據(jù)模型來完成分割與合并,。
　首先利用八叉樹模型對空間離散點(diǎn)進(jìn)行分割，然后對八叉樹葉子節(jié)點(diǎn)進(jìn)行Delaunay三角化,，最后依據(jù)Delaunay法則將各局部三角網(wǎng)自下而上逐級合并,，進(jìn)而生成最終的整個點(diǎn)集三角網(wǎng)模型,這樣將兩種三角化適當(dāng)結(jié)合，提高了算法的效率,。
　其中,，在合并的過程中盡量減少了查找正確擴(kuò)展點(diǎn)的范圍，從而節(jié)約了時間,，提高了算法的執(zhí)行效率,。
　具體作法：將各節(jié)點(diǎn)生成三角網(wǎng)凸殼的擴(kuò)展邊（邊界）找出，用鏈表分別存儲,，兩兩合并三角網(wǎng)時所需用到的邊和點(diǎn)就可直接取自這兩條鏈表中的數(shù)據(jù),，而無需在該區(qū)域中所有點(diǎn)中逐一比較尋找了，從而避免了很多無用功,。
    用八叉樹來表示三維形體,，既可以看成是四叉樹方法在三維空間的推廣，也可以認(rèn)為是用三維體素陣列表示形體方法的一種改進(jìn),如圖1所示,。

    八叉樹有三種不同的存儲結(jié)構(gòu),，分別是規(guī)則方式、線性方式以及一對八方式,。相應(yīng)的八叉樹也分別稱為規(guī)則八叉樹,、線性八叉樹以及一對八式八叉樹,。不同的存儲結(jié)構(gòu)的空間利用率及運(yùn)算操作的方便性是不同的。分析表明,，一對八式八叉樹優(yōu)點(diǎn)更多一些,。
    (1)規(guī)則八叉樹
     規(guī)則八叉樹缺陷較多，最大的問題是指針占用了大量的空間,。假定每個指針要用2 B表示,，而節(jié)點(diǎn)的描述用1 B,則存放指針要占總存儲量的94％。因此,，這種方法雖然十分自然,，容易掌握，但在存儲空間的使用率方面不是很理想,。
    (2)線性八叉樹
    線性八叉樹不僅節(jié)省存儲空間,，對某些運(yùn)算也較為方便,但是為此付出的代價是喪失了一定的靈活性。
    (3)一對八式的八叉樹
     一個非葉節(jié)點(diǎn)有8個子節(jié)點(diǎn),，為了確定起見,，將它們分別標(biāo)記為0、1,、2,、3、4,、5,、6、7,。綜上所述,，如果一個記錄與一個節(jié)點(diǎn)相對應(yīng)，那么在這個記錄中描述的是這個結(jié)點(diǎn)的8個子節(jié)點(diǎn)的特性值,。而指針給出的則是該8個子節(jié)點(diǎn)所對應(yīng)記錄的存放處,，而且還隱含地假定了這些子結(jié)點(diǎn)記錄存放的次序。也就是說,，即使某個記錄是不必要的(例如該節(jié)點(diǎn)已是葉節(jié)點(diǎn))，則相應(yīng)的存儲位置也必須空閑在那里,，以保證不會錯誤地存取到其他同輩節(jié)點(diǎn)的記錄,。這樣當(dāng)然會有一定的浪費(fèi)，除非它是完全的八叉樹,，即所有的葉節(jié)點(diǎn)均在同一層次出現(xiàn),，而在該層次之上的所有層中的節(jié)點(diǎn)均為非葉節(jié)點(diǎn)。
    綜上優(yōu)缺分析后,，文中選擇了一對八式的八叉樹數(shù)據(jù)模型,。
2.2.2 Delaunay增量算法的改進(jìn)
    Delaunay增量算法的思想是逐點(diǎn)插入,每次插入一個散亂點(diǎn),，經(jīng)處理形成若干新的四面體;但隨著插入點(diǎn)的增加，所生成的四面體便成倍地增長,，而計算量也大大增加,。
    如何縮短算法中各個環(huán)節(jié)的計算時間成為提高整個算法效率的關(guān)鍵。這些關(guān)鍵問題涉及散亂點(diǎn)的加入方式,、搜索方法等,。
    本文在搜索四面的外接圓時使用了指南針?biāo)惴ǎ岣吡怂惴ǖ乃阉餍省?br /> 2.3 可行性分析
    (1)采用八叉樹分割,，并用遞歸的思想,，當(dāng)數(shù)據(jù)量大的時候，調(diào)用的程序運(yùn)行效率比較低,。在本程序的實(shí)現(xiàn)中,，將遞歸調(diào)用轉(zhuǎn)化為迭代，從而提高算法效率[7,8],。
    (2)文中在增量算法中嵌入了指南針?biāo)惴ㄋ褜に拿骟w外接球體,，以加快算法的搜尋速度。
    (3)在合并的過程中盡量縮小查找正確擴(kuò)展點(diǎn)的范圍,提高了算法的執(zhí)行效率,。
3 實(shí)驗(yàn)
    本文的實(shí)驗(yàn)環(huán)境：CPU為Pentium(R) Dual-Core 2.5 GHz,，內(nèi)存1 GB，顯卡為集成顯卡,，操作系統(tǒng)為Window XP,，仿真平臺為Matlab 7.0。
    (1)選取通過三維掃描儀得到的點(diǎn)云圖,，分別利用Matlab中的Delaunay（）函數(shù)剖分和改進(jìn)的三角剖分算法對點(diǎn)云圖進(jìn)行剖分,，在點(diǎn)數(shù)變化時，對兩種算法所剖分出四面的數(shù)量和所用時間進(jìn)行比較,結(jié)果如表1所示,。

    (2)選取通過三維掃描儀得到的一條圍巾的點(diǎn)云圖,，分別利用Matlab中Delaunay( )函數(shù)、Delaunayn( )剖分和改進(jìn)的三角剖分算法對點(diǎn)云圖進(jìn)行剖分,。通過三維掃描儀掃描圍巾得到點(diǎn)云,如圖2所示,，使用原算法和改進(jìn)算法對圍巾點(diǎn)云圖進(jìn)行三角剖分，結(jié)果如圖3和圖4所示,。

　 對圖3和圖4中的1號與2號區(qū)域放大,比較效果分別如圖5,、圖6、圖7,、圖8所示,。

    使用兩種算法對圍巾點(diǎn)云剖分在剖分出四面的數(shù)量和所用時間方面進(jìn)行比較,結(jié)果如表2所示。

    通過對不同數(shù)量的空間散亂點(diǎn)的三角剖分,，利用Matlab內(nèi)置的Delauany()函數(shù)與改進(jìn)的三角剖分算法對空間散亂點(diǎn)集進(jìn)行三角剖分,，對剖分出四面體的數(shù)量和所用時間進(jìn)行比較,，改進(jìn)的算法在剖分出的四面體數(shù)量和時間效率上有明顯的優(yōu)勢。而且由以上圖的比較可以看出,，對于重建出的模型效果,，改進(jìn)后的算法明顯優(yōu)于前者。
    本文算法通過使用分治法和增量法的合成算法,，在分治法中使用八叉樹數(shù)據(jù)模型,，使遞歸問題轉(zhuǎn)化為迭代問題，提高了算法的執(zhí)行效率,；在增量法中嵌入指南針?biāo)惴?，提高了搜索效率。使用合成算法在空間的三角剖分方面有很大的優(yōu)勢,。此外分析了算法中的不足之處,，并提出有待進(jìn)一步研究的問題，為后續(xù)的展望工作打下基礎(chǔ),。
參考文獻(xiàn)
[1]  BOLLE R M,    VEMURI B C. On three-dimensional surface reconstruction methods. IEEE Trans.Pat.Anal.Mach.Intell, 1985,7(4):431-441.
[2]  WATSON D F. Computing the N-dimensional delaunay  tessellation with application to voronoi polytopes.The Computer Journal,1981,24(2):167-172.
[3]  BERARIDINI F, MITTLEMAN J, SILVA C, et al. The ball-pivoting algorithm for surface reconstruction. IEEE  Trans.Virsualization Comput. Graphics, 1999(4):43-72.
[4]  LAWSON G L. Generation of a triangular grid with application to contour plotting[C]. In:Teehnical Memorandum.  Institute of Technology, Jet Pollution Laboratory,California,1972:294-299.
[5]  LEE D T, SCHACHER B J. Two algorithms for eonstrueting a delaunay triangulation[J]. International Journal of  Computer and Information Seienees,1980(9):219-242.
[6]  DWYER R A. A faster divide-and-conquer algorithm fore constructing Delaunay triangulations [J]. Algorithmica, 1987(2):137-151.
[7]  朱站立,，劉天時.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（第二版）[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，1999.
[8]  PIEGL L A, RICHARD A M. Algorithm and data structure for triangulating multiply connected polyonal domains [J].Computers & Graphics,1993,14(16);23-35.