《電子技術(shù)應(yīng)用》
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單級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性算法設(shè)計(jì)
張白莉
摘要: 為了對(duì)一級(jí)倒立擺這個(gè)非線形,、強(qiáng)耦合,、多變量和自然不穩(wěn)定系統(tǒng)的平衡性進(jìn)行有效地控制,首先利用lagrange方程對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模,,設(shè)計(jì)了LQR控制器對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定性控制,,并利用遺傳算法優(yōu)化加權(quán)矩陣,得出了比較理想的控制參數(shù),最后利用Matlab對(duì)控制結(jié)果進(jìn)行了仿真和分析,。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,,LQR控制方法具有較強(qiáng)的魯棒性和較好的控制效果。
Abstract:
Key words :

0 引言
    倒立擺是日常生活中許多重心在上,、支點(diǎn)在下的控制問(wèn)題的抽象模型,,本身是一種自然不穩(wěn)定體,它在控制過(guò)程中能有效地反映控制中許多抽象而關(guān)鍵的問(wèn)題,,如系統(tǒng)的非線性,、可控性、魯棒性等問(wèn)題,。對(duì)倒立擺系統(tǒng)的控制就是使小車(chē)以及擺桿盡快地達(dá)到預(yù)期的平衡位置,,而且還要使它們不會(huì)有太強(qiáng)的振蕩幅度、速度以及角速度,,當(dāng)?shù)沽[系統(tǒng)達(dá)到期望位置后,,系統(tǒng)能克服一定范圍的擾動(dòng)而保持平衡。作為一種控制裝置,,它具有形象直觀,、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、便于模擬實(shí)現(xiàn)多種不同控制方法的特點(diǎn),,作為一個(gè)被控對(duì)象它是一個(gè)高階次,、非線性、多變量,、強(qiáng)耦合,、不穩(wěn)定的快速系統(tǒng),只有采取行之有效的方法才能使它的穩(wěn)定效果明了,,因此對(duì)倒立擺的研究也成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題,。

1 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型
   
對(duì)于倒立擺系統(tǒng)來(lái)說(shuō),如果忽略了空氣阻力和各種摩擦之后,,可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成沿著光滑導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的小車(chē)和通過(guò)軸承連接的勻質(zhì)擺桿組成,,如圖1所示。其中,,小車(chē)的質(zhì)量M=1.32 kg,,擺桿質(zhì)量m=0.07 kg,擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)動(dòng)軸心距離l=0.2 m,,擺桿與垂直向下方向的夾角為θ,,小車(chē)滑動(dòng)摩擦系數(shù),fc=0.1,。


    倒立擺控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立方法一般有利用牛頓力學(xué)的分析方法和分析力學(xué)中的拉格朗日方程建模兩種,。本文采用的是拉格朗日方程建模,。
    一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的拉格朗日方程應(yīng)為:
   
    式中:L是拉格朗日算子;V是系統(tǒng)動(dòng)能,;G是系統(tǒng)勢(shì)能,。
   
    式中:D是系統(tǒng)耗散能;fi為系統(tǒng)在第i個(gè)廣義坐標(biāo)上的外力,。
    一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的總動(dòng)能為:
 
     一級(jí)倒立擺系統(tǒng)有4個(gè)狀態(tài)變量,,分別是,根據(jù)式(7)寫(xiě)出系統(tǒng)狀態(tài)方程,,并在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化處理,,得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型如下:
   

2 倒立擺性能分析
   
系統(tǒng)的能控性是控制器設(shè)計(jì)的前提,所以在設(shè)計(jì)前對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行能控性分析,,根據(jù)能控性矩陣T0=[B,,AB,A2B,,A3B],,利用Matlab中的rank命令,可以得出rank(T0)=4,。由此可知,,系統(tǒng)是完全可控的,因此可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì),,使系統(tǒng)穩(wěn)定,。

3 LQR控制器的設(shè)計(jì)
3.1 LQR控制器原理
   
線性二次型調(diào)節(jié)器的控制對(duì)象是線性系統(tǒng),這個(gè)線性系統(tǒng)必須是狀態(tài)空間的形式,,即:,Y=Cx+Du,。通過(guò)確定最佳控制量U*=R-1BTPX=-KX的矩陣K,,使性能指標(biāo)的值極小。其中,,加權(quán)矩陣Q和R是用來(lái)平衡狀態(tài)變量和輸入變量的權(quán)重,;P是Riccati方程的解。這時(shí)求解Riccati代數(shù)方程:
   
    就可獲得P值以及最優(yōu)反饋增益矩陣K值:
   
    LQR用于單級(jí)擺的原理圖如圖2所示,。


3.2 加權(quán)矩陣Q和R的選擇
   
在選取Q和R時(shí),,主要從以下幾方面考慮:
    (1)Q是正定或半正定矩陣,R是正定矩陣,。
    (2)Q陣中對(duì)角線上的元素與狀態(tài)變量一一對(duì)應(yīng),,數(shù)值越大,則表示該狀態(tài)變量對(duì)系統(tǒng)的影響越顯著,。
    (3)加權(quán)矩陣R不要過(guò)小,,否則會(huì)導(dǎo)致控制量的增大,。控制量太大會(huì)超過(guò)系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的能力,,R陣也不要太大,,否則控制作用太小會(huì)影響控制性能。
    綜合以上考慮,,取Q=diag([100,,100,100,,100]),,R=1,利用Matlab提供的LQR函數(shù),,可得控制器的增益矩陣:
    K=[-10.000 0 -24.140 8 250.036 0 158.553 3]
3.3 利用遺傳算法優(yōu)化Q陣
   
遺傳算法是一種基于生物界中的自然選擇原理和自然遺傳機(jī)制的隨機(jī)搜索算法,,它模擬了生物界中的生命進(jìn)化機(jī)制,并用在人工系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)特定目標(biāo)的優(yōu)化,。
    采用遺傳算法優(yōu)化加權(quán)陣Q的具體步驟如下:
    (1)選擇編碼策略,,把參數(shù)轉(zhuǎn)換成染色體結(jié)構(gòu)空間。
    (2)確定解碼方法,。
    (3)確定優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的類(lèi)型及數(shù)學(xué)描述形式,,在LQR最優(yōu)控制中取目標(biāo)函數(shù)J,J=trace(P),。
    (4)設(shè)計(jì)遺傳算子,。
    (5)確定遺傳策略。設(shè)群體大小為80,,最大迭代次數(shù)為200,,交叉概率選為0.9,變異概率選為0.01,,并隨機(jī)產(chǎn)生初始群體,。
    (6)計(jì)算群體中的個(gè)體或染色體解碼后的適應(yīng)值。在本設(shè)計(jì)中將適應(yīng)值取為目標(biāo)函數(shù)值的倒數(shù),,即f=1/J,。
    (7)進(jìn)行遺傳算法搜索過(guò)程,即采用隨機(jī)采樣的方法選擇個(gè)體,,通過(guò)交叉和變異產(chǎn)生新個(gè)體,,再計(jì)算新個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值J’。
    (8)判斷群體性能是否滿足指標(biāo)或者是否完成迭代次數(shù),,若不滿足則重復(fù)步驟(7),。
    通過(guò)上述算法即可確定使目標(biāo)函數(shù)值最小加權(quán)矩陣Q中待優(yōu)化元素的值,從而確定反饋控制規(guī)律的向量K,。

4 仿真結(jié)果及分析
   
取Q=diag([100,,100,,100,100]),,R=1時(shí),,得到的一級(jí)倒立擺仿真波形如圖3所示。由圖可見(jiàn),,小車(chē)經(jīng)過(guò)5.2 s達(dá)到平衡,,而擺角經(jīng)過(guò)6.5 s達(dá)到平衡。對(duì)Q陣優(yōu)化后系統(tǒng)響應(yīng)超調(diào)量減少,,響應(yīng)速度加快,,調(diào)節(jié)時(shí)間減少,系統(tǒng)的靜態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性都得到改善,,如圖4所示,。



5 結(jié)語(yǔ)
   
本文利用拉格朗日方程建立了直線一級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,在此基礎(chǔ)上分析了該系統(tǒng)的性能,,并利用LQR控制器進(jìn)行控制,。結(jié)果表明,LQR控制器對(duì)該系統(tǒng)具有良好的控制作用,。

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