摘  要： 從數(shù)學(xué)上分析了弧矩在數(shù)字圖像縮放時的變化規(guī)律，得出通過組合矩的方法無法改善其縮放不變性的結(jié)論,，并指出了改善其縮放不變性的兩種方法,。仿真結(jié)果證明了本文所提出的結(jié)論的正確性和方法的可行性。
關(guān)鍵詞： Hu矩,；數(shù)字圖像,；縮放不變性；分辨率

    基于Hu矩在模擬圖像中具有圖像平移,、旋轉(zhuǎn)、縮放不變性的特點[1],，其作為識別的特征量已廣泛應(yīng)用于模式識別以及跟蹤等許多模擬圖像分析領(lǐng)域[2],。但Hu矩在數(shù)字圖像中并不具有縮放不變性,，不適合應(yīng)用于數(shù)字圖像分析[3]， 因此,，通過改造Hu矩使其能同時應(yīng)用于數(shù)/模圖像領(lǐng)域的分析,，成為許多研究人員的共同目標(biāo)[3-6]。
目前,，大部分對Hu矩的改造主要集中在組合矩方面[3-6],，但實際上組合矩的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)存在一定的問題，因為其所使用的x′=kx和y′=ky兩個公式在數(shù)字圖像縮放時并不成立,，因此,，使用這兩個公式推導(dǎo)出的組合矩并不能有效地改善數(shù)字圖像中Hu矩的縮放不變性。從數(shù)學(xué)角度推導(dǎo)出Hu矩在數(shù)字圖像縮放時的變化規(guī)律是找到改善其縮放不變性的基礎(chǔ),，這也是本文研究的重點,。通過對其變化規(guī)律的研究，本文得出了兩種改善其縮放不變性的方法,。實驗證實了這兩種方法的可行性,，同時顯示了Hu矩在識別系統(tǒng)中的應(yīng)用效果優(yōu)于Zemike[7]和krawtchouk[8]矩。
1 Hu矩簡介
    設(shè)連續(xù)情況下二維圖像函數(shù)為f(x,，y),，則它的p+q階幾何矩和中心矩分別定義為：

    假設(shè)a=1，由圖1(a),、(c)可以看出,，在n/k為整數(shù)、m=0或m/k為整數(shù)時,，ε的值隨著n,、m的增加而減少。由圖1(a),、(b),、(d)可知，若n/k,、m/k為非整數(shù),，則ε變化比較不規(guī)律，ε值取決于n/k,、m/k的取整策略以及n,、m、k的大小,，同時由圖1(b),、(d)可知，如果同時按比例增大m,、n值,，可減少ε值,。因為正常情況下，m,、n,、k為任意取值，ε的變化很難找到規(guī)律,。因此,，在不增大n的前提下，通過矩不變量的組合(組合矩)來減少ε值的方式不具可行性,。因為組合矩只是通過Hu矩的組合來構(gòu)造新的不變量,，而Hu矩在數(shù)字圖像縮放時的變化規(guī)律不一致。因此減少ε值的方法只有兩種：一是在滿足一定分辨率的前提下使圖像縮放時圖像邊緣像素點的坐標(biāo)值與縮放系數(shù)的乘積為整數(shù),；二是使圖像的分辨率足夠高,。
3 仿真分析
    對Hu矩在數(shù)字圖像縮放時的變化規(guī)律進行分析，在提出了使Hu矩對數(shù)字圖像縮放具有不變性的相關(guān)方法后,，利用Matlab軟件對本文方法的可行性進行了仿真驗證,。圖2為用于Hu矩縮放不變性特性分析的四幅圖像。圖3的曲線反映了圖2(a),、(b),、(c)、(d)四幅圖像在不同縮放系數(shù)下,，Hn(k)值的變化規(guī)律：鉆石實線反映了在條件1(較低像素下,，但n/k、m/k為整數(shù))時Hn(k)的值變化規(guī)律,，圖像原始分辨率為400×400,，圓虛線反映了在條件2(n/k為非整數(shù)時，圖像分辨率較低)時Hn(k)值的變化規(guī)律,，圖像原始分辨率為400×400,，方塊點虛線反映了在條件3(n/k為非整數(shù)但圖像具有較高的分辨率)時Hn(k)值的變化規(guī)律，圖像原始分辨率為1 200×1 200,。Hn(k)=0.4n+(Mn(k)-Mn(k=1))/Mn(k=1),，其中，k是縮放系數(shù),，Mn是Hu矩不變量,。仿真結(jié)果顯示，鉆石實線的波動最小,，因此條件1下Hu矩具有最好的不變性,。但是現(xiàn)實的縮放很難達到條件1的要求，方塊虛線顯示提高分辨率可以很好地改善Hu矩的縮放不變性。同時本文也具體對圖像的分辨率與識別率的關(guān)系進行了分析,，圖4顯示了字母G的識別率與分辨率的關(guān)系,，識別分別基于Hu矩,、Z矩,、K矩不變量，不變量之間的歐氏距離作為識別時的分類依據(jù)[9],。圖4顯示分辨率越高,，識別率越高，而且Hu矩具有最好的識別效果,。

    本文提出了兩種使Hu矩在數(shù)字圖像縮放時具有不變性的方法,，仿真結(jié)果證明了本方法的可行性。同時仿真也顯示在較高像素條件下,，Hu矩具有比Z,、K矩更優(yōu)的應(yīng)用效果，因此,，Hu矩非常適合應(yīng)用于具有高圖像分辨率的數(shù)字圖像識別系統(tǒng),。
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