摘要：針對(duì)TV模型存在分塊效應(yīng)，而四階PDE模型具有保持平坦區(qū)域光滑性的特點(diǎn),，提出自適應(yīng)耦合TV和四階PDE的正則化圖像放大模型,。根據(jù)圖像內(nèi)容合理調(diào)整耦合系數(shù)，在圖像漸變和平坦區(qū)域運(yùn)用四階PDE擴(kuò)散,，消除分塊效應(yīng),；而在圖像的突變區(qū)域運(yùn)用TV模型濾波，保持突變邊緣,。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,，該算法是一種有效的圖像放大方法。
關(guān)鍵詞：圖像放大,；偏微分方程,；總變分；高階PDE

0 引言
    圖像放大指增大圖像尺寸或提高其分辨率,，同時(shí)保持較高的質(zhì)量,，以得到一個(gè)較好的視覺效果，或突出某些細(xì)節(jié),。圖像放大通?？煞謨刹竭M(jìn)行：首先對(duì)圖像進(jìn)行空間變換；其次對(duì)圖像進(jìn)行灰度級(jí)插值,、處理,。
    傳統(tǒng)的線性插值算法有最近鄰法、雙線性插值法以及三次樣條插值法等,。這些方法用一些已知的簡單函數(shù)根據(jù)一定的光滑性要求逼近原圖像。它們有其固有的缺點(diǎn),，如放大后的圖像邊緣模糊化和邊緣鋸齒化,，而且放大倍數(shù)越大，這些現(xiàn)象越明顯,。自適應(yīng)插值方法在空間上使插值系數(shù)較好地匹配邊緣附近的局部圖像結(jié)構(gòu),，但在選擇和估計(jì)感興趣的邊緣時(shí)會(huì)導(dǎo)致誤差,。邊緣指導(dǎo)的插值方法利用有限的對(duì)于邊緣的方向和幅度的量化來擬合圖像的亞像素邊緣，阻止跨邊緣的插值,，因而能夠產(chǎn)生尖銳的邊緣,，但對(duì)于邊緣的擬合過于簡單和粗糙，且會(huì)丟失一些圖像特征,。其他還有基于凸集投影的迭代方法,，基于小波變換和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的方法等，這些方法在性能上仍然有待提高,，特別是在圖像含有噪聲的情況下,。
    基于偏微分方程(Partial Differential Equations，PDE)的圖像放大方法是在插值圖像的基礎(chǔ)上,，通過迭代演化求解擴(kuò)散方程,，從而得到高分辨率圖像，并去除噪聲和人工痕跡等的影響,。由于可以很方便地引入先驗(yàn)知識(shí),，其獲得了良好的處理性能，已引起了廣泛關(guān)注,，其中主流是基于正則化的PDE方法,。各向同性擴(kuò)散的PDE模型放大圖像時(shí)容易出現(xiàn)邊緣模糊、細(xì)節(jié)特征丟失等現(xiàn)象,。而各向異性擴(kuò)散的PDE雖然能在某種程度上保持放大圖像的細(xì)節(jié)特征,，但隨著迭代求解次數(shù)的增加，圖像部分重要信息會(huì)偏離原圖像,，導(dǎo)致圖像模糊,。采用總變分(Total V-ariation，TV)模型進(jìn)行圖像放大,，能夠有效保持突變邊緣,，且收斂速度快，但在平坦區(qū)域和漸變區(qū)域會(huì)產(chǎn)生分塊效應(yīng),。而四階PDE模型具有保持平坦區(qū)域光滑度的優(yōu)點(diǎn),，將其用于圖像放大會(huì)避免分塊效應(yīng)，但卻降低了邊緣等重要幾何結(jié)構(gòu)的清晰度,。
    為充分運(yùn)用四階PDE模型保持漸變區(qū)域光滑度的優(yōu)點(diǎn),，彌補(bǔ)總變分TV模型存在分塊效應(yīng)的不足，同時(shí)也保留了TV模型保持圖像中不連續(xù)邊緣的優(yōu)點(diǎn),，本文提出了自適應(yīng)耦合總變分TV和四階PDE的正則化圖像放大模型,。根據(jù)圖像內(nèi)容合理調(diào)整耦合系數(shù)，在圖像漸變區(qū)域和平坦區(qū)域主要運(yùn)用四階模型進(jìn)行平滑,，消除階梯效應(yīng)和分塊效應(yīng),；在圖像的突變區(qū)域著重運(yùn)用TV模型進(jìn)行平滑,，保持突變邊緣。仿真實(shí)驗(yàn)證明,，本文算法能夠有效提高放大圖像的主觀視覺質(zhì)量和客觀保真度,。

1 自適應(yīng)耦合TV和四階PDE的正則化圖像放大模型
    TV模型最初用于圖像恢復(fù)中。設(shè)g,，u分別表示低分辨率圖像和高分辨率圖像,，根據(jù)極大似然原理，圖像放大可以歸結(jié)為如下不帶約束的正則化能量方程的極小化問題：
   
    式中：D為圖像分辨率退化模型矩陣,，刻畫了圖像獲取中的低通濾波和下采樣過程,；式中第一項(xiàng)為逼近項(xiàng)，表示圖像和退化圖像的差異,；第二項(xiàng)為圖像的正則化函數(shù),，它依賴于圖像，函數(shù)R(·)對(duì)圖像u加以約束,，一般取為梯度的Lp(p>0)范數(shù),；λ>O為Lagrange乘子，在逼近項(xiàng)和正則化函數(shù)之間起平衡作用,。
    如果選擇圖像梯度的L2范數(shù)作為正則化函數(shù),，則因?yàn)槔绽顾阕泳哂泻軓?qiáng)的各向同性擴(kuò)散特性，造成邊緣保持特性較差,?？傋兎諸V模型用圖像梯度的L1范數(shù)代替L2范數(shù)，具有很好的邊緣保持特性,。圖像的TV定義為：
   
    式中：Ω是圖像區(qū)域,。于是圖像放大問題就轉(zhuǎn)化成為如下無約束極小化問題：
   
    式中：等式右端第一項(xiàng)為圖像的總變分范數(shù)(TV范數(shù))，它依賴于圖像的變分幅度,。
    TV模型的優(yōu)勢在于它并不要求圖像是連續(xù)的,，它在放大圖像的同時(shí)，可以保持圖像中的不連續(xù)邊緣,。TV模型的不足在于其穩(wěn)態(tài)解中往往存在分塊效應(yīng),。采用TV模型處理后圖像的平坦區(qū)域和漸變區(qū)域內(nèi)灰度非常接近或相同，整個(gè)圖像似乎是由不同亮度的區(qū)域組成,，且其輪廓顯得過分尖銳,，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生額外的邊緣。
    在式(1)中,，若取正則化函數(shù)R(u)=f(|▽2u|)時(shí),，可得如下最小化能量函數(shù)：
   
    此即四階PDE模型，其中,，▽2,。表示拉普拉斯算子；f是非負(fù)且嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù),。最小化式(4)相當(dāng)于找一個(gè)最小的|▽2u|,，即平滑圖像u，同時(shí)又保持u與初始u0接近,。

    對(duì)于灰度漸變的區(qū)域,，四階PDE模型式(4)并不會(huì)像TV模型那樣把圖像變?yōu)閹讉€(gè)灰度值不同的塊，而是將它平滑成一個(gè)灰度漸變的區(qū)域,，雖然這和真實(shí)圖像不一定相同,，但它一般不會(huì)產(chǎn)生額外的邊緣，與TV模型的結(jié)果相比,，四階PDE模型克服了TV模型存在的圖像分塊這一不足,，具有保持平坦區(qū)域光滑度的優(yōu)點(diǎn)，但卻降低了邊緣等重要幾何結(jié)構(gòu)的清晰度,。
    為充分發(fā)揮這兩種PDE模型的優(yōu)點(diǎn),，本文提出自適應(yīng)耦合TV和四階PDE的圖像放大模型。其基本思想就是根據(jù)圖像的局部特征,，自適應(yīng)調(diào)整這兩種正則化模型的權(quán)重,。在圖像漸變區(qū)域和平坦區(qū)域主要運(yùn)用四階PDE進(jìn)行平滑，消除分塊效應(yīng),；而在圖像的突變區(qū)域重點(diǎn)用TV模型進(jìn)行平滑,，保持突變邊緣。其最小化能量函數(shù)為：
   
    式中：λ>0為Lagrange乘子,；p∈[0,，1]，決定了TV和四階模型的權(quán)值,，可根據(jù)圖像內(nèi)容自適應(yīng)調(diào)節(jié),。在突變區(qū)域，要求p等于或接近于0,，這樣就主要采用二階TV模型對(duì)圖像進(jìn)行平滑,；在圖像的漸變區(qū)域和平坦區(qū)域，要求0<     式(5)對(duì)應(yīng)的Euler-Lagrange方程為：
   

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析
    本文實(shí)驗(yàn)主要與傳統(tǒng)的雙線性插值方法,、TV模型和四階PDE模型放大方法進(jìn)行比較,。算法性能由放大圖像的峰值信噪比(Peak Signal to Noise Rate，PSNR)及主觀視覺效果評(píng)價(jià)。
    本組實(shí)驗(yàn)中,，對(duì)512×512的不同內(nèi)容的標(biāo)準(zhǔn)圖像,，進(jìn)行4倍率平滑下采樣，得到分辨率為128×128的低分辨率圖像,，然后采用不同的方法放大,。實(shí)驗(yàn)參數(shù)為：λ=0．01，△t=0．001,，T=100,，k=20，,，σ=5,。采用不同方法對(duì)5幅標(biāo)準(zhǔn)圖像放大的PSNR比較見表1。從PS-NR的角度看,，本文耦合模型達(dá)到了最高的PSNR值,。

    圖1，圖2分別為對(duì)Cameraman,，Lena圖像及其部分細(xì)節(jié)用TV模型及本文耦合模型放大結(jié)果比較圖,。

    從細(xì)節(jié)放大圖的對(duì)比可見，TV模型復(fù)原的圖像存在嚴(yán)重的分塊效應(yīng),，而本文耦合模型將圖像平滑成了一個(gè)灰度漸變的區(qū)域,，消除了分塊效應(yīng)，得到了視覺效果較好的圖像,。

3 結(jié)論
    通過將TV模型和四階PDE自適應(yīng)結(jié)合,，充分運(yùn)用四階PDE模型保持漸變區(qū)域光滑度的優(yōu)點(diǎn)彌補(bǔ)總變分TV模型存在分塊效應(yīng)的不足，同時(shí)也保留了TV模型保持圖像中不連續(xù)邊緣的優(yōu)點(diǎn),。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了本文模型的良好性能,，同時(shí)也證明了PDE方法用于圖像處理的優(yōu)越性。進(jìn)一步的研究包括彩色圖像的PDE處理等,。