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基于WLS-KF的GPS非線性動態(tài)濾波研究
齊小強,,廉保旺,,薛 喆
摘要: 摘要:為了提高動態(tài)定位精度,,將卡爾曼(KF)算法應用到GPS非線性動態(tài)定位解算中,,提出加權最小二乘一卡爾曼濾波(WLS-KF)算法,。
Abstract:
Key words :

摘要:為了提高動態(tài)" title="動態(tài)">動態(tài)定位精度,,將卡爾曼(KF)算法應用到GPS" title="GPS">GPS非線性" title="非線性">非線性動態(tài)定位解算中,,提出加權最小二乘一卡爾曼濾波" title="濾波">濾波(WLS-KF" title="WLS-KF">WLS-KF)算法。通過加權最小二乘(WLS)算法得到近似的線性化模型,,再將KF算法應用到這個線性化模型進行校正。因此既保持了KF算法能夠對系統(tǒng)狀態(tài)進行最優(yōu)估算的優(yōu)點,,同時對各個測量值進行了聯(lián)系制約,,具有更高的精度。結果表明,,這種方法精度介于EKF和UKF之間,,且實現(xiàn)容易,預測可靠,,具有實際應用價值,。
關鍵詞:全球定位系統(tǒng);卡爾曼濾波,;加權最小二乘,;非線性

0 引言
    卡爾曼濾波(KF)是一個不斷預測、修正的遞推過程,,已經(jīng)越來越多地應用于動態(tài)數(shù)據(jù)處理中,。然而在KF模型中,要求觀測方程是線性形式,、狀態(tài)噪聲和測量噪聲是白噪聲,。為了解決這種矛盾,將KF理論應用到非線性領域中,,擴展卡爾曼濾波(EKF)應用而生,,它圍繞狀態(tài)估計值對非線性系統(tǒng)進行一階Taylor展開使其線性化,,但它存在如下不足:一是當非線性函數(shù)Taylor展開式的高階項無法忽略時,會產(chǎn)生較大的線性化誤差,;二是EKF假定噪聲均為正態(tài)白噪聲,,但是一個正態(tài)自噪聲經(jīng)過非線性變換后通常不再呈現(xiàn)正態(tài)性;三是只有在雅可比矩陣存在時才能線性化,,而很多應用中雅可比矩陣很難求,。針對這種情況,Julier和Uhlmann等人提出了一種基于非線性變換——Un-scented變換(UT)的卡爾曼濾波算法(UKF),。它通過確定性采樣得到的一組sigma點,,可以獲得更多的觀測假設,對系統(tǒng)狀態(tài)的均值和協(xié)方差的估計更為準確,,同時由于該算法采用了非線性的狀態(tài)方程和觀測方程,,從而避免了線性化誤差。目前,,EKF和UKF算法被廣泛應用于GPS非線性動態(tài)濾波研究" title="研究">研究中,,并取得良好的定位效果。
    本文給出了一種加權最小二乘一卡爾曼濾波(WLS-KF)算法,,它利用一組離散采樣點,,通過WLS方法產(chǎn)生近似線性化預測模型,然后用KF算法對此模型進行校正,。以該算法為思路,,將其應用在GPS非線性動態(tài)濾波定位解算中,仿真結果表明該算法精度介于EKF和UKF之間,,從而實現(xiàn)了對目標較高精度的定位和跟蹤,。

1 算法描述
1.1 WLS算法
    LS算法是現(xiàn)代測量技術中數(shù)據(jù)處理的基本工具,這種方法的特點是算法簡單,,在估計解算時,,不需要知道與被估計量以及觀測量有關的任何統(tǒng)計信息。
    設X為待估參數(shù)矢量,,觀測矢量為L,。觀測方程為:
    a.jpg
    式中:v為觀測誤差。用泰勒定理展開,,得到線性化的觀測方程為:
    b.jpg
    式中:A是系數(shù)矩陣,;f(X0)表示用先驗參數(shù)計算的理論觀測向量;b表示擬合后的殘差,;△X是對先驗參數(shù)的小修正向量,。
    LS算法的指標是使各次觀測量與由參數(shù)估計得到的觀測量之差的平方和最小,即:
    c.jpg
    要使上式達到最小,當對觀測矢量的質(zhì)量有所了解時,,設置各個測量值的權重,,得到WLS算法的解為:
    d.jpg
    若更新后的Xk尚未達到求解精度,則Xk可作為第k+1次迭代的起始點,,繼續(xù)進行上述運算,。
1.2 KF算法
    KF算法對一個離散時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)進行最優(yōu)估計,使系統(tǒng)狀態(tài)的估計值有最小均方誤差(MMSE),。
    考慮一個多輸入多輸出的離散時間線性動態(tài)系統(tǒng),,其狀態(tài)方程可表示為:
    e.jpg
    向量wk和vk分別表示狀態(tài)噪聲和測量噪聲,假設它們都是均值為零的正態(tài)白噪聲且相互獨立,,即:
    f.jpg
    KF算法通過如下的時間更新過程和測量更新過程來對系統(tǒng)狀態(tài)進行估計,。
   g.jpg
    計算完測量更新方程后,整個過程再次重復,,上一次計算得到的后驗估計被作為下一次計算的先驗估計,。
1.3 WLS-KF算法
1.3.1 基本思想
    算法基本思想是通過WLS方法計算隨機變量經(jīng)過非線性變換后的分布參數(shù),它利用離散個加權點來確定近似直線,。
    設待確定的近似線性化模型為:
h.jpg
    式中:(xn,,f(xn))表示設置的離散加權點;p(xn)表示其對應的權系數(shù),,n=1,,2,…,,n,。
1.3.2 算法流程
    將加權最小二乘線性化方法同KF算法相結合,便得到了WLS-KF算法,。具體的算法流程如下:
    (1)設置矩陣A,b和加權矩陣W,;
    (2)將A,,b和W帶入式(17),求出線性化系數(shù)矩陣A1,,常數(shù)向量b1,;
i.jpg

2 實驗結果與分析
    基于運動載體為質(zhì)點的假設建立目標運動模型,考慮一個二維平面曲線運動系統(tǒng),,狀態(tài)定義為j.jpgk.jpg,,分別表示二維方向上的位置變量、速度變量,、載體相對于起始位置的轉彎角度及接收機鐘差,。
l.jpg
    式中:wk,vk和εk為相互獨立的高斯白噪聲序列,wk~N(0,,10),,vk~N(0,10),,εk~N(0,,1)。此系統(tǒng)是具有可加噪聲的離散非線性時變系統(tǒng),,觀測時間為100 s,,觀測周期為1 s。WLS-KF和EKF,,UKF算法的二維預測結果分別如圖1,,圖2所示,預測結果誤差分析見表1,。

n.jpg

m.jpg


    為便于比較,,算法中使用的隨機數(shù)據(jù)均來自于提前保存好的隨機序列。結果表明,,WLS-KF算法的計算量適中,,精度介于EKF和UKF之間,且效率同KF接近,。

3 結語
    本文引入了一種基于加權最小二乘的線性化方法,,將其與KF算法相結合,給出了可以應用于GPS非線性動態(tài)濾波系統(tǒng)的WLS-KF算法,。該算法不需要求偏導數(shù),,算法精度介于EKF和UKF之間,可以實現(xiàn)對目標較高精度的定位和跟蹤,,有一定的應用價值,。

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