基于FFT的頻譜分析方法可以從含有噪聲的信號中提取有用的信息,，在儀器儀表的數(shù)據(jù)處理中具有重要的應(yīng)用價值。為了保證頻譜分析的精度,，往往進行多點的FFT運算,，例如，1024點,、2048點等,，這樣運算量大、所占內(nèi)存也大,，只有采用DSP(數(shù)字信號處理器)才能實現(xiàn)實時的處理,。目前，在工業(yè)現(xiàn)場普遍使用的兩線制,、低功耗自動化儀表,，由于儀表本身消耗電流必須控制在4 mA之內(nèi)，所以無法采用DSP等運算能力強的芯片,，只能采用低功耗單片機,；而低功耗單片機的運算速度和內(nèi)存容量都很有限，所以,，至今未見用其進行多點數(shù)FFT運算的報道,。為了能夠用低功耗單片機實時做FFT運算，以提高自動化儀表信息處理的能力，我們用匯編語言編制FFT程序,，在程序中用定點數(shù)運算(以下簡稱定點FFT),，采取措施防止數(shù)據(jù)溢出，保證計算精度,，合理分配內(nèi)存,。測試結(jié)果表明，我們編制的程序在MSP430F,、1611單片機上,，完成一次2048點的基于FFT的頻譜分析和校正只需要500 ms，精度也達到要求,，可以用于以低功耗單片機為核心的儀表中,，實時完成信號處理任務(wù)。
1 定點運算
1．1 數(shù)據(jù)表示
在MSP430中使用C語言實現(xiàn)FFT運算,，其乘法和加法運算都是默認使用浮點實現(xiàn)的,。于MSP430屬于定點單片機，因此浮點運算必須由大量的定點指令模擬,，這將耗費大量的時間,。因此我們針對MSP430的特點，使用匯編語言編制FFT程序,，在程序中用定點數(shù)運算,，并將數(shù)據(jù)統(tǒng)一使用16位定點數(shù)表示。16位定點數(shù)中最高位(左邊的第1位)作為符號位,，剩下的15位用于存放數(shù)值,。數(shù)據(jù)格式如圖1所示.
1．2 數(shù)據(jù)定標
定點單片機參與數(shù)值運算的數(shù)都是16位的整型數(shù)，但是運算過程中的數(shù)不一定都是整數(shù),。那么,，定點計算過程中如何處理小數(shù)呢?這其中的關(guān)鍵就是由程序員來確定一個數(shù)的小數(shù)點處于16位中的哪一位。這就是數(shù)的定標,。
通過設(shè)定小數(shù)點在16位數(shù)中的不同位置,，就可以表示不同大小和不同精度的小數(shù)了。數(shù)的定標有Q表示法和S表示法兩種,。表1列出了一個16位數(shù)的16種Q表示,、S表示及它們所能表示的十進制數(shù)值范圍。
從表1中可以看出,，同樣一個16位數(shù),，若小數(shù)點設(shè)定的位置不同，它所表示的數(shù)也就不同,。例如,，十六進制數(shù)2000H=8192,，用Q0表示；十六進制數(shù)2000H=O．25,，用Q15表示,；但對于定點運算來說，處理方法是完全相同的,。下面簡要介紹如何使用定點數(shù)乘法運算模擬浮點數(shù)乘法,。
設(shè)浮點乘法運算的表達式為：float x，y,，z,；z=xy。假設(shè)經(jīng)過統(tǒng)計(這里“統(tǒng)計”的意思是所有計算中數(shù)據(jù)范圍都在定標范圍內(nèi))后x的定標值為Qx,，y的定標值為Qy,，乘積z的定標值為Qz，則z=xy,；zq×2-Qz=xq×yq×2-(Qx+Qy),；zq=(xqyq)2Qz-(Qx+Qy)。所以,，定點表示的乘法為：
1．3 FFT計算過程中的數(shù)據(jù)定標
為了在以MSP43F1611為處理器的儀表系統(tǒng)上進行基于FFT的功率譜估計,，必須先由MSP430F1611的ADC進行采樣，而ADC采樣得到的數(shù)據(jù)需要經(jīng)過定標后才能進行定點計算,。定標過程為：ADC的采樣電壓范圍為0～2．5 V，因此,，采樣過程實際上就是將信號電壓除以2．5進行歸一化,，使得采樣得到的數(shù)據(jù)范圍為O～1 V，此時數(shù)據(jù)就可用Q15表示,，即將ADC的12位采樣結(jié)果寄存器中的數(shù)據(jù)右移4位保存起來,，維持12位精度，轉(zhuǎn)換為Q15定點數(shù)表示,。由于FFT運算過程中,，蝶形輸出相對蝶形輸入數(shù)據(jù)被放大了3倍，因此蝶形輸出數(shù)據(jù)范圍為一3～+3 V,。此時數(shù)據(jù)如果仍然使用Q15表示,，就會發(fā)生溢出，故改用Q13表示數(shù)據(jù),，即將12位ADC數(shù)據(jù)右移1位,。實際上經(jīng)過處理后，ADC數(shù)據(jù)精度沒有變化,，但使用Q13表示數(shù)據(jù)比用Q12表示數(shù)據(jù),，其蝶形輸出的數(shù)據(jù)精度高,。這是由于定點計算時需要對蝶形輸出右移以防止溢出，而使用Q13表示數(shù)據(jù)比使用Q12表示數(shù)據(jù)少右移了1位,，因此多了1位有效數(shù)據(jù),。FFT運算過程中使用Q13表示數(shù)據(jù)，就使得加法乘法運算都可以直接使用定點指令實現(xiàn),，減少了很多判斷處理,，提高了運算速度。使用Q13表示數(shù)據(jù),，即最高位(左邊的第1位)是符號位,，剩下的15位表示數(shù)據(jù)的大小。表示數(shù)據(jù)大小的15位中,，高2位(左邊的第2位和第3位)用來表示數(shù)據(jù)中的整數(shù)部分,，在計算中作為保護位；最低的13位(右邊的13位)表示數(shù)據(jù)中的小數(shù)部分,，如果經(jīng)過某次蝶形單元運算后,，最大值正好被放大3倍，此時數(shù)據(jù)就由13位擴大到15位,，保證數(shù)據(jù)不會增大到16位,，沖走符號位，發(fā)生溢出,。運算完成后將FFT計算過程中的這一級所有結(jié)果都右移2位,，就能夠使得這一級計算結(jié)果的最大值仍然可用13位表示，同時也可將這一級所有蝶形運算輸出的數(shù)據(jù)同時縮小,，保證下級計算,。表示數(shù)值大小的15位數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)格式如圖2所示。
1．4 旋轉(zhuǎn)因子數(shù)據(jù)定標
FFT運算過程使用定點計算,，且使用有符號乘法,，必須始終保留1位作為符號位；而旋轉(zhuǎn)因子范圍為-1～1,，因此可定標為Q14,，轉(zhuǎn)換為16位定點數(shù)。其轉(zhuǎn)換過程為：根據(jù)參與FFT運算的數(shù)據(jù)點數(shù)計算出旋轉(zhuǎn)因子的正余弦表,，然后將正余弦表乘以16384,，即左移14位，最后四舍五人取整,。如果使用Q15表示數(shù)據(jù),，即需要左移15位，那么正余弦表中最大值1,，經(jīng)過上述處理后成為-1,，發(fā)生溢出,。
2 防止溢出，保證精度
FFT中的蝶形運算如圖3所示,。設(shè)蝶形輸入為：X1(k),，實部為X1(k)r，虛部為X1(k)i,；X2(k),，實部為X2(k)r，虛部為X2(k)i,。設(shè)蝶形輸出為：X(k),，實部為X(k)，,，虛部為X(k)i,；X(k+N／2)，實部為X(k+N／2)r,，虛部為X(k+N／2)i,。則有：
由式(1)和式(2)可以看出，蝶形輸出的實部和虛部是由3個數(shù)相加得到的,，因此數(shù)據(jù)可能會放大3倍,。如果計算過程中的數(shù)據(jù)始終使用定點數(shù)表示，隨著級數(shù)的增加,，就會發(fā)生溢出,。例如，使用16位定點數(shù)表示,，其最高位(從左數(shù)第1位)為符號位,，其表示的數(shù)據(jù)范圍為-32 768～32 767。如果采樣得到的數(shù)據(jù)最大值為4 096,，經(jīng)過兩級計算后蝶形最大輸出就可能為4096×3×3=36 864,，超出了16位定點數(shù)的表示范圍,。
下面介紹保證數(shù)據(jù)計算精度的方法,。
為了提高計算速度，系統(tǒng)中使用定點數(shù)法運算FFT,，且使用Q13表示數(shù)據(jù),。蝶形運算中，其蝶形輸出的數(shù)據(jù)的實部和虛部都使用3次加法運算,，即每級蝶形運算都可能使數(shù)據(jù)擴大3倍,，因此，蝶形輸出的實部和虛部結(jié)果都需要右移2位(縮小4倍)以防止溢出,。但隨著計算級數(shù)的增加,，移位將會使數(shù)據(jù)變得越來越小,。例如，128點FFT,，總共需要7級運算,，數(shù)據(jù)最終將移位2×7=14位(縮小47=16 384倍)，因此當信號幅值不夠大時,，經(jīng)過多級運算可能會無法分辨出主信號頻率,。
設(shè)FFT運算結(jié)果的主信號頻率點的對應(yīng)實部為r，虛部為i,，其幅值為A(ADC的量化值),，參與運算的數(shù)據(jù)點數(shù)為N，由FFT功率譜計算的性質(zhì)可得：
設(shè)經(jīng)過定點FFT運算,，也就是運算過程中有移位,，則該主信號頻率點的模為K，即：
聯(lián)立式(3)和式(4),，得
由于功率譜估計是找出功率譜中的最大值,，確定主信號的頻率，根據(jù)經(jīng)驗,，使用定點數(shù)運算FFT,，當實部和虛部的模的平方K2為2時，就無法由功率譜分辨出主信號頻率,。由式(5)可得：
因此,，當K2為2，N為128時,，A=128×1．414=180．992=181,，即當信號的幅值為18l／4 096×2．538=112 mV，就分辨不出主信號頻率,?？紤]K2為2的極限情況，當A為724,，N為512時,，即給定信號幅值為724／4 096×2．538=449 mV時，就分辨不出主信號頻率,。
為了防止計算結(jié)果經(jīng)過多次移位后,，數(shù)據(jù)太小無法分辨主信號，系統(tǒng)針對定點FFT運算采取如下處理：由于FFT定點運算中,，一般情況下,，為了處理方便，每級蝶形運算中乘法結(jié)果都限制在-1～1范圍內(nèi),，即乘法運算的結(jié)果始終為小數(shù)(只有經(jīng)過加法運算,，數(shù)據(jù)才有可能超出-1～1范圍),，因此，通過判斷蝶形輸出的結(jié)果,，決定是否移位,。當發(fā)現(xiàn)超出-1～1范圍，就將本級的所有蝶形運算的輸出結(jié)果右移2位,，沒有超出就不進行移位,。
3 內(nèi)存分配
由式(3)可知，功率譜估算時需要另外開辟一段內(nèi)存空間存儲功率譜結(jié)果,。例如,，當進行2048點基于FFT的功率譜分析時，需用1024個浮點數(shù)存放功率譜計算結(jié)果,，這將占有很大一段內(nèi)存,。但實際運算中，每個頻率點功率,，只與其FFT運算結(jié)果中的對應(yīng)頻率點的實部,、虛部有關(guān)，而與其他頻率點無關(guān),。因此功率譜運算中,，可采取以下步驟將存放實部的空間存放功率譜：
①實部、虛部數(shù)據(jù)平方計算,。由于MSP430F1611內(nèi)部集成了硬件乘法器,，因此可將乘法器的第一操作數(shù)寄存器(OP1)、第二操作數(shù)寄存器(OP2)寫入相同的數(shù)據(jù)實現(xiàn)平方運算,。
②平方結(jié)果移位,。平方結(jié)果需要右移13位，使用Q13表示,，同時使用16位的臨時變量將平方結(jié)果保存,。
③功率譜計算結(jié)果保存。實部平方結(jié)果,、虛部平方結(jié)果相加后再存人原來的實部單元,。
經(jīng)過上述步驟后，就可將原來存放實部,、虛部數(shù)據(jù)的內(nèi)存單元再次利用,。
定點FFT運算過程中,，還可將用來存放采集數(shù)據(jù)的內(nèi)存空間,，再次用作存放FFT運算過程中的實部數(shù)據(jù)，另外再開辟同等大小的內(nèi)存空間,，存放虛部數(shù)據(jù),。例如,，對于RAM空間為10 KB的MSP430F16ll來說，使用16位定點數(shù)運算FFT,，最多能夠運算2 048點,。因為實部、虛部結(jié)果都需4 096 KB,，故共需8．192 KB,，正好小于10KB；而運算4 096點FFT時,，共需16．384 KB,，超出10 KB。
4 程序?qū)崿F(xiàn)
算法實現(xiàn)時使用如下方法簡化了程序運算過程：
①C程序調(diào)用匯編FFT程序,，同時為了處理方便將功率譜運算過程也用C語言實現(xiàn),。為了使匯編程序中使用的內(nèi)存空間與C程序中的內(nèi)存空間地址不發(fā)生沖突，匯編程序中所需的變量都在C文件中定義,。
②由于實部,、虛部都使用C語音數(shù)組來存儲，當計算點數(shù)很多時,，數(shù)組將很大,。例如，當運算2 048點FFT時,，就需定義兩個長度為2 048的整形數(shù)組,，這兩段數(shù)組不能用堆棧局部空間存儲，只能用全局數(shù)組,，由于C語言規(guī)定全局變量默認初始化為0,，MSP430的IAR編譯環(huán)境，進入main函數(shù)之前的cstart函數(shù)中就用cstar_inh_zero函數(shù)對全局變量進行初始化,，由于定義的數(shù)組太長,，初始化需要很長時間，導(dǎo)致程序還沒有進入main函數(shù),，看門狗就已經(jīng)復(fù)位,。因此定義全局數(shù)組時，加上_no_init關(guān)鍵字,。例如,，定義一個數(shù)據(jù)長度為2 048的不需要初始化的整型數(shù)組，使用語句no_init int fft[2048],。
③為節(jié)約RAM內(nèi)存空間,，將旋轉(zhuǎn)因子對應(yīng)的正余弦表制作成表格存放在ROM空間中，而蝶形運算時可通過查表得到旋轉(zhuǎn)因子后再進行FFT運算。
④由于FFT運算過程中的旋轉(zhuǎn)因子是通過左移14位取整得到的,，因此蝶形運算過程中需要乘法運算結(jié)果右移14位,。MSP430F1611單片機乘法器的結(jié)果寄存器，由高16位乘法結(jié)果寄存器RESFII,、低16位乘法結(jié)果寄存器RESLO組成,，右移14位操作就是保留高位結(jié)果寄存器所有內(nèi)容和低位結(jié)果寄存器中的高兩位，因此RESHI,、RESLO一起向左移2位,，然后保留高位結(jié)果寄存器作為乘法結(jié)果就可實現(xiàn)右移14位過程。
5 算法測試
為了驗證算法的實時性和正確性,，通過信號發(fā)生器產(chǎn)生標準信號送入所研制的基于MSP430f1611為核心的處理系統(tǒng),，對算法進行了全面的測試。
(1)測試算法運行時間
測試對2 048點數(shù)據(jù)進行功率譜估計所需要的總時間,。預(yù)先設(shè)置MSP430F1611單片機的P5．4引腳為普通I／O,，且為輸出方式，接著,，循環(huán)執(zhí)行FFT運算和功率譜估計程序,，且每次開始FFT計算和功率譜估算前，將P5．4輸出電平翻轉(zhuǎn),，因此P5．4輸出的相鄰兩次翻轉(zhuǎn)電平的時間間隔就是FFT運算和功率譜估計的總時間,。通過數(shù)字存儲示波器觀測P5．4引腳輸出的信號波形，如圖4所示,。
每次高低電平翻轉(zhuǎn)的時間間隔約為500 ms,，即對2 048點數(shù)據(jù)進行功率譜估計總共需要500 ms。
(2)測試算法計算精度
由于FFT運算的最大誤差發(fā)生在非整周期采樣時,，所以,，選擇這些最大誤差點來進行測試。由于泄漏誤差,，信號基頻表示為
f0=(k+d)fs／N (7)
式(7)中,，k為整數(shù)，d為小數(shù)(定義d為泄漏誤差系數(shù)),。由于泄漏誤差不超過頻率分辨率的二分之一,，所以|d|≤O．5。當d=O時,，即為整周期采樣情況,；當d=O．5時，就是最大非整周期采樣的地方,。因為所研制的基于FFT的頻譜分析方法將應(yīng)用于數(shù)字渦街流量計,，在此,，針對氣體40口徑頻率范圍為69～1 380 Hz，設(shè)定采樣頻率為3 717．472 199 Hz,，數(shù)據(jù)點數(shù)為2 048，選擇不同的k值得到不同的頻率信號,，由信號發(fā)生器產(chǎn)生幅值為60 mV的這些信號,，送入兩線制渦街流量計信號處理系統(tǒng)低通濾波器前端，然后經(jīng)過預(yù)放大電路和低通濾波電路后,，送入MSP430F1611進行頻率估計,。