??? 摘 要：根據(jù)二元樹(shù)復(fù)小波理論和圖像插值的特點(diǎn),，將二元樹(shù)復(fù)小波變換與基于邊緣插值方法相結(jié)合,，得到一個(gè)放大的插值圖像，然后將插值后的圖像進(jìn)行一級(jí)小波分解,，將分解后的高頻子帶再做小波變換,，并修正變換后的高頻子帶系數(shù),，進(jìn)行圖像重構(gòu)后得到最終的插值圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,，該方法能夠提高圖像的分辨率,，同時(shí)消除邊緣處的 “振鈴” 效應(yīng)。
??? 關(guān)鍵詞：二元樹(shù)復(fù)小波,；邊緣插值,；超分辨率；小波重構(gòu)
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??? 很多成像系統(tǒng)由于一些固有的內(nèi)在和外在條件限制,，獲取的圖像往往不能達(dá)到人們實(shí)際的需求,。從硬件方面改進(jìn)又需要高昂的費(fèi)用,，所以解決這一問(wèn)題的有效途徑是從軟件方面入手來(lái)提高圖像的分辨率,。而插值技術(shù)作為一種簡(jiǎn)單的圖像處理方法具有十分重要的實(shí)用價(jià)值。傳統(tǒng)的插值方法主要有：最近鄰域插值方法(zero-order-hold),、雙線性方法(bilinear)和雙3次插值方法(bicubic),。這些插值方法只利用了鄰近像素的灰度值進(jìn)行計(jì)算。其優(yōu)點(diǎn)是方法簡(jiǎn)單,，計(jì)算量小,。不足之處就是誤差較大，不能完全恢復(fù)圖像丟失的高頻信息,，致使在處理圖像邊緣細(xì)節(jié)及紋理時(shí)不夠理想,，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)方塊效應(yīng)或邊緣退化現(xiàn)象[1-2]。
??? 新出現(xiàn)的一些算法,，如LiXin的基于邊緣的插值算法[3],，得到的放大圖像在邊緣處理的效果上比傳統(tǒng)的插值算法要好些。
??? 小波變換具有多分辨率分析特點(diǎn)和逐漸局部細(xì)化等性質(zhì), 因此,，圖像經(jīng)小波變換分解后進(jìn)行處理比直接對(duì)圖像進(jìn)行處理要更加有效[4-5],，同時(shí),小波變換的多尺度分解特性更加符合人類的視覺(jué)機(jī)制。二維實(shí)離散小波變換雖然具有以上優(yōu)點(diǎn),，但其缺點(diǎn)是缺乏平移不變性導(dǎo)致了振鈴現(xiàn)象和可選方向較少,。而本文采用的二元樹(shù)復(fù)小波技術(shù)[6]能較好地彌補(bǔ)以上不足。
??? 基于保證插值結(jié)果的精確性和算法簡(jiǎn)明性的考慮,本文算法將LiXin的基于邊緣的插值算法[1]與二元樹(shù)復(fù)小波變換相結(jié)合對(duì)圖像進(jìn)行了超分辨率處理,。
1 二元樹(shù)復(fù)小波變換
??? 二元樹(shù)離散復(fù)小波變換不僅保持了傳統(tǒng)小波變換良好的時(shí)頻局部化的分析能力,還具有良好的方向分析性, 能夠反映出圖像在不同分辨率上沿多個(gè)方向的變化情況,更好地描述圖像的方向?qū)傩?。圖1為一維信號(hào)的二元樹(shù)復(fù)小波變換示意圖，它實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于采用2棵并行的實(shí)DWT小波樹(shù),，將一棵樹(shù)(a樹(shù))的輸出作為復(fù)小波輸出的實(shí)部,，另一棵樹(shù)(b樹(shù))作為虛部。在第一層的變換上,，b樹(shù)中的濾波器與a樹(shù)中的對(duì)應(yīng)濾波器間有一個(gè)樣本的位移,，在第一層后,，各層上都取偶數(shù)長(zhǎng)的濾波器，保證b樹(shù)在下采樣時(shí)始終能取到a樹(shù)在下采樣時(shí)舍棄掉的采樣值,，使總輸出是輸入的二倍冗余,，以實(shí)現(xiàn)近似位移不變。一個(gè)二維二元樹(shù)復(fù)小波變換可以區(qū)分頻域空間的各個(gè)不同部分,，將產(chǎn)生6個(gè)方向(±15°,、±45°、±75°)的復(fù)系數(shù)帶通子圖,。為了獲取指向這些方向的沖激響應(yīng),，應(yīng)將a樹(shù)和b樹(shù)的尺度函數(shù)的輸出系數(shù)(即低通濾波器的輸出)看作是一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)，而把2棵樹(shù)的小波函數(shù)的輸出(即高通濾波器的輸出)看作來(lái)自于另一復(fù)數(shù)對(duì),。
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2? 基于二元樹(shù)復(fù)小波變換的邊緣插值方法
2.1基于邊緣插值方法
??? 假設(shè)低分辨率圖像為Xi,j,，大小為H×W。對(duì)應(yīng)的高分辨率圖像為Yi,j,，大小為aM×aN,，其中a是整形放大因子。不失一般性,，只考慮a=2時(shí),，有Y2i,2j=Xi,j。從Y2i,2j=Xi,j插值出Y2i+1,2j+1,。
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??? 這里插值是在對(duì)角方向上的4個(gè)最近鄰域進(jìn)行,。對(duì)自然圖像的一個(gè)合理假設(shè)是它能夠被模型化為一個(gè)局部平穩(wěn)高斯過(guò)程。根據(jù)經(jīng)典維納濾波理論,，最優(yōu)最小均方誤差線性插值系數(shù)為：
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式(2)中,，R、Y是在高分辨率下的局部協(xié)方差,。
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式中,，M是局部窗的大小，
是局部窗內(nèi)的點(diǎn),，C是沿著對(duì)角方向的4個(gè)最近鄰域,。根據(jù)(2)式和(3)式，則有：
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將(4)式代入(1)式可得到Y(jié)2i+1,2j+1,。
2.2基于二元樹(shù)復(fù)小波變換的邊緣插值方法
??? 方法描述如下：圖像f (x,y)經(jīng)過(guò)一次二元樹(shù)復(fù)小波分解后,，實(shí)部和虛部都被分解為6個(gè)高頻子帶和2個(gè)低頻子帶。求出實(shí)部6個(gè)高頻子帶的系數(shù)并用邊緣插值方法對(duì)其插值放大,。同樣對(duì)虛部6個(gè)高頻子帶進(jìn)行處理,，得到插值后的各虛部的高頻子帶系數(shù)。由于低頻信息集中了圖像的絕大部分能量，而雙3次插值方法能夠提高圖像的整體清晰度,。因此,，對(duì)于低頻系數(shù)，本文采用了雙3次插值,。各系數(shù)插值完成后對(duì)插值后的系數(shù)進(jìn)行二元樹(shù)復(fù)小波逆變換,。
3? 邊緣處理
??? 經(jīng)過(guò)以上過(guò)程處理后的圖像雖然得到了較好的插值效果，但圖像邊緣處還是比較模糊,。由于高頻信息對(duì)應(yīng)圖像的邊緣信息,，所以通過(guò)改變圖像的高頻信息，重構(gòu)后將改變?cè)瓐D像的邊緣特征,，因此改變不同層次的高頻子帶信息,，可以提高圖像邊緣處的對(duì)比度。依據(jù)這個(gè)原則,，這里用一種基于小波變換的方法將插值后的圖像進(jìn)行進(jìn)一步處理,，以得到更好的邊緣效果。方法描述如下：
??? 如圖2所示,，對(duì)用以上方法得到的插值圖像做小波分解,，分解為：LL,、HL,、LH和HH 4個(gè)子帶圖像。其中LL子帶集中了圖像的大部分能量,，3個(gè)高頻子帶HL,、LH、HH對(duì)應(yīng)了圖像不同方向的邊緣信息,。將小波變換后的圖像的高頻子帶繼續(xù)做Haar小波變換,。每個(gè)高頻子帶做1次Haar變換后可以得到4個(gè)子帶，通過(guò)修改高頻信息,，可以在重構(gòu)圖像時(shí)得到需要的圖像效果,。
3.1修改高頻系數(shù)
??? 令w00、w01,、w10,、w11表示每個(gè)高頻子帶經(jīng)過(guò)Haar變換后得到的4個(gè)子帶系數(shù)，e0,、e1,、e2、e3分別為子帶w00,、w01,、w10、w11系數(shù)模最大值。為了突出邊緣,，經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)本文按以下公式修改高頻小波系數(shù)為：
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??? 
3.2重構(gòu)圖像
??? 圖3為對(duì)修改了的小波系數(shù)進(jìn)行高頻Haar逆變換和小波逆變換,，即得到本文最后的的重構(gòu)圖像。
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4實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析
??? 根據(jù)本文的方法對(duì)Lena(256×256)和Lena(128×128)圖像進(jìn)行了處理,。圖4,、圖5分別為用參考文獻(xiàn)[1]的新邊緣插值方法、傳統(tǒng)小波變換方法和本文方法對(duì)Lena(256×256)和Lena(128×128)放大4倍后的結(jié)果比較,。經(jīng)過(guò)比較可以看出,，經(jīng)本文處理的圖像較好地保持了圖像的紋理特征，增強(qiáng)了圖像的邊緣,，克服了圖像插值后的紋理模糊現(xiàn)象,。
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??? 由圖6的 Lena(256×256) 和圖7的Lena(128×128)局部放大圖像眼部細(xì)節(jié)比較能夠清楚地看到，本文方法優(yōu)于新邊緣插值方法和傳統(tǒng)小波變換插值法得到的放大圖像,。使得到的圖像在邊緣處更加細(xì)膩,，細(xì)節(jié)和紋理更加清晰。
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??? 表1列出了用參考文獻(xiàn)[1]方法,、傳統(tǒng)小波變換方法和本文方法放大后圖像的峰值信噪比(PSNR),。從PSNR中也可以看出，本文方法優(yōu)于參考文獻(xiàn)[1]方法和傳統(tǒng)小波變換方法,，與參考文獻(xiàn)[1]方法相比,，Lena(256×256)和Lena(128×128)圖像PSNR分別高出1.19dB和2.90dB，與傳統(tǒng)小波變換方法相比,，Lena(256×256)和Lena(128×128)圖像PSNR分別高出0.07DB和0.02DB,。
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??? 本文針對(duì)圖像超分辨率過(guò)程中傳統(tǒng)的插值方法誤差較大，處理后的邊緣細(xì)節(jié)及紋理不夠理想,，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)方塊效應(yīng)或邊緣退化的缺點(diǎn),，利用二元樹(shù)復(fù)小波變換與邊緣插值方法相結(jié)合放大圖像，然后對(duì)放大圖像的高頻系數(shù)進(jìn)行修改,，最后通過(guò)小波逆變換得到重構(gòu)后的圖像,。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與傳統(tǒng)方法相比,，本文算法可以明顯提高圖像的清晰度,，既保留了豐富的細(xì)節(jié),又抑制了邊緣震鈴效應(yīng)，同時(shí)PSNR也有所提高,。將二元樹(shù)復(fù)小波變換與邊緣插值方法相結(jié)合應(yīng)用到圖像超分辨率重建中來(lái),，具有一定的理論研究?jī)r(jià)值和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。
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