量綱誤用在科學(xué)計(jì)算程序中是一種常見的錯(cuò)誤,，然而程序設(shè)計(jì)語言的標(biāo)準(zhǔn)類型系統(tǒng)卻對此無能為力。物理方程中的量綱錯(cuò)誤可以手工分析出來,，然而求解物理方程的計(jì)算機(jī)程序中的量綱錯(cuò)誤卻難以被發(fā)現(xiàn),，因?yàn)橛?jì)算程序往往很復(fù)雜。例如,，一些研究者認(rèn)為火星氣候探測衛(wèi)星的丟失,，是因?yàn)槌绦蛑邪岩粋€(gè)英制單位的變量傳遞給了使用公制單位的模塊。因而,，量綱的正確性對計(jì)算結(jié)果的正確性非常重要,。
近年來，研究者們提出了一些量綱檢測方法,，典型的如Osprey量綱檢測方法,。Osprey方法包含5個(gè)主要步驟：
(1)對待檢測源程序進(jìn)行單位標(biāo)注，使得檢測器能夠知道每個(gè)變量的單位;
(2)C語言解析和語法檢查;
(3)生成包含單位信息的抽象語法樹;
(4)生成約束CY程);
(5)方程的化簡及高斯消去求解(GE),。
可以看出,，Osprey方法步驟較多，每步都需要語言外的其他工具,，并需要對其進(jìn)行修改,、擴(kuò)充，而且最后的高斯消去(GE)計(jì)算量非常大,，是Osprey方法的性能瓶頸,。使用Osprey方法還有一個(gè)問題，就是需要同時(shí)維護(hù)2份源代碼：一份正常代碼用于編譯測試;另一份包含量綱信息的檢測代碼,，修改正常代碼后必須及時(shí)對檢測代碼進(jìn)行更新,，維護(hù)起來也比較繁瑣。此外,，由于C++語言的解析非常困難,，Osprey方法目前沒有實(shí)現(xiàn)對C++程序的量綱檢測。
針對這些問題,，提出一種基于模板元編程的量綱檢測方法TADA(TMP-bAsed Dimensional AnalysisMethod),，其基本思路是利用程序設(shè)計(jì)語言自身的模板元編程(Template Meta Programming,，TMP)功能，讓編譯器在編譯時(shí)對程序中的量綱進(jìn)行準(zhǔn)確性檢測,，從而可以避免Osprey方法的計(jì)算量大等諸多問題,。TADA方法具有下列優(yōu)點(diǎn)：
(1)TADA方法可使得應(yīng)用開發(fā)人員不需要維護(hù)2份代碼，因?yàn)槭褂肨ADA方法的檢測程序也完全是一個(gè)合法的可編譯的程序,。
(2)TADA方法的量綱檢測完全在編譯期間進(jìn)行,，對程序不會引入任何運(yùn)行時(shí)開銷。
(3)TADA方法無需進(jìn)行方程組求解工作,，可以適用于任何規(guī)模的程序,。與Osprey等方法類似，TADA方法也需要手工對程序添加量綱信息,，其標(biāo)注的工作量與Osprey等方法相當(dāng),。但TADA方法中編譯器在進(jìn)行檢測的時(shí)候無需進(jìn)行Osprey方法中的方程組求解工作，因而不再有Osprey方法的計(jì)算瓶頸,。
(4)TADA方法采用模塊化設(shè)計(jì),，使得單位的表示與匹配檢測之間實(shí)現(xiàn)了松耦合，支持用戶可以以一致的方式增加新的單位,。
1 模板元編程(TMP)技術(shù)
在C++程序設(shè)計(jì)語言中,，模板元編程是實(shí)現(xiàn)代碼重用的一種重要機(jī)制。下面首先對模板元編程技術(shù)進(jìn)行介紹,，然后給出TADA方法中需要使用的幾個(gè)基本的模板元程序,。
1.1 模板元編程簡介
模板可以將類型定義為參數(shù),，以提高代碼的可重用性,。模板包括類模板和函數(shù)模板等。函數(shù)模板與模板函數(shù)的區(qū)別可以類比于類與對象的區(qū)別：函數(shù)模板是模板的定義;而模板函數(shù)是函數(shù)模板的實(shí)例,，具有程序代碼,，占用內(nèi)存空間。當(dāng)編譯系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)了函數(shù)模板一個(gè)對應(yīng)的函數(shù)調(diào)用后,，根據(jù)實(shí)參的類型來確認(rèn)是否匹配函數(shù)模板中對應(yīng)的形參,，然后生成一個(gè)重載函數(shù)，稱該重載函數(shù)為模板函數(shù),。類似地,，在聲明了一個(gè)類模板后，也可以創(chuàng)建類模板的實(shí)例一模板類,。
類模板的一般形式如下：
template
class類名{
//類定義…
};
C++模板系統(tǒng)能夠通過模板的特化,、偏特化實(shí)現(xiàn)邏輯判斷，并能通過模板遞歸實(shí)現(xiàn)循環(huán),，構(gòu)成了一個(gè)圖靈完全的二級語言,。使用這種二級語言進(jìn)行編程叫作C++模板元編程(Template Meta Programming,，TMP)。模板元編程的驅(qū)動力是模板的遞歸實(shí)例化,。
下面給出C++模板元編程的一個(gè)示例,。
首先定義一個(gè)類模板，通過該類模板可實(shí)現(xiàn)在編譯期間計(jì)算4的任意次方,。如下所示：
通過下面的程序來使用該模板,。
程序Test.cpp執(zhí)行完后，會正確輸出4的7次方的值,，該數(shù)值是C++編譯器在編譯模板元程序時(shí)遞歸計(jì)算得到,。由于模板元程序完全在編譯期間執(zhí)行，相當(dāng)于對編譯器功能進(jìn)行擴(kuò)充,，因而利用這種程序進(jìn)行量綱檢測具有良好的可行性,。
1.2 基本模板元程序
下面給出TADA方法中需要使用的幾個(gè)基本的模板元程序。
(1)靜態(tài)判斷
語法：StaticlF：：ResultType
語義：當(dāng)cond為真時(shí),，ResuhType為T1,，否則ResuhType為T2。
(2)靜態(tài)斷言
語義：當(dāng)cond為真時(shí)什么也不做,，否則產(chǎn)生一個(gè)編譯期錯(cuò)誤(UnitError沒有定義,，或void函數(shù)不應(yīng)該有返回值)。
(3)靜態(tài)絕對值
語義：遞歸的使用輾轉(zhuǎn)相除法在編譯期間求出a與b的最大公約數(shù),，其中a與b為int類型,。
2 TADA量綱檢測方法
TADA量綱檢測方法需要涉及到單位和量綱的表示、計(jì)算,、標(biāo)注以及數(shù)學(xué)運(yùn)算函數(shù)的量綱包裝等各個(gè)組成步驟,，下面將依次對其進(jìn)行介紹。
2.1 單位和量綱的表示
在Osprey方法中,，量綱是用一個(gè)長度為7的向量表示的,，每個(gè)分量對應(yīng)一個(gè)SI標(biāo)準(zhǔn)量綱。TADA方法中也采用了這種方式,。為了簡化闡述,，本文只討論長度、重量,、時(shí)間這三種量綱,，其SI單位分別為米、千克和秒(TADA方法可直接推廣到其他各種量綱),。由于TMP程序的特殊性,，它并沒有數(shù)組或向量的支持，也不能使用浮點(diǎn)數(shù)據(jù)(使用浮點(diǎn)數(shù)表示量綱也會帶來不精確性),，量綱在TMP程序中的表示形式有所不同：用u11,，u12,，u21，u22,，u31,，u32之類的整型量分別表示
，
并輔以ratio表示同量綱,、不同單位之間的比值,，如分鐘和秒的比值為60。
TADA方法可靜態(tài)地建立如下常用單位：
模板元程序在計(jì)算公式的時(shí)候需要推導(dǎo)出新的量綱,，例如在計(jì)算
的時(shí)候,，編譯器應(yīng)該能根據(jù)等號右邊的公式計(jì)算出它的量綱，并與e的量綱進(jìn)行比較判別,。TADA方法的量綱是用分?jǐn)?shù)形式表示的,，在每次量綱計(jì)算之后都需要進(jìn)行分?jǐn)?shù)的約分處理，才能進(jìn)行相等性判斷,，因而TADA方法可用如下的方式處理新生成單位,，如下所示。
2.2 單位和量綱的計(jì)算
由于量綱都是用分?jǐn)?shù)表示的,，因而其計(jì)算會稍有麻煩,。下面定義TADA方法中量綱分?jǐn)?shù)的加、減,、乘,、除和等價(jià)測試運(yùn)算。
(1)分?jǐn)?shù)的加法運(yùn)算,，如下所示,。
(2)分?jǐn)?shù)的減法運(yùn)算。TADA方法通過加法實(shí)現(xiàn)減法計(jì)算,，如下所示,。
語義：分?jǐn)?shù)相減并約分,，即：
(3)單位相乘,。分別將3個(gè)量綱分?jǐn)?shù)相加，然后使用BuildUnit生成新單位,。
語義：單位Ua與單位Ub相乘后的新單位,。
(4)單位相除。與乘法處理方式相似,。
語義：若單位ua與單位Ub等價(jià)則不產(chǎn)生任何效果,，否則產(chǎn)生編譯期錯(cuò)誤。
2.3 單位和量綱標(biāo)注的原理和語法
與Osprey等方法類似,，TADA方法也在待檢測源程序進(jìn)行單位標(biāo)注,，以使得檢測器能夠知道每個(gè)變量的單位,。由于經(jīng)過單位標(biāo)注的待檢測程序仍然是合法的可編譯的程序，所以標(biāo)注信息必須由語言自身已有的語法要素構(gòu)成;標(biāo)注信息還不能影響被標(biāo)注變量的任何計(jì)算特性及使用方式,，只有滿足這兩點(diǎn)要求的標(biāo)注方式才能使標(biāo)注工作量最小化,。此外，已標(biāo)注變量應(yīng)該禁止從未標(biāo)注變量進(jìn)行各種隱含的類型轉(zhuǎn)換,，這樣嚴(yán)格的限制才能有效進(jìn)行單位量綱的匹配檢測,。對于C++語言來說，可以采用模板類的方式實(shí)現(xiàn),。
標(biāo)注實(shí)質(zhì)上是把語言原始的數(shù)據(jù)類型替換成TADA方法預(yù)定義的模板類,，而模板類實(shí)現(xiàn)了各種運(yùn)算符號的重載，同時(shí)禁止了任何隱含的類型轉(zhuǎn)換,，使得量綱標(biāo)注既滿足語法要素的要求,，又滿足計(jì)算兼容性的要求和禁止隱含轉(zhuǎn)換的要求。TADA方法中標(biāo)注的實(shí)現(xiàn)如下所示,。
2.4 定義單位量綱
量綱檢測系統(tǒng)應(yīng)該預(yù)定義常用單位量綱,，以方便應(yīng)用開發(fā)人員使用。TADA方法采用如下方式定義單位量綱：
2.5 數(shù)學(xué)運(yùn)算函數(shù)的量綱包裝
對于指數(shù),、對數(shù),、三角函數(shù)等已有的數(shù)學(xué)運(yùn)算函數(shù)，其參數(shù)與返回值都是沒有單位量綱的,，不能直接用于有量綱的公式計(jì)算,。針對這個(gè)問題，.TADA方法提供了這些函數(shù)的量綱包裝,，以sqrt和sin為例如下：
2.6 輔助工具
TADA方法還提供了一些輔助工具,，用于將量綱變量以適合閱讀的方式顯示出來，例如：
可以得到這樣的輸出結(jié)果：0.2米/秒2
2.7 分析和評估
在TADA方法的基礎(chǔ)上,，實(shí)現(xiàn)了面向C/C++程序的量綱檢測系統(tǒng)(TADA系統(tǒng)),，并對TADA系統(tǒng)的檢測能力進(jìn)行了分析和評估。
首先采用TADA系統(tǒng)來檢測下面的樣例程序,。
在TADA系統(tǒng)中,，Visual Studio 2003編譯該程序會出現(xiàn)類似如下的錯(cuò)誤信息，錯(cuò)誤信息的第3行就表明了unit.epp的第9行有錯(cuò)誤,。
在檢測能力方面,，采用文獻(xiàn)的樣例程序?qū)A-DA系統(tǒng)和Osprey系統(tǒng)的量綱檢測能力進(jìn)行了對比評估。在文獻(xiàn)中,，Osprey共找到了3個(gè)錯(cuò)誤,，其中前2個(gè)是單位誤用錯(cuò)誤，第3個(gè)是單位轉(zhuǎn)換比例因子錯(cuò)誤,。TADA系統(tǒng)也完全找到了前2個(gè)錯(cuò)誤,，而第3個(gè)錯(cuò)誤在標(biāo)注時(shí)被避免掉了,，因?yàn)樵搯挝幌到y(tǒng)包含了量綱之間的比例因子，能夠進(jìn)行自動的單位轉(zhuǎn)換,。
在性能和可擴(kuò)展性方面,，TADA系統(tǒng)能夠更有效地實(shí)現(xiàn)對c/c++程序的量綱檢測。Osprey系統(tǒng)引入了具有較高計(jì)算復(fù)雜度的線性方程組求解步驟,，需要很大的計(jì)算和時(shí)間開銷來解線性解方程組,。TADA系統(tǒng)基于模板元編程技術(shù)，只需要利用語言自身的語法能力,，靠編譯器進(jìn)行單位量綱檢查,，沒有帶來太多額外的復(fù)雜計(jì)算。并且TADA系統(tǒng)不會帶來任何程序的運(yùn)行時(shí)開銷,。因此TADA系統(tǒng)可適用于各種規(guī)模的C/C++程序,，具有更好的性能和可擴(kuò)展性。
在易用性方面,，TADA系統(tǒng)的標(biāo)注負(fù)擔(dān)與Osprey系統(tǒng)相當(dāng),。由于TADA系統(tǒng)利用C++編譯器的功能進(jìn)行錯(cuò)誤檢測，而C++編譯器遇到模板錯(cuò)誤時(shí)的錯(cuò)誤信息卻不很直觀,，錯(cuò)誤報(bào)告的可讀性較弱,，但仍可以快速定位到錯(cuò)誤點(diǎn)。
3 結(jié) 語
這里提出一種新穎的基于模板元編程的單位量綱檢測方法TADA,，并基于該方法實(shí)現(xiàn)了一個(gè)單位量綱檢測系統(tǒng),。
TADA方法采用模板元編程技術(shù)，使得經(jīng)過單位量綱標(biāo)注的受測程序仍然是一個(gè)完整,、合法,、可編譯的C/C++程序，無需維護(hù)多套程序代碼,，也無需進(jìn)行復(fù)雜的解方程組運(yùn)算,，就能夠在程序代碼中發(fā)現(xiàn)量綱錯(cuò)誤，具有良好的實(shí)用性和可擴(kuò)展性,，可以有效適用于多種規(guī)模程序的量綱檢測,。