摘 要： 為了解決高階次、多變量,、非線性,、強(qiáng)耦合的直線二級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制問題，設(shè)計(jì)了一種參數(shù)自校正模糊PI控制器算法,。結(jié)合線性二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)器(LQR)方法,，設(shè)計(jì)了融合函數(shù)，降低了模糊控制器的維數(shù),、減少了控制器規(guī)則數(shù),、實(shí)現(xiàn)了參數(shù)在線自校正，進(jìn)而提高了控制器的性能。借助固高科技倒立擺硬件平臺(tái),，采用MATLAB仿真及實(shí)時(shí)控制,，系統(tǒng)均能在較短時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定，且控制效果較好,，滿足了穩(wěn)定性和魯棒性要求,。
關(guān)鍵詞： 二級(jí)倒立擺；參數(shù)自校正,；模糊控制,；融合函數(shù)；LQR
倒立擺系統(tǒng)廣泛地應(yīng)用在非線性控制理論和研究方面,。對(duì)于不同的倒立擺類型,，控制方法比較多，主要有：雙PID及自適應(yīng)PID控制[1],、LQR及自適應(yīng)LQR[2],、LQG控制[3]、模糊邏輯控制[5-6],、自適應(yīng)滑模模糊控制[7],、模糊聚類[8]、神經(jīng)控制[9],、遺傳算法[10]等,，這些方法均能有效地控制倒立擺系統(tǒng)。但這些控制算法有其優(yōu)缺點(diǎn),，同樣復(fù)雜的控制算法,，實(shí)時(shí)控制效果不是很好，增加了實(shí)現(xiàn)的難度,。PID控制器能夠有效地處理穩(wěn)定狀態(tài)響應(yīng),，但是，要想精確地調(diào)整PID控制器的增益是相當(dāng)困難的,；LQR算法在線性系統(tǒng)中能夠較好運(yùn)用,，而在非線性較強(qiáng)的系統(tǒng)中也存在一些不足之處；參考文獻(xiàn)[5-8]在模糊邏輯控制的基礎(chǔ)上采用不同的算法,，能夠有效地控制非線性系統(tǒng),。模型建立好之后，非線性系統(tǒng)總是線性化在平衡點(diǎn)附近,。忽略其他次要部分,，這也會(huì)導(dǎo)致大的誤差；遺傳算法控制能夠在全局范圍內(nèi)進(jìn)行優(yōu)化,，具有更高的效率,，但是也存在不足之處,。其交叉和突變作用，不能夠確保個(gè)體具有較好的適應(yīng)度,，給目標(biāo)函數(shù)的選取增加了困難,。
本文在總結(jié)模糊控制和LQR算法基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種參數(shù)自校正模糊PI控制器,。運(yùn)用LQR方法,，設(shè)計(jì)了融合函數(shù)，對(duì)模糊控制器進(jìn)行降階處理,，實(shí)現(xiàn)參數(shù)在線自校正,。通過仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，這種模糊控制方法能有效控制二級(jí)倒立擺系統(tǒng),。
1 二級(jí)倒立擺物理模型
在忽略空氣阻力,、各種接觸摩擦之后，將二級(jí)倒立擺系統(tǒng)等效為小車,，勻質(zhì)桿和質(zhì)量塊組成的剛性系統(tǒng)如圖1所示,，物理參數(shù)如表1所示。
通過調(diào)用MATLAB函數(shù)可以判斷,，二級(jí)倒立擺系統(tǒng)是能控能觀的,。由于開環(huán)極點(diǎn)為p1，2,，3,，4=0、p5,，6=±6.2074j,，可知系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。要使系統(tǒng)穩(wěn)定,，就需要外加控制器,。
2 參數(shù)自校正模糊PI控制器的設(shè)計(jì)
2.1 融合函數(shù)的設(shè)計(jì)
二級(jí)倒立擺系統(tǒng)有小車位移和速度、下擺角度和角速度,、上擺角度和角速度6個(gè)變量,，如果將這6個(gè)變量作為模糊控制器的輸入，每個(gè)輸入變量在論域范圍內(nèi)取7個(gè)模糊子集,，則會(huì)出現(xiàn)76=117 649條推理規(guī)則，這會(huì)大大影響模糊控制器的性能,。由于線性系統(tǒng)具有可融合的特點(diǎn),，在此將二級(jí)倒立擺系統(tǒng)6個(gè)變量融合成為綜合誤差E和綜合誤差變化量EC，作為模糊控制器的輸入,，則融合函數(shù)設(shè)計(jì)如下[12],。
(1)利用現(xiàn)代控制中的LQR方法,，通過仿真試湊法選取使二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)J=[XTQX+UTRU]dt為最小值的Q、R(Q,、R為適當(dāng)維數(shù)的正定加權(quán)矩陣),，從而可以計(jì)算得出狀態(tài)反饋矩陣：
2.2 參數(shù)自校正模糊PI控制器的設(shè)計(jì)
在基本模糊控制器基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了參數(shù)自校正模糊PI控制器[5-8],。經(jīng)上述融合函數(shù)降維后,，根據(jù)圖2所示的模糊控制二級(jí)倒立擺結(jié)構(gòu)圖，選擇合適的量化因子Ke,、Kec和比例因子Ku,。E、EC作為模糊控制器1的輸入量,，U作為輸出控制量,。輸入量和輸出量均采用三角型隸屬度函數(shù)進(jìn)行模糊化，每個(gè)語言變量的論域?yàn)閧-6,，6},，語言值設(shè)為{PB，PM,，PS,，ZE，NS,，NM,，NB}，分別表示{正大,，正中,，正小，零,，負(fù)小,，負(fù)中，負(fù)大},，以重心法解模糊化[13],。模糊控制器1控制規(guī)則表如表2所示。
為了對(duì)模糊控制器1的參數(shù)Ke,、Kec,、Ku進(jìn)行自校正，引入模糊控制器2,，其調(diào)整方法為：當(dāng)系統(tǒng)的誤差E和誤差的變化EC較大時(shí),，應(yīng)加快系統(tǒng)響應(yīng)速度，此時(shí)需要降低量化因子Ke和Kec來降低E和EC輸入量的分辨率,，同時(shí)加大比例因子Ku,，使響應(yīng)加快,；當(dāng)E和EC較小時(shí)，說明系統(tǒng)已經(jīng)趨于穩(wěn)定,，此時(shí)要求提高系統(tǒng)精度,，要增大量化因子Ke和Kec來提高對(duì)輸入變化的分辨率，同時(shí)減小比例因子,，以減小超調(diào)量,。此處Ke、Kec增加的倍數(shù)與比例因子Ku的減小倍數(shù)相同,。
選擇輸入量和輸出量均為三角型隸屬度函數(shù)進(jìn)行模糊化,，取Ke、Kec的論域?yàn)閧-6,，6},，在論域范圍內(nèi)把E、EC劃分為{NB,，NS,，NM，ZE,，PS,，PM，PB}7個(gè)模糊子集,，取定義Ku的論域?yàn)閧0.125,，0.25，0.5,，1,，2，4,，8},，模糊子集定義為{AH，AM,，AL,，KO，CL,，CM,，CH}，分別表示{高放,，中放,，低放，不變,，低縮,，中縮，高縮},，以重心法解模糊化,。模糊控制器2控制規(guī)則表如表3所示。
其中,，參數(shù)調(diào)整方法為：(1)以原始的Ke,、Kec對(duì)E、EC進(jìn)行量化得到E′,、EC′,；(2)將E′、EC′作為模糊控制器2的輸入量,，輸出控制量為調(diào)整倍數(shù)M
對(duì)整定得出的控制量u與系統(tǒng)輸入量作差,，作為PI控制器的輸入，再將PI控制器的輸出作為二級(jí)倒立擺狀態(tài)模型的輸入,，即可以對(duì)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究,。
3 仿真結(jié)果分析
在Simulink環(huán)境中建立的二級(jí)倒立擺的參數(shù)自校正模糊PI和模糊控制器的仿真結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。
根據(jù)式(1),，取Q=diag(1000,，500，500,，0,，0，0),，R=1,，采用LQR方法得到狀態(tài)反饋矩陣K為：
K=[31.622 8 113.123 5 -227.437 8
28.301 8 1.071 5 -38.755 3]
代入式(3)，得融合函數(shù)為：
取系統(tǒng)的初始值為零,，設(shè)置仿真時(shí)間為5 s,，仿真步長(zhǎng)為5 ms，通過多次調(diào)整參數(shù),，得到兩種控制器仿真曲線圖如圖4所示,。由圖4可知，小車最終距離初始位置10 cm左右處保持平衡,，下擺擺角偏離平衡位置最大值為0.05 rad,，上擺擺角偏離平衡位置最大值為0.003 rad，系統(tǒng)能在2.5 s左右時(shí)間內(nèi)達(dá)到并維持平衡,，由此可見控制效果比較理想,。比較兩者的仿真結(jié)果可知，基于融合函數(shù)的參數(shù)自校正模糊PI控制器不僅能使小車維持平衡,，而且系統(tǒng)的響應(yīng)速度也較快,，可以用來對(duì)二級(jí)倒立擺實(shí)物系統(tǒng)實(shí)時(shí)控制,。
在基本模糊控制器結(jié)構(gòu)上，設(shè)計(jì)了一種參數(shù)自校正模糊PI控制器,，通過融合函數(shù)對(duì)模糊控制器的輸入進(jìn)行降維,，避免了控制規(guī)則過多而影響控制性能的缺點(diǎn)，同時(shí)又對(duì)模糊控制器的量化因子和比例因子進(jìn)行在線校正調(diào)整,，達(dá)到了自校正目的,。為了測(cè)試倒立擺系統(tǒng)魯棒性，選用了外部測(cè)試方法(即施加外力與系統(tǒng)),，系統(tǒng)能夠很快校正偏差,，回到平衡位置。仿真結(jié)果和圖5實(shí)時(shí)控制曲線表明,，這種控制器能有效地控制二級(jí)倒立擺系統(tǒng),，具有良好的穩(wěn)態(tài)性能，響應(yīng)速度較快,，魯棒性較好,。
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