摘  要： 在現(xiàn)代電磁工程中,，對于邊界不復(fù)雜的問題，可用解析法得到精準(zhǔn)解,，但較復(fù)雜的邊值問題用解析法不能得到解答,，需要數(shù)值法。在此導(dǎo)出HALLEN方程法,，用MATLAB軟件實(shí)現(xiàn),，它能夠非常接近解析值，說明其正確性,。矩量法是求解電磁場邊界值問題中一種行之有效的數(shù)值方法,，利用矩量法將HALLEN法的積分方程化為差分方程，將積分方程中積分化為有限求和,，從而建立代數(shù)方程組,，用MATLAB編程進(jìn)行數(shù)值計算和仿真。最后得出結(jié)論,，矩量法分析能夠接近其解析解,，說明其正確性。

　　關(guān)鍵詞： 矩量法,；HALLEN方法,；半波天線；MATLAB

0 引言

　　自赫茲和馬可尼發(fā)明了天線以來,，天線在社會生活中的重要性與日俱增,，如今已成不可或缺之勢。天線是人們見聞世界的耳目,，是人類與太空聯(lián)系的紐帶,，是文明社會的組成要素[1]。

　　矩量法是求解電磁場邊界值問題中一種行之有效的數(shù)值方法,，其數(shù)學(xué)本質(zhì)是一種求解線性方程的方法[2],。矩量法[3-4]所做的工作是將積分方程化為差分方程，或?qū)⒎e分方程中的積分化為有限求和,，從而建立代數(shù)方程組,，故它的主要工作是用計算機(jī)求解代數(shù)方程組,，因而在電磁場數(shù)值計算方面得到了廣泛的應(yīng)用，并已得到了國內(nèi)外學(xué)者的公認(rèn),。HALLEN E在1938年提出積分方程法[5-6],，首先從假定的電流分布用矢量磁位寫出天線表面外部的電場公式，然后令此電場等于天線表面內(nèi)部因克服集膚效應(yīng)引起的阻抗所需要的電場強(qiáng)度,，由此求得表示電流分布的積分方程式,。國內(nèi)外對半波天線的研究主要集中于激勵原理、特性,、實(shí)驗(yàn)等方面的討論,，而關(guān)于天線方向圖和電流分布等參數(shù)計算和分析很少。張黎明[7],、姜光興[8]等人利用矩量法對半波天線的參數(shù)進(jìn)行了計算,。HAFIANE A等人[9]利用天線陣模型對天線的參數(shù)進(jìn)行了計算?；谝陨系难芯?，本文利用HALLEN方法計算并仿真出半波天線的電流分布、功率增益和方向圖,，計算過程中不但簡化了數(shù)值分析的復(fù)雜性,，而且減小了計算量并提高了其精度。

1 天線的關(guān)鍵參數(shù)推導(dǎo)

　　1.1 矩量法的數(shù)學(xué)表述[7,，10]

　　設(shè)一個非其次方程為：

　　L（f）=g（1）

　　其中,，L為微分算子或積分算子，f為待求的場量或響應(yīng),，g為已知的源或激勵,。

　　設(shè)空間為線性的，在算子L的定義域內(nèi)選擇一組函數(shù){fn},，將待求函數(shù)f展開為它們的組合：

　　其中,，an為待求系數(shù)，fn稱為基函數(shù)或展開函數(shù),，由自己選定,。將式（2）代入式（1），并因L為線性算子,，可得：

　　在L域內(nèi)選擇一組加權(quán)系數(shù)（或稱檢驗(yàn)函數(shù)）W1,、W2、L,、Wn的集合{Wm},，并對每個Wm取式（3）的內(nèi)積，可得：

　　式（4）可寫成如下的矩陣形式：

　　[Lmn][an]=[gm]（5）

　　其中：[Lmn]=<W1，Lf1>  …  <W1,，Lfn>   …     …      …<Wm,，Lf1>  …  <Wm，Lfn>（6）

　　[an]=[a1,，a2,，…,，an]T,，[gm]=[<W1，g>,，<W2,，g>，…,，<Wm,，g>]T（7）

　　如果[Lmn]有逆矩陣存在，記為[Lmn]-1,，則待求系數(shù)an可由下式解得：

　　[am]=[Lmn]-1[gm]

　　于是可將f寫成f=[fn][am]=[fn][Lmn]-1[gm],。

　　1.2 方向圖

　　將方向性函數(shù)以曲線方式描繪出來，稱之為方向圖,。它是描述天線輻射場在空間相對分布隨方向（q,，f）變化的圖形，通常指歸一化方向圖,。

　?。?）立體方向圖

　　變化q和f得到的方向圖為立體方向圖，它綜合描述了天線在各個方向上的輻射情況,。

　?。?）E面、H面方向圖

　　E面是包含最大輻射方向的電場矢量所在的平面,。用E面去截取立體方向圖,，則得到E面方向圖。

　　H面是包含最大輻射方向的磁場矢量所在的平面,。用H面去截取立體方向圖,，則得到H面方向圖。

　　1.3半波對稱天線

　　由于半波天線是特殊的對稱天線,，因此在這里先介紹對稱天線的概念,，導(dǎo)出對稱天線的參數(shù)。

　　對稱天線由兩臂長各為l,、半徑為a的直導(dǎo)線或金屬管構(gòu)成,，如圖1所示，它的兩個內(nèi)端點(diǎn)為饋電點(diǎn)。對稱天線是一種應(yīng)用廣泛的基本線形天線,，它既可單獨(dú)使用,，也可作為天線陣的組成單元。

　　對稱天線上的電流分布為：

　　I（z）=Isin[k（l-|z|）],，|z|<l

　　=Isin[k（l-z）],，0<|z|<lIsin[k（l+z）]，-l<|z|<0（8）

　　故對稱天線的輻射場為：

　　可見,，對稱天線的歸一化方向性函數(shù)為：

　　1.4 功率增益

　　天線增益用來衡量天線對某一特定方向的收發(fā)信號的能力,，定量地描述某一天線將輸入功率集中輻射的程度[11]。在相同距離和相同輸入功率的條件下,，天線在最大輻射方向上的輻射功率密度Wmax和理想無方向性天線的輻射功率密度之比以G表示,，即：

　　其中，Pin是實(shí)際天線輸入功率,，Pin0是理想無方向性天線的輸入功率,。

　　對于有耗情況：Wr=hAWmax，Pr=hAPin,。

　　此時增益表達(dá)式可以寫成：

　　得到天線增益與方向系數(shù)的關(guān)系為：

　　G=hAD（13）

　　天線的有效輻射功率可以表示為：

　　Pe=PinG=PinhAD=PrD（14）

　　1.5 電流分布

　　從前面的介紹可知,，HALLEN法從積分方程求解天線的電流分布，知道了電流分布和加在輸入端上的電壓,。

2 仿真結(jié)果與分析

　　前面用HALLEN方法計算出了半波天線的電流分布,、功率增益和方向圖參數(shù)的表達(dá)式，最后用MATLAB編程進(jìn)行數(shù)值計算和可視化[12],。

　　2.1 電流分布

　　用MATLAB仿真,，結(jié)果如圖2所示。

　　由圖2可知,，半波振子天線L/l=0.5的電流分布最大,，饋點(diǎn)電流最大，輻射電阻近似等于輸入電阻,，因?yàn)榘氩ㄕ褡拥妮斎腚娏髡檬遣ǜ闺娏鳌?/p>

　　2.2 方向圖

　　將方向性函數(shù)以曲線方式描繪出來,，稱之為方向圖。它是描述天線輻射場在空間相對分布隨方向（q,，f）變化的圖形[8,，13]。

　　E面方向圖（二維）如圖3所示,。

　　H面方向圖（二維）如圖4所示,，歸一化的H面方向圖如圖5所示。

　　結(jié)果分析：

　?。?）q=0時,，輻射場為0。

　　（2）當(dāng)L/l<<1（短振子）時,，方向函數(shù)和方向圖與電流元的近似相同,。

　　（3）L/l<1.25時,，主瓣隨L/l增大變窄,。L/l>1后開始出現(xiàn)副瓣（由圖4可以看出）。

　?。?）L/l>1.25時,，隨L/l增大，主瓣變窄變小,，副瓣逐漸變大,；L/l繼續(xù)增大,，主瓣轉(zhuǎn)為副瓣,，而原副瓣變?yōu)橹靼辏妶D5,。

　　2.3 功率增益

　　在本文的1.4節(jié)介紹了天線的增益,，這里直接給出仿真結(jié)果，如圖6所示,。

　　從圖6可以看出,，半波振子即為L=0.5l，觀察L= 0.5l的這條曲線可知,，增益半波振子的增益G=1.646 1,。

3 結(jié)論

　　本文利用HALLEN方法計算半波天線的電流分布、功率增益和方向圖,，利用矩量法將HALLEN法的積分方程化為差分方程,，將積分方程中積分化為有限求和，從而建立代數(shù)方程組,，最后用MATLAB編程進(jìn)行數(shù)值計算和可視化,。

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