黃雄波
?。ǚ鹕铰殬I(yè)技術(shù)學(xué)院 電子信息系,,廣東 佛山 528137)
摘要:由于自相關(guān)函數(shù)刻畫(huà)了時(shí)序數(shù)據(jù)在不同時(shí)刻取值的線性相關(guān)程度,故其在時(shí)序數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析中得到了廣泛的應(yīng)用,。討論了基于FFT變換的自相關(guān)函數(shù)計(jì)算原理,,結(jié)合非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)的辨識(shí)需求,基于自相關(guān)函數(shù)理論對(duì)趨勢(shì)和周期成份的分離次序以及殘留序列的隨機(jī)類型識(shí)別等問(wèn)題進(jìn)行了深入分析,,進(jìn)一步提出了一種改進(jìn)的非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)的辨識(shí)算法,。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了改進(jìn)算法的合理性和有效性。
關(guān)鍵詞: 自相關(guān)函數(shù),; FFT變換,;非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù);系統(tǒng)辨識(shí)
0引言
在工程,、經(jīng)濟(jì),、自然和社會(huì)科學(xué)等很多領(lǐng)域中,被考查對(duì)象在其歷史的演變過(guò)程中,,其相關(guān)的物理量常常以一系列隨時(shí)間而變化的數(shù)據(jù)序列而被人們記載,,這種序列通稱為時(shí)間序列或時(shí)序數(shù)據(jù) [13]。事實(shí)上,,由于受到諸多偶然因素的影響,,時(shí)序數(shù)據(jù)很難用一個(gè)精確的數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述,但由于它們大都具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律的特性,,因此,,可以通過(guò)對(duì)時(shí)序數(shù)據(jù)的辨識(shí)和建模,進(jìn)而達(dá)到認(rèn)識(shí)事物,、掌握其內(nèi)在變化規(guī)律的目的[46],。
一般地說(shuō),事物在演變過(guò)程中往往具有某種趨勢(shì)或周期規(guī)律的特性,,故在現(xiàn)實(shí)中所獲得的時(shí)序數(shù)據(jù)也就具有非平穩(wěn)的特點(diǎn),,即序列的均值(一階矩)為非常數(shù)且自相關(guān)函數(shù)(二階矩)與起始時(shí)間有關(guān)[78]。由于非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)具有時(shí)變的統(tǒng)計(jì)結(jié)構(gòu),,故其辨識(shí)和建模的過(guò)程比平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)要復(fù)雜得多,,目前比較有效的做法是[913]:首先從原始序列中分離出趨勢(shì)和周期成份并分別對(duì)它們進(jìn)行辨識(shí),,然后對(duì)殘留的平穩(wěn)隨機(jī)序列建立相應(yīng)的AR、MA或ARMA模型,。本文基于自相關(guān)函數(shù)的理論,,對(duì)諸如趨勢(shì)和周期成份的分離次序以及殘留序列的隨機(jī)類型識(shí)別等問(wèn)題進(jìn)行了分析,在此基礎(chǔ)上,,提出一種改進(jìn)的非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)的辨識(shí)算法,,實(shí)驗(yàn)證明改進(jìn)算法是有效的。
1問(wèn)題描述
1.1時(shí)序數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)
設(shè)樣本長(zhǎng)度為n的非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù){y(t),t=0,1,…,n-1}在相鄰p時(shí)刻的數(shù)據(jù)取值分別為yt和yt+p,,則yt的p階樣本自相關(guān)函數(shù)的估算值r^(p)可用式(1)進(jìn)行計(jì)算:
自相關(guān)函數(shù)是時(shí)序數(shù)據(jù)的二階統(tǒng)計(jì)特性,,它表征了序列數(shù)據(jù)項(xiàng)之間的依賴程度及趨勢(shì)的變化情況,據(jù)此,,可以利用自相關(guān)函數(shù)的上述性質(zhì)來(lái)識(shí)別序列的趨勢(shì)和周期成份的顯著性及它們之間的關(guān)聯(lián)信息等,。
1.2基于FFT變換的自相關(guān)函數(shù)計(jì)算
利用式(1)計(jì)算r^(p)時(shí),若序列的樣本長(zhǎng)度n比較大,,則所需要的運(yùn)算量也隨之增加,,為了提高運(yùn)算速度,可以利用快速傅里葉變換(Fast Fourier Transformation,,F(xiàn)FT)算法來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)r^(p)的快速運(yùn)算[14],。
對(duì)r^(p)施行Fourier變換,由式(1)有:
為了能用離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,,DFT)來(lái)計(jì)算式(2)的線性卷積運(yùn)算,,故需要對(duì)時(shí)序數(shù)據(jù)y(t)補(bǔ)充n位零數(shù)值,得y′(t),,即:
綜合式(2)~式(5)可知,基于FFT變換的自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算流程為:(1)對(duì)y(t)補(bǔ)充n位零數(shù)值,,得y′(t),;(2) 對(duì)y′(t)做DFT變換,得到y(tǒng)′(m),;(3) 對(duì)1n|y′(m)|2做逆DFT變換,,得到r^′(p);(4)對(duì)r^′(p)中0~n的點(diǎn)進(jìn)行整體右移n位,,得到r^(p),。
2非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)的辨識(shí)改進(jìn)
2.1自相關(guān)函數(shù)在非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)的辨識(shí)應(yīng)用
非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)y(t)的辨識(shí)模型如式(6)所示:
其中,∑ui=0αiti是趨勢(shì)成份,,由一個(gè)u階的多項(xiàng)式進(jìn)行辨識(shí),,αi為多項(xiàng)式的各階次的辨識(shí)參數(shù);∑vi=1λisin(iωt)是周期成份,,ω為基波角頻率,,λi為各諧波的幅值,;x(t)為殘留的平穩(wěn)隨機(jī)序列。
2.1.1趨勢(shì)和周期成份的分離
對(duì)于既有趨勢(shì)又有周期影響的非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)而言,,當(dāng)趨勢(shì)成份很強(qiáng)時(shí),,則其趨勢(shì)特點(diǎn)表現(xiàn)突出,甚至?xí)阎芷谔攸c(diǎn)淹沒(méi)掉,;而當(dāng)周期成份很強(qiáng),,其趨勢(shì)特點(diǎn)也有可能顯現(xiàn)不出來(lái)。 據(jù)此,,有必要在現(xiàn)有的非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)辨識(shí)算法的基礎(chǔ)上,,根據(jù)趨勢(shì)和周期成份在序列中的輕重地位進(jìn)行依次分離和辨識(shí)。
對(duì)于趨勢(shì)成份明顯的時(shí)序數(shù)據(jù),,由于緊鄰的數(shù)據(jù)項(xiàng)具有相同的取值方向,,故其自相關(guān)函數(shù)的前3~4階通常會(huì)出現(xiàn)正數(shù)且具有大于2n的特點(diǎn);而當(dāng)序列存在周期長(zhǎng)度為L(zhǎng)的數(shù)據(jù)成份時(shí),,則由于各個(gè)周期內(nèi)相關(guān)位置的數(shù)據(jù)具有同時(shí)為大或同時(shí)為小的特點(diǎn),,故其L,2L,…,int(nL)L(int()為取整函數(shù))等各階次的自相關(guān)函數(shù)均為正值。依照上述規(guī)則,,可以通過(guò)計(jì)算各階次的自相關(guān)函數(shù)來(lái)判別待辨識(shí)的非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)是否存在著趨勢(shì)和周期成份,,當(dāng)僅發(fā)現(xiàn)趨勢(shì)時(shí),則首先分離趨勢(shì)成份,,然后再對(duì)殘留序列進(jìn)行周期識(shí)別,;反之,當(dāng)僅發(fā)現(xiàn)周期時(shí),,則首先分離周期成份,,然后再對(duì)殘留序列進(jìn)行趨勢(shì)識(shí)別;而當(dāng)趨勢(shì)和周期同時(shí)顯著時(shí),,則應(yīng)從原始序列中同時(shí)分離這兩種數(shù)據(jù)成份,。
以趨勢(shì)和周期成份同時(shí)顯著為例,其基于最小二乘法的分離過(guò)程如下:
為滿足arg mine=∑nt=0|y(t)-f(t)|2,,依最小二乘法有:
求解式(7)的線性方程組[15],,便可得到趨勢(shì)和周期成份同時(shí)顯著時(shí)的辨識(shí)參數(shù)向量[α0,α1,…,αu,λ1,λ2,…,λv]T。
2.1.2殘留序列的平穩(wěn)性判別及辨識(shí)
通常,,非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)y(t)在去掉趨勢(shì)和周期成份的影響后,,其殘留序列x(t)可能是一個(gè)分段局部平穩(wěn)、整體平穩(wěn)或完全隨機(jī)型的序列,,故在殘留序列x(t)的辨識(shí)之前還應(yīng)進(jìn)行隨機(jī)類型的識(shí)別,。完全隨機(jī)型序列其各階次的自相關(guān)函數(shù)具有零值的特點(diǎn);而分段局部平穩(wěn)或整體平穩(wěn)的隨機(jī)型序列在平穩(wěn)范圍內(nèi)其數(shù)據(jù)項(xiàng)之間是允許存在自相關(guān)的,,但數(shù)據(jù)項(xiàng)xt和xt+p的相關(guān)性會(huì)隨著間隔項(xiàng)p的增大而減少,。在工程應(yīng)用中,,若某序列的各階次的自相關(guān)函數(shù)滿足式(8),則可把該序列視為平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)[16],。
式(8)中,,符號(hào)“&&”為邏輯與運(yùn)算,“int( )”為取整函數(shù),,該邏輯表達(dá)式描述了序列的自相關(guān)函數(shù)的絕對(duì)值在1~2階次時(shí)均大于2n,,但其后便衰減至-2n,2n區(qū)間內(nèi)。
由于完全隨機(jī)型序列不包含任何形式的模型,,故無(wú)需對(duì)它進(jìn)行任何的處理,;而平穩(wěn)隨機(jī)序列則可以采用式(9)的AR模型進(jìn)行建模:
x(t)=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φkxt-k+un(9)
式(9)中,[φ1,φ2,…,φk]T為自回歸參數(shù)向量,,un是均值為零,、方差為σ2的正態(tài)分布白噪聲。自回歸參數(shù)向量[φ1,φ2,…,φk]T可用式(10)的DurbinLevinson遞推公式求得,,而遞推的具體計(jì)算流程則如圖1所示,。
對(duì)于分段局部平穩(wěn)的殘留序列而言,在辨識(shí)之前還應(yīng)完成各段平穩(wěn)子序列的劃分,,即需要確定平穩(wěn)子序列的段數(shù)及各段之間的分割點(diǎn),。根據(jù)平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)特征,可得到如下平穩(wěn)子序列的分割方法:以1個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)為步長(zhǎng)自左至右地搜索分割點(diǎn),,若新增數(shù)據(jù)項(xiàng)后的子序列其自相關(guān)函數(shù)仍滿足式(8)中的邏輯表達(dá)式,,則合并該新增數(shù)據(jù)項(xiàng)并繼續(xù)向右搜索;否則以該新增數(shù)據(jù)項(xiàng)為分割點(diǎn),,新建另一平穩(wěn)子序列并繼續(xù)向右搜索,;重復(fù)上述過(guò)程直至遍歷整個(gè)殘留序列為止。完成平穩(wěn)子序列的劃分后,,便可根據(jù)式(10)中的遞推公式求得它們各自的辨識(shí)參數(shù)向量,。
2.2非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)的辨識(shí)改進(jìn)算法
綜上所述,可設(shè)計(jì)如下的非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)的辨識(shí)改進(jìn)算法,。
算法:基于自相關(guān)函數(shù)的非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)的辨識(shí)算法。
輸入:樣本長(zhǎng)度為n的非平穩(wěn)時(shí)間數(shù)據(jù)y(t),。
輸出:趨勢(shì)成份的辨識(shí)參數(shù)向量[α0,α1,…,αu]T,,周期成份的辨識(shí)參數(shù)向量[λ1,λ2,…,λv]T,隨機(jī)成份的辨識(shí)參數(shù)向量[φ1,φ2,…,φk]T,。
步驟1設(shè)計(jì)相關(guān)的公用函數(shù)模塊,。
模塊1依照上述的式(2)~式(5)編寫(xiě)序列的FFT自相關(guān)函數(shù)計(jì)算模塊。
模塊2編寫(xiě)趨勢(shì)成份顯著的識(shí)別模塊,,具體的識(shí)別流程為:
if((r^(1)>(2/sqrt(n)))&&(r^(2)>(2/sqrt(n)))&&(r^(3)>(2/sqrt(n))))
{
標(biāo)識(shí)趨勢(shì)成份顯著,;
}
模塊3編寫(xiě)周期成份顯著的標(biāo)識(shí)模塊,,具體的識(shí)別流程為:
for(L=2;L<=int(2/n);L++)
{//遍歷搜索顯著的周期成份
if((r^(L)>0)&&(r^(2*L)>0)&&…&&(r^(int(n/L)*L)>0))
{
標(biāo)識(shí)周期成份顯著;
}
}
模塊4線性方程組(系數(shù)矩陣A=[aij]∈Rn×n)的GaussSeidel迭代求解模塊,,其迭代求解公式為:
步驟2從非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)中分離趨勢(shì)和周期成份,。
(1)調(diào)用公用模塊1計(jì)算y(t)的r^(1)、r^(2),、…,、r^(2n)等各階次的自相關(guān)函數(shù);
(2)調(diào)用公用模塊2和模塊3進(jìn)行趨勢(shì)和周期成份的識(shí)別,;
(3)對(duì)(2)的識(shí)別結(jié)果進(jìn)行處理,,分“僅趨勢(shì)成份顯著”、“僅周期成份顯著”,、“趨勢(shì)和周期成份同時(shí)顯著”,、“趨勢(shì)和周期均不顯著”4種情況;
case1://限于篇幅,,這里只給出“僅趨勢(shì)成份顯著”的處理流程
{
(1)基于最小二乘法計(jì)算趨勢(shì)成份顯著時(shí)y(t)所對(duì)應(yīng)的線性方程組的系數(shù)矩陣A,;
(2)調(diào)用公用模塊4求得趨勢(shì)成份的辨識(shí)參數(shù)向量[α0,α1,…,αu]T;
(3)計(jì)算殘留序列,,x(t)=y(t)-∑ui=0αiti-1,;
(4)調(diào)用公用模塊1計(jì)算殘留序列x(t)的r^(1)、r^(2),、…,、r^(2n)等各階次的自相關(guān)函數(shù);
(5)調(diào)用公用模塊3對(duì)殘留序列x(t)進(jìn)行周期成份的識(shí)別,;
(6)對(duì)殘留序列x(t)的周期成份識(shí)別結(jié)果進(jìn)行處理:
if(殘留序列x(t)的周期成份顯著)
{
?、倩谧钚《朔ㄓ?jì)算周期成份顯著時(shí)x(t)所對(duì)應(yīng)的線性方程組的系數(shù)矩陣A;
?、谡{(diào)用公用模塊4求得周期成份的辨識(shí)參數(shù)向量[λ1,λ2,…,λv]T,;
③更新殘留序列,,x(t)=x(t)-∑vi=1λi(siniωt),;
}
④轉(zhuǎn)步驟3,;
}
步驟3對(duì)殘留序列x(t)進(jìn)行辨識(shí),。
(1)遍歷殘留序列x(t),完成各局部平穩(wěn)子序列的劃分,;
for(i=0;i<n;i++)
{
sl=i-d[m];
//計(jì)算當(dāng)前子序列的序列長(zhǎng)度,,d[m]為第m段平穩(wěn)子序列的起點(diǎn)位置
if(sl>=min)
{
if((r^(1)==0)&&(r^(2)==0)&&…&&(r^(int(2/sl))==0))
{
標(biāo)識(shí)當(dāng)前子序列為完全隨機(jī)型序列;
}
else
{
if((abs(r^(1))>(2/sqrt(sl)))&&(abs(r^(2))>(2/sqrt(sl)))&&…&&(abs(r^(3))<(2/sqrt(sl)))&&…&&(abs(r^(int(2/n)))<(2/sqrt(sl))))
{
標(biāo)識(shí)當(dāng)前的第m段子序列為局部平穩(wěn)子序列,;
}
else//第i項(xiàng)數(shù)據(jù)為分割點(diǎn)
{
m++;//局部平穩(wěn)子序列的段數(shù)增1,;
d[m]=i;//保存第m段局部平穩(wěn)子序列的分割點(diǎn),;
(2)對(duì)平穩(wěn)序列的辨識(shí)參數(shù)向量進(jìn)行估計(jì):
for(i=0;i<m;i++)//m為(1)確定的局部平穩(wěn)子序列的段數(shù)
{
while(abs(φi_kk)>(2/sqrt(n)))
//取顯著性水平α=0.05,若|φi_kk|<2n成立,,則認(rèn)為k階自相關(guān)函數(shù)等于0,;
{
利用式(10)對(duì)第i段局部平穩(wěn)子序列的辨識(shí)參數(shù)向量[φi_1,φi_2,,…,,φi_k]T進(jìn)行遞推計(jì)算;
}
步驟4輸出趨勢(shì)成份,、周期成份及隨機(jī)成份的辨識(shí)參數(shù)向量,,算法結(jié)束。
3實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析
為了驗(yàn)證上述算法的合理性及有效性,,這里將分別對(duì)趨勢(shì)成份顯著,、周期成份顯著、殘留序列為分段局部平穩(wěn)的非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)的辨識(shí)實(shí)驗(yàn),。實(shí)驗(yàn)的硬件環(huán)境為惠普ProDesk 490 G2 MT商用臺(tái)式機(jī)(CPU:i5-45704×3.2 GHz;內(nèi)存:4 GB DDR3 1600),,軟件環(huán)境及開(kāi)發(fā)工具為Windows 8.1+Microsoft Visual C++2010。實(shí)驗(yàn)的主要目的是考察改進(jìn)算法與現(xiàn)有算法之間的辨識(shí)精度及計(jì)算效能,。
3.1實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)
不失一般性,,實(shí)驗(yàn)所用的非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)約定滿足如下假設(shè):(1)趨勢(shì)成份為二次多項(xiàng)式α0+α1t+α2t2,且α1α0和α1α2成立,即以直線趨勢(shì)成份為主,;(2)周期成份為一次諧波λ1sinωt,;(3)序列的樣本長(zhǎng)度n=200。
分別利用改進(jìn)算法和現(xiàn)有算法進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn):
實(shí)驗(yàn)1:趨勢(shì)成份顯著的非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)的辨識(shí),,所選的數(shù)據(jù)模型如式(11):
y(t)=3t+0.011t2+0.3sin0.785t-0.28y(t-1)(11)
實(shí)驗(yàn)2:周期成份顯著的非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)的辨識(shí),,所選的數(shù)據(jù)模型如式(12):
y(t)=0.4t+0.001t2+200sin0.785t-0.28y(t-1)(12)
實(shí)驗(yàn)3:殘留序列為分段局部平穩(wěn)的非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)的辨識(shí),所選的數(shù)據(jù)模型如式(13):
3.2實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論
為了能全面考察改進(jìn)算法與現(xiàn)有算法的辨識(shí)精度,,這里引入了均方標(biāo)準(zhǔn)誤差(Root Mean Squared Error,,RMSE)和平均絕對(duì)百分誤差(Mean Absolute Percentage Error,MAPE)共兩個(gè)性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),,具體定義如式(14)和式(15)所示,。
式(14)和式(15)中,y(t)為原始序列,,y^(t)為辨識(shí)序列,,n為序列的樣本長(zhǎng)度。
實(shí)驗(yàn)1~實(shí)驗(yàn)3的辨識(shí)結(jié)果如表1,、表2及圖2~圖4所示。其中,,表1為辨識(shí)序列的函數(shù)表達(dá)式,,表2為辨識(shí)性能的具體數(shù)值,,而圖2~圖4則是各次實(shí)驗(yàn)的辨識(shí)擬合曲線。
從表1的辨識(shí)函數(shù)表達(dá)式易知,,對(duì)于趨勢(shì)或周期成份顯著的非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)而言,,由于現(xiàn)有算法沒(méi)有按照一定的次序進(jìn)行分離,故不顯著的數(shù)據(jù)成份未能有效地被識(shí)別,,進(jìn)而導(dǎo)致了殘留隨機(jī)序列存在一定的偏差,。在表2中,根據(jù)辨識(shí)性能的具體數(shù)值可發(fā)現(xiàn),,改進(jìn)算法在增加了一定的計(jì)算耗時(shí)后其辨識(shí)精度有了顯著的提高,。從圖4的辨識(shí)擬合曲線則不難發(fā)現(xiàn),現(xiàn)有算法對(duì)分段局部平穩(wěn)序列的辨識(shí)效果較差,,究其原因是因?yàn)橛昧似椒€(wěn)隨機(jī)模型來(lái)對(duì)整體不平穩(wěn)的序列進(jìn)行辨識(shí),,故不僅存在較大的辨識(shí)誤差而且辨識(shí)序列的模型階數(shù)也出現(xiàn)了增加;而改進(jìn)算法雖然花費(fèi)了相當(dāng)?shù)挠?jì)算耗時(shí),,但能從根本上保證辨識(shí)精度,。綜上所述,本文提出的改進(jìn)算法對(duì)非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)具有良好的辨識(shí)性能,。
4結(jié)論
本文提出了一種非平穩(wěn)時(shí)序數(shù)據(jù)的辨識(shí)改進(jìn)算法,,由于對(duì)趨勢(shì)和周期成份的分離次序以及殘留序列的隨機(jī)類型識(shí)別等細(xì)節(jié)問(wèn)題均作了相應(yīng)的處理,故改進(jìn)算法的辨識(shí)性能有了明顯的提升,。下一步的主要工作是引入自相關(guān)函數(shù)的并行快速變換運(yùn)算,,同時(shí)研究更為有效的平穩(wěn)子序列劃分方法,以便進(jìn)一步提升改進(jìn)算法的計(jì)算效能,。
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