黨超，劉鋒,，曾連蓀

　?。ㄉ虾：Ｊ麓髮W(xué) 信息工程學(xué)院，上海 201306）

　　摘要：應(yīng)用信號對齊方法研究了多輸入多輸出雙向中繼3×2 X信道的自由度問題,，并分析了其天線配置條件,。然而,，對于更一般的多用戶X信道，隨著用戶數(shù)的增加,，應(yīng)用這一方案所需要的天線數(shù)也會迅速增加,，在實(shí)際應(yīng)用中難以實(shí)現(xiàn)。為緩解這一問題,，該文進(jìn)一步提出了基于時間擴(kuò)展的解決方案,。

　　關(guān)鍵詞：自由度；信號對齊,；時間擴(kuò)展

0引言

　　*基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（61271283）,；上海教委科研創(chuàng)新項(xiàng)目（14YZ113）自由度表征了通信信道的傳輸能力。最基本的2×2 X 信道的自由度上界被證明是4A/3［1］,，對于一般的M×N X 信道,，自由度上界是AMN/(M+N－1) ［2］，這里A表示每個終端的天線數(shù),。雙向通信模型很早被香農(nóng)所提出［3］,，并在無線中繼網(wǎng)絡(luò)中得到應(yīng)用。在三用戶MIMO Y 信道模型中應(yīng)用信號對齊的方案,，自由度可以在N≥3M/2時達(dá)到3M,，這里N和M分別代表中繼和終端的天線數(shù)［4］。本文將利用信號對齊結(jié)合網(wǎng)絡(luò)編碼的方案來分析應(yīng)用雙向中繼3×2 X 信道的自由度問題,，并進(jìn)一步研究了一般情況下的實(shí)現(xiàn)方案,。其中關(guān)于多值信號檢測［5］、迫零矢量的設(shè)計(jì)已有很多論文涉及［6］,，網(wǎng)絡(luò)編碼的方法也早已被提出［7］,，此處不做深入介紹，而只應(yīng)用其結(jié)論,。

1信道模型

　　如圖1所示,，在多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Output, MIMO）雙向中繼的3×2 X信道中，左側(cè)三個終端希望分別傳送一個消息給右側(cè)的兩個終端,，同樣右側(cè)的兩個終端也要分別傳送一個消息給左側(cè)的三個終端圖1雙向中繼 3×2 X 信道,，那么需要傳送的消息總數(shù)是12個。借助雙向中繼,，本文利用MIMO技術(shù)在同一時頻資源上傳輸全部12個消息,。假設(shè)左側(cè)終端的天線數(shù)為Ai，右側(cè)終端的天線數(shù)為Aj,，中繼的天線數(shù)為AR,。

　　模型說明：任意兩個終端無法直接通信，只能通過中繼實(shí)現(xiàn)信息交流,；所有的信道是準(zhǔn)靜態(tài)平坦的,；信道元素取自具有零均值和單位方差的獨(dú)立同分布的復(fù)高斯分布；所有的終端和中繼都工作在全雙工模式下,。

2信號對齊方案

　　整個方案的實(shí)現(xiàn)分為兩個過程：多址接入（Multiple Access, MAC）階段和廣播（Broadcast, BC）階段,。首先，在MAC階段各終端把信號發(fā)送給中繼,，在中繼處應(yīng)用信號對齊和網(wǎng)絡(luò)編碼的方法得到包含所有消息的網(wǎng)絡(luò)編碼消息,，然后中繼在BC階段把這些編碼后的消息發(fā)送給各個終端，最后各終端利用自己發(fā)出的消息來得到期望消息,。為了更方便地進(jìn)行分析,，這里首先把各終端和中繼的天線數(shù)設(shè)定為Ai=3，Aj=4,，AR=6,，下面就這兩個階段作具體分析。

　　2.1MAC階段

　　在MAC階段,，左側(cè)的三個終端Ti(i=1,2,3)分別沿波束成形矢量vj,i發(fā)送消息xj,i給右側(cè)的終端Tj(j=4,5),，同樣地，右側(cè)的終端也要沿波束成形矢量vi,j傳輸消息xi,j給左側(cè)終端,。則中繼接收到：

　　yr=∑3i=1Hr,ixr,i+∑5j=4Hr,jxr,j+nr（1）

　　其中,，Hr,i和Hr，j表示信道矩陣,，nr表示具有零均值和單位方差的加性高斯白噪聲,，同時有：

　　xr,i=∑5j=4vj,ixj,i(i=1,2,3)（2）

　　xr,j=∑3i=1vi,jxi,j(j=4,5)（3）

　　滿足功率約束條件E{tr［xr,ixHr,i］}≤Pi，E{tr［xr,jxHr,j］}≤Pj,。

　　實(shí)現(xiàn)信號對齊的目的是把對發(fā)的消息對齊,，形成一個包含兩個對發(fā)消息的疊加消息，從而降低中繼的維度要求,，比如xr(1,4)=x1,4+x4,1,。那么就要有：

　　span(Hr,1v4,1)=span(Hr,4v1,4)=span(ur(1,4))（4）

　　其中，span(A)表示由矩陣A的列向量張成的空間,，而span(A)=span(B)代表了A和B所張成的子空間是相等的,。要得到v1,4和v4,1，需要滿足下式：

　　這里ur(1,4)就是取自兩個信道矩陣的交叉空間的向量,。而要保證上式中右側(cè)的列向量存在,，就要保證左側(cè)的矩陣存在零空間，又因?yàn)樵摼仃囀?2×13的,，那么它至少具有一維的零空間,，即保證了ur(1,4)，v1,4和v4,1的存在,。那么式(1)變?yōu)椋?/p>

　　yr=urxr+nr（6）

　　其中,ur=［ur(1,4)ur(1,5)ur(2,4)ur(2,5)ur(3,4)ur(3,5)］,，xr=［xr(1,4)xr(1,5)xr(2,4)xr(2,5)xr(3,4)xr(3,5)］T,。正如前面xr(1,4)=x1,4+x4,1，xr(1,5)=x1,5+x5,1,，其他也是這樣,，那么共有6個疊加的消息，而中繼有6條天線,，所以有足夠的空間解得這6個疊加的消息,。然后應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)編碼的方法，將解得的疊加消息重新編碼為新的發(fā)送消息r=［r(1,4)r(1,5)r(2,4)r(2,5)r(3,4)r(3,5)］T,。下面只需把編碼后的消息發(fā)送給各終端,，然后終端利用自己的邊信息解得期望消息，即相當(dāng)于一個廣播信道模型,。

　　2.2BC階段

　　在BC階段要發(fā)送編碼后的消息,，需要考慮如何設(shè)計(jì)各個消息的波束成形矢量。為了盡可能地避免非期望消息帶來的干擾,，考慮如MAC階段的式(4),，設(shè)計(jì)信道對齊向量來對齊信道：

　　span(d1,4H1,r)=span(d4,1H4,r)=span(fr(1,4))(7)

　　由式(4)的推理過程，容易理解此式是成立的,，詳細(xì)過程不再贅述,。對齊所有的信道以后，可以得到：Fr=［fTr(1,4)fTr(1,5)fTr(2,4)fTr(2,5)fTr(3,4)fTr(3,5)］T,，然后定義r(i,j)=Fr/fr(i,j),，表示在Fr中去除fr(i,j)后的矩陣。因?yàn)閞(i,j)是一個5×6的矩陣,，存在零空間,，那么就可以得到其零向量pr(i,j)null(r(i,j))。然后以pr(i,j)作為疊加消息r(i,j)的波束成形矢量,，以Pr=［pr(1,4)pr(1,5)pr(2,4)pr(2,5)pr(3,4)pr(3,5)］作為消息向量的波束成形矩陣,。而信道對齊向量構(gòu)成的矩陣為終端處的過濾矩陣，以終端1為例,，它的過濾矩陣為D1=［dT1,4dT1,5］T,。那么由此可知終端1收到的信號可表示為y1=H1,rPrr+n1，由于使用了過濾矩陣,，則可將其轉(zhuǎn)化為：

　　這樣在終端1可以得到期望的疊加消息r(1,4)和r(1,5),，然后利用其自己的消息即可得到期望消息x1,4和x1,5。其他的終端也用類似方法得到其期望消息,。

3天線配置條件

　　假設(shè)任意兩個相互通信的終端,，每次通信的消息數(shù)為d，則有Ai≥2d，Aj≥3d,，那么由割集理論可知,，總的自由度：

　　dsum≤2min∑3i=1Ai,AR,∑5j=4Aj=2AR=12d

　　由此可知2AR=12d是一個上界，并且：

　　d14+d15+d24+d25+d34+d35=6d=AR

　　又由2.1節(jié)分析可知,，應(yīng)有：

　　di,j≤Ai+Aj－AR

　　所以可得：

　　AR≤67(Ai+Aj)（9）

　　由上面的分析可知,，各終端與中繼的天線數(shù)應(yīng)該滿足式（9）條件。

　　但是,，當(dāng)終端數(shù)量較多時，需要通信的消息數(shù)很多,，就要求中繼和終端的天線數(shù)急劇增加,，而這在實(shí)際應(yīng)用中并不容易實(shí)現(xiàn)，除非采用大規(guī)模MIMO技術(shù),?？紤]到空時轉(zhuǎn)換，下節(jié)介紹了基于時間擴(kuò)展的方案來緩解這一問題,。其基本思想是通過通信時隙的增加來降低對天線數(shù)的要求,，基本方法仍然是信號對齊的方法。此方案盡管降低了單位時隙的自由度,，但更容易實(shí)現(xiàn),。

4時間擴(kuò)展方案

　　圖2所示是一般的雙向中繼的M×N X 信道模型。左側(cè)M個終端都裝備有N條天線,，而中繼和右側(cè)的N個終端都有M條天線,，整個過程在N個時隙內(nèi)完成2MN個消息的傳輸?！?/p>

　　4.1MAC階段

　　以第一個時隙為例,，在第一個時隙，右側(cè)終端TM+1分別向左側(cè)M個終端各發(fā)送一個消息xi,M+1(i=1,2,…,M),，共M個消息,。而左側(cè)的M個終端Ti(i=1,2,…,M)分別發(fā)送它們的第一個消息xM+1,i給右側(cè)的終端TM+1。

　　其他時隙也類似,，那么在時隙t,，中繼收到的消息為：

　　中繼收到了2M個消息，要把它們對齊在M個維度中就要使得Hr,M+tvi,M+t=Hr,ivM+t,i成立,，又因?yàn)镠r,M+t和Hr,i分別是M×M和M×N的,，所以vi,M+t和vM+t,i是容易得到的。

　　4.2BC階段

　　如前面第2節(jié)所分析,，這里中繼再把2M個消息對齊到M個維度后,，得到網(wǎng)絡(luò)編碼后的消息，然后發(fā)送給各個終端,。

　　這里右側(cè)終端有M條天線,，與中繼的通信相當(dāng)于點(diǎn)對點(diǎn)的通信,，自然可以解得所有的消息。而對于左側(cè)的M個終端,，每個終端只有一個期望信號,，與中繼組成一個廣播信道，也可以得到其期望的疊加消息,。最后,，每個終端利用自己發(fā)出的消息即可得到期望消息。

　　所以在每一個時隙里面,，右側(cè)的一個終端解得了M個消息,，左側(cè)的M個終端都分別解得了一個消息，加起來也是M個消息,。那么在N個時隙里面,，整個網(wǎng)絡(luò)共實(shí)現(xiàn)了2MN個消息的通信。

5結(jié)論

　　針對雙向中繼3×2X信道,，詳細(xì)分析了信號對齊方案的實(shí)現(xiàn)過程,，并且得到了較高的自由度，同時也分析了該方案的限制條件,。結(jié)合實(shí)際應(yīng)用,，對于一般多用戶的X信道，本文提出了時間擴(kuò)展的方案,，通過增加時隙數(shù)來降低對天線數(shù)的需求,。如何在保證高自由度的同時，進(jìn)一步降低對終端天線數(shù)的要求將是下一步的研究重點(diǎn),。

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