楊義先,，鈕心忻
　　（北京郵電大學(xué) 信息安全中心,，北京 100876）　　

0引言
　　全人類,，數(shù)千年來，都在玩“石頭剪刀布”,，而且,，玩出了無盡幸福！
　　由浙江大學(xué),、浙江工商大學(xué),、中國(guó)科學(xué)院等單位組成的跨學(xué)科團(tuán)隊(duì)，在300多名志愿者的配合下,，歷時(shí)4年,，終于把“石頭剪刀布”玩成了“高大上”，其成果被評(píng)為“麻省理工學(xué)院科技評(píng)論2014年度最優(yōu)”，這也是我國(guó)社科成果首次入選該頂級(jí)國(guó)際科技評(píng)論,。
　　本文利用《安全通論》,，只需一張紙、一支筆,，就把“石頭剪刀布”玩成“白富美”,。所謂“白”，即思路清清楚楚,、明明白白,；所謂“富”，即理論內(nèi)涵非常豐富,；所謂“美”,，即結(jié)論絕對(duì)數(shù)學(xué)美。
1信道建模
　　設(shè)甲與乙玩“石頭剪刀布”,。他們可分別用隨機(jī)變量X和Y來表示：
　　當(dāng)甲出拳為剪刀,、石頭、布時(shí),，分別記為X=0,、X=1、X=2,；
　　當(dāng)乙出拳為剪刀,、石頭、布時(shí),，分別記為Y=0,、Y=1、Y=2,。
　　根據(jù)概率論中的“大數(shù)定律”,，頻率的極限趨于概率，所以甲乙雙方的出拳習(xí)慣,，可以用隨機(jī)變量X和Y的概率分布表示為：
　　Pr(X=0)=p,，即甲出“剪刀”的概率；
　　Pr(X=1)=q,，即甲出“石頭”的概率,；
　　Pr(X=2)=1-p-q，即甲出“布”的概率,。這里0<p,q,p+q<1,。
　　Pr(Y=0)=r，即乙出“剪刀”的概率,；
　　Pr(Y=1)=s,，即乙出“石頭”的概率,；
　　Pr(Y=2)=1-r-s，即乙出“布”的概率,。這里0<r,s,r+s<1,。
　　同樣，還可以統(tǒng)計(jì)出二維隨機(jī)變量（X,，Y）的聯(lián)合分布概率：
　　Pr(X=0,Y=0)=a,，即甲、乙均出“剪刀”的概率,；
　　Pr(X=0,Y=1)=b,，即甲出“剪刀”、乙出“石頭”的概率,；
　　Pr(X=0,Y=2)=1-a-b,，即甲出“剪刀”，乙出“布”的概率,。這里0<a,b,a+b<1,。
　　Pr(X=1,Y=0)=e，即甲出“石頭”,，乙出“剪刀”的概率,；
　　Pr(X=1,Y=1)=f，即甲,、乙均出“石頭”的概率,；
　　Pr(X=1,Y=2)=1-e-f，即甲出“石頭”,，乙出“布”的概率。這里0<e,f,e+f<1,。
　　Pr(X=2,Y=0)=g,，即甲出“布”，乙出“剪刀”的概率,；
　　Pr(X=2,Y=1)=h,，即甲出“布”，乙出“石頭”的概率,；
　　Pr(X=2,Y=2)=1-g-h,，即甲、乙均出“布”的概率,。這里0<g,h,g+h<1,。
　　由隨機(jī)變量X和Y，構(gòu)造另一個(gè)隨機(jī)變量Z=［2(1+X+Y)］mod3,。由于任意兩個(gè)隨機(jī)變量都可構(gòu)成一個(gè)通信信道,，所以,，以X為輸入，以Z為輸出,，可以得到一個(gè)通信信道（X,；Z），稱為“甲方信道”,。
　　如果在某次游戲中甲方贏,，那么，就只可能有三種情況：
　　情況1：“甲出剪刀,，乙出布”,，即，“X=0,，Y=2”,，這也等價(jià)于“X=0，Z=0”,，即“甲方信道”的輸入等于輸出,；
　　情況2：“甲出石頭，乙出剪刀”,，即,，“X=1，Y=0”,，這也等價(jià)于“X=1,，Z=1”，即“甲方信道”的輸入等于輸出,；
　　情況3：“甲出布,，乙出石頭”，即,，“X=2,，Y=1”，這也等價(jià)于“X=2,，Z=2”,，即“甲方信道”的輸入等于輸出。
　　反過來,，如果“甲方信道”將1比特信息成功地從發(fā)端送到了收端,，那么，也只有三種可能的情況：
　　情況1:輸入和輸出都等于0,，即,，“X=0，Z=0”,，這也等價(jià)于“X=0,，Y=2”,，即，“甲出剪刀,，乙出布”,，即，甲贏,；
　　情況2:輸入和輸出都等于1,，即，“X=1,，Z=1”,，這也等價(jià)于“X=1，Y=0”,，即,，“甲出石頭，乙出剪刀”,，即,，甲贏；
　　情況3:輸入和輸出都等于2,，即,，“X=2，Z=2”,，這也等價(jià)于“X=2,，Y=1”，即,，“甲出布,，乙出石頭”，即,，甲贏,。
　　綜合以上正反兩方面，共6種情況,，可得到一個(gè)重要引理：
　　引理1：甲贏一次，就意味著“甲方信道”成功地把1比特信息從發(fā)端送到了收端,；反之亦然,。
　　再利用隨機(jī)變量Y和Z構(gòu)造一個(gè)信道（Y；Z）,，稱之為“乙方信道”,，它以Y為輸入，以Z為輸出,。那么,，仿照前面的論述,，可得如下引理：
　　引理2：乙方贏一次，就意味著“乙方信道”成功地把1比特信息,，從發(fā)端送到了收端,；反之亦然。
　　由此可見,，甲乙雙方玩“石頭剪刀布”的輸贏問題,，就轉(zhuǎn)化成了“甲方信道”和“乙方信道”能否成功地傳輸信息比特的問題。根據(jù)仙農(nóng)第二定理［3］可知：信道容量就等于該信道能夠成功傳輸?shù)男畔⒈忍財(cái)?shù),。所以,，“石頭剪刀布”的游戲問題就轉(zhuǎn)化成了信道容量問題。更準(zhǔn)確地說,，本文有如下定理：
　　定理1（“石頭剪刀布”定理）：如果剔除“平局”不考慮（即忽略甲乙雙方都出相同手勢(shì)的情況）,，那么，
　?。?）針對(duì)甲方來說,，對(duì)任意k/n≤C，都一定有某種技巧（對(duì)應(yīng)于仙農(nóng)編碼）使得在nC次游戲中,，甲方能夠勝乙方k次,；如果在某m次游戲中，甲方已經(jīng)勝出乙方u次,，那么,，一定有u≤mC。這里C是“甲方信道”的容量,。
　?。?）針對(duì)乙方來說，對(duì)任意k/n≤D,，都一定有某種技巧（對(duì)應(yīng)于仙農(nóng)編碼）使得在nD次游戲中,，乙方能夠勝甲方k次；如果在某m次游戲中,，乙方已經(jīng)勝出甲方u次,，那么，一定有u≤mD,。這里D是“乙方信道”的容量,。
　　（3）如果C<D,，那么,，整體上甲方會(huì)輸；如果C>D,，那么,，整體上甲方會(huì)贏,；如果C=D，那么,，甲乙雙方勢(shì)均力敵,。
　　由于“甲方信道”和“乙方信道”的信道容量都有現(xiàn)成的計(jì)算公式，這里略去C和D的計(jì)算細(xì)節(jié)（有特殊興趣的讀者,，可閱讀原文網(wǎng)址附件中的Word版本）,。
2巧勝策略
　　由定理1可知，甲乙雙方在“石頭剪刀布”游戲中的勝負(fù),，其實(shí)事先就已經(jīng)“天定”了,，某方若想爭(zhēng)取更大的勝利，那他就必須努力“改變命運(yùn)”,。下面分幾種情況來考慮：
　?。?）兩個(gè)傻瓜之間的游戲
　　所謂“兩個(gè)傻瓜”，意指甲乙雙方都固守自己的習(xí)慣,，無論過去的輸贏情況怎樣,，他們都按既定習(xí)慣“出牌”。這時(shí),，由定理1已經(jīng)知道：如果C<D,，則整體上甲方會(huì)輸；如果C>D,，則整體上甲方會(huì)贏,；如果C=D，則甲乙雙方勢(shì)均力敵,。
　?。?）一個(gè)傻瓜與一個(gè)智者之間的游戲
　　如果甲是傻瓜，他仍然堅(jiān)持其固有的習(xí)慣“出牌”,，那么,，雙方對(duì)抗足夠多的次數(shù)后，乙方就可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)于甲方的,，隨機(jī)變量X的分布概率p和q,，以及相關(guān)的條件概率分布，并最終計(jì)算出“甲方信道”的信道容量,，然后,，再通過調(diào)整自己的習(xí)慣（即隨機(jī)變量Y的概率分布和相應(yīng)的條件概率分布等），最終增大自己的“乙方信道”的信道容量,，從而使得后續(xù)的游戲?qū)ψ约焊欣簧踔潦埂耙曳叫诺馈钡男诺廊萘看笥凇凹追叫诺馈钡男诺廊萘?，最終使得自己穩(wěn)操勝券,。
　?。?）兩個(gè)智者之間的游戲
　　如果甲乙雙方都隨時(shí)在總結(jié)對(duì)方的習(xí)慣，并對(duì)自己的“出牌”習(xí)慣做調(diào)整,，即增大自己的信道容量,。那么，最終甲乙雙方的“信道容量”值將趨于相等,，即他們之間的游戲競(jìng)爭(zhēng)將趨于平衡,，達(dá)到動(dòng)態(tài)穩(wěn)定的狀態(tài)。
3簡(jiǎn)化版本
　　雖然上面幾節(jié)完美地解決了“石頭剪刀布”游戲問題,，但是,，它們?cè)诒３帧爸庇^形象”的優(yōu)勢(shì)下，付出了“復(fù)雜”的代價(jià),。下面,，給出一個(gè)更抽象、更簡(jiǎn)捷的解決辦法,。
　　設(shè)甲與乙玩“石頭剪刀布”,，他們可分別用隨機(jī)變量X和Y來表示：
　　當(dāng)甲出拳為剪刀、石頭,、布時(shí),，分別記為X=0、X=1,、X=2,；
　　當(dāng)乙出拳為剪刀、石頭,、布時(shí),，分別記為Y=0、Y=1,、Y=2,。
　　根據(jù)概率論中的“大數(shù)定律”，頻率的極限趨于概率,，所以甲乙雙方的出拳習(xí)慣可以用隨機(jī)變量X和Y的概率分布表示為：
　　0<Pr(X=x)=px<1,，x=0,1,2，p0+p1+p2=1,；
　　0<Pr(Y=y)=qy<1,，y=0,1,2，q0+q1+q2=1,；
　　0<Pr(X=x,Y=y)=txy<1,，x,y=0,1,2，
　　∑0≤x,y≤2txy=1；
　　px=∑0≤y≤2txy,，x=0,1,2,；
　　qy=∑0≤x≤2txy，y=0,1,2,。
　　“石頭剪刀布”游戲的輸贏規(guī)則是：若X=x,，Y=y，那么,，甲（X）贏的充分必要條件是：(y-x)mod3=2,。
　　現(xiàn)在構(gòu)造另一個(gè)隨機(jī)變量F=(Y-2)mod3?？紤]由X和F構(gòu)成的信道（X,；F），即,，以X為輸入,，以F為輸出的信道。那么,，就有如下事件等式：
　　若在某個(gè)回合中,，甲（X）贏了，那么就有(Y-X)mod3=2,，從而,，F(xiàn)=(Y-2)mod3=［(2+X)-X］mod3=X，也就是說：信道（X,；F）的輸入（X）始終等于它的輸出（F）,。換句話說，1個(gè)比特就被成功地在該信道中從發(fā)端傳輸?shù)搅耸斩恕?br/>　　反過來,，如果“1個(gè)比特被成功地在該信道中從發(fā)端傳輸?shù)搅耸斩恕?，那么就意味著“信道（X；F）的輸入（X）始終等于它的輸出（F）”,，也就是說：F=(Y-2)mod3=X,，這剛好就是X贏的充分必要條件。
　　結(jié)合上述正反兩個(gè)方面的論述,，有：甲（X）贏一次,，就意味著信道（X；F）成功地把1比特信息從發(fā)端送到了收端,；反之亦然,。因此，信道（X,；F）也可以扮演第2節(jié)中“甲方信道”的功能,。
　　類似地,，若記隨機(jī)變量G=(X-2)mod3，那么,，信道（Y,；G）就可以扮演前面“乙方信道”的角色。
　　而信道（X,；F）和（Y；G）的信道容量的形式會(huì)更簡(jiǎn)捷,，它們分別是：
　?。╔；F）的信道容量=MaxX［I(X,F)］=MaxX［I(X,(Y-2)mod3)］=MaxX［I(X,Y)］=MaxX［∑txylog(txy/(pxqy))］,，這里的最大值是針對(duì)所有可能的txy和px而取的,，所以，它實(shí)際上是q0,，q1,，q2的函數(shù)。
　　同理,，（Y,；G）的信道容量=MaxY［I(Y,G)］=MaxY［I(Y,(X-2)mod3)］=MaxY［I(X,Y)］=MaxY［∑txylog(txy/(pxqy))］，這里的最大值是針對(duì)所有可能的txy和qy而取的,，所以,，它實(shí)際上是p0，p1,，p2的函數(shù),。
　　其他討論與前面幾節(jié)相同，不再重復(fù),。
4結(jié)束語(yǔ)
　　“攻防”是安全的核心,，所以，在建立“安全通論”的過程中,，多花一些精力去深入研究“攻防”也是值得的,。
　　在參考文獻(xiàn)［2］中，研究了“安全通論”的盲對(duì)抗問題,，本文研究的“石頭剪刀布”游戲則是一種“非盲對(duì)抗”,，但由于它的普及率極高（幾千年來，全世界每個(gè)人在童年時(shí)代幾乎都玩過）,，所以,，我們單獨(dú)以一篇論文的形式來研究它。有關(guān)其他一些有代表性的“非盲對(duì)抗”,，將在后續(xù)文章中研究,。
　　當(dāng)然,，換一個(gè)角度來看，也可以說,，我們的“安全通論”雖然剛剛誕生,，但它已大顯身手，成功地掃清了古老“石頭剪刀布”游戲中的若干迷霧,。所以,，“安全通論”確定大有前途。
　　參考文獻(xiàn)
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　　［3］ COVER T M,， THOMAS J A著.信息論基礎(chǔ)［M］,，阮吉壽，張華,，譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社,，2007.
　　［4］ Lin Shu,， COSTELLO JR D J著.差錯(cuò)控制碼［M］.晏堅(jiān),，何元智，潘亞漢,，等,，譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2007.