張兢,李冠迪,，史文進(jìn),，曾建梅
（重慶理工大學(xué) 電子信息與自動(dòng)化學(xué)院,，重慶 400054）
摘要：分析了小波去噪的特點(diǎn),，針對(duì)軟,、硬閾值的缺陷，構(gòu)造出一種新的閾值函數(shù)及閾值估計(jì)方法,。新閾值函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)并且新閾值估計(jì)方法具有優(yōu)良的自適應(yīng)性,。仿真實(shí)驗(yàn)表明，該方法可以有效去除白噪聲干擾,，信噪比更高,，均方根誤差更小，且重構(gòu)信號(hào)的近似性好,。
關(guān)鍵詞：小波閾值去噪,；閾值函數(shù)；閾值估計(jì),；信噪比,；均方根誤差
0引言
在信號(hào)的采集、傳輸過(guò)程中,，不可避免地會(huì)受到各種噪聲干擾,，對(duì)信號(hào)去噪處理已成為人們關(guān)注和研究的熱點(diǎn)。小波變換具有多分辨率分析的特點(diǎn),，在時(shí)域和頻域都有表征信號(hào)局部信息的能力［1］,，時(shí)間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號(hào)的具體形態(tài)動(dòng)態(tài)調(diào)整，能有效區(qū)分非平穩(wěn)信號(hào)中的突變部分和噪聲［2］,，可在提高信噪比的同時(shí)保持對(duì)突變信息的良好分辨能力,。
小波去噪方法有：模極大值法、小波閾值去噪法以及相關(guān)去噪法,。其中，運(yùn)用最為廣泛的是DONOHO D L在1995年提出的小波閾值去噪的算法［3-4］,，該方法處理含噪信號(hào)時(shí)采用軟閾值函數(shù)與硬閾值函數(shù),。但傳統(tǒng)軟閾值函數(shù)存在恒定偏差缺陷，以及硬閾值函數(shù)有振蕩現(xiàn)象的缺陷［5］,。本文深入分析小波軟硬閾值的優(yōu)缺點(diǎn),，綜合其他學(xué)者提出的閾值函數(shù)，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造出一種新的閾值估計(jì)與閾值函數(shù),。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)分析,，新閾值函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，既解決了軟閾值函數(shù)存在恒定偏差的問(wèn)題,，又解決了硬閾值函數(shù)存在振蕩現(xiàn)象的問(wèn)題,，具有較好的實(shí)用性。
1小波閾值去噪基本原理
1.1小波變換
假設(shè)含噪信號(hào)的觀測(cè)值為f(t),，則:
其中,s(t)為信號(hào)在時(shí)刻t的真實(shí)值,，n(t)為高斯白噪聲，σ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差。小波變換的目的是抑制n(t)以恢復(fù)s(t),。對(duì)于一維信號(hào)f(t)而言,，首先要對(duì)它進(jìn)行離散采樣，得到N點(diǎn)離散信號(hào)f(n),n=1,2,…,N-1,，其小波變換為：
ωf(j,k)為小波系數(shù)記為ωj,k,。由于小波變換屬于線性變換，因此對(duì)含噪信號(hào)f（t）=s(t)+σn(t)作離散變換后,，得到的小波系數(shù)j,k仍舊是由真實(shí)信號(hào)s(t)對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)和噪聲信號(hào)n(t)所對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)兩部分組成,。
1.2小波閾值去噪
從數(shù)學(xué)角度分析，小波閾值去噪本質(zhì)上是函數(shù)逼近問(wèn)題,；從信號(hào)處理角度分析,，則為信號(hào)濾波問(wèn)題［6］。在實(shí)際信號(hào)中,，噪聲通常分布在高頻信號(hào)中,，而純凈信號(hào)通常分布在低頻信號(hào)中，則可通過(guò)設(shè)置閾值方法將噪聲信號(hào)分離出去［7］,。小波閾值去噪法的流程圖如圖1所示,。
其中,，f(x)為含噪信號(hào),，f^(x)為重構(gòu)信號(hào)。由以上流程圖可得閾值函數(shù)和閾值的選取直接影響到最終的去噪效果,，閾值選取過(guò)小,，則會(huì)消噪不足，致使信號(hào)的弱特征成份被噪聲淹沒(méi),；反之,，則會(huì)導(dǎo)致“過(guò)扼殺”的現(xiàn)象。
設(shè)ωj,k為原始小波系數(shù),，ω^j,k為閾值處理后的小波系數(shù),，λ=σ2log(N)為統(tǒng)一閾值，則λ>0,，傳統(tǒng)閾值去噪有：
?。?）硬閾值（Hard Thresholding）
（2）軟閾值（Soft Thresholding）
為了對(duì)比軟閾值與硬閾值的處理效果,，設(shè)一原始信號(hào)為：
分別對(duì)其進(jìn)行軟閾值和硬閾值去噪,，仿真結(jié)果如圖2所示。
由圖2可知,，硬閾值函數(shù)在ωj,k=±λ處不連續(xù),，去噪時(shí)造成較大方差,，重構(gòu)信號(hào)出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象。軟閾值函數(shù)的小波系數(shù)連續(xù)性雖好,，但當(dāng)ωj,k>λ或ωj,k<－λ時(shí),，軟閾值對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行壓縮時(shí)存在恒定的偏差，并且軟硬閾值函數(shù)不具有高階可導(dǎo)性,，不易實(shí)現(xiàn)數(shù)字處理,。因此，尋找一種既可以克服軟硬閾值缺陷,，又高階可導(dǎo)的新閾值函數(shù)至關(guān)重要,。
2新閾值函數(shù)與閾值估計(jì)
2.1閾值函數(shù)的選取
針對(duì)上述軟閾值與硬閾值的不足，學(xué)者們提出了許多改進(jìn)閾值函數(shù),，較經(jīng)典的如參考文獻(xiàn)［8］提出的一種自適應(yīng)的閾值函數(shù)：
上述的閾值函數(shù)具有很好的自適應(yīng)性,，但是卻存在振蕩和偽吉布斯效應(yīng)，在閾值處并不光滑,。為了克服這些弱點(diǎn)本文在此基礎(chǔ)之上構(gòu)造了一種新的閾值函數(shù)：
其中,α為調(diào)節(jié)參數(shù),，由式（7）可以看出，當(dāng)α→0時(shí)為軟閾值函數(shù),，當(dāng)α→∞時(shí)為硬閾值函數(shù),。由此可見(jiàn)，構(gòu)造的新閾值函數(shù)同時(shí)具有軟閾值函數(shù)與硬閾值函數(shù)特點(diǎn),，靈活性較好,。因此根據(jù)不同的去噪目的去調(diào)節(jié)α值，可得到較好的去噪效果,。并且當(dāng)ωj,k→±λ時(shí),，j,k→0,j,k在ωj,k=±λ處是連續(xù)的，即與硬閾值函數(shù)相比,，重構(gòu)信號(hào)不會(huì)產(chǎn)生震蕩,。
構(gòu)造的新閾值函數(shù)不但具有連續(xù)性，并且當(dāng)ωj,k>λ或ωj,k<-λ時(shí)具有高階可導(dǎo)性,，新閾值函數(shù)對(duì)各種數(shù)字信號(hào)處理都很方便，證明如下：
由式（8）~（12）可知,，f（x）以y=x作為漸近線,，同理可得本文采用的改進(jìn)的閾值函數(shù)以j,k=ωj,k為漸近線，并且ωj,k值越大,，小波系數(shù)估計(jì)值j,k越接近ωj,k,進(jìn)而克服硬閾值的小波系數(shù)不連續(xù),以及軟閾值函數(shù)的j,k與ωj,k存在恒定偏差的缺陷,。
2.2改進(jìn)閾值估計(jì)
在小波閾值去噪中不僅閾值函數(shù)是影響去噪效果的關(guān)鍵因素，閾值估計(jì)也至關(guān)重要,。目前,，人們通常采用統(tǒng)一閾值,，但是此閾值與信號(hào)長(zhǎng)度N相關(guān)，信號(hào)長(zhǎng)度N越大,，小波系數(shù)被置0的數(shù)目越多,，導(dǎo)致“過(guò)扼殺”現(xiàn)象［9］；反之則會(huì)導(dǎo)致消噪不足的現(xiàn)象,。為了避免上述現(xiàn)象發(fā)生,，在統(tǒng)一閾值的基礎(chǔ)上引入了一個(gè)適中的收縮因子，新閾值估計(jì)的數(shù)學(xué)公式為：
式中,，σ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差,，Nj為各層高頻系數(shù)的長(zhǎng)度，L為分解層數(shù),。由式（13）可得：隨著分解層數(shù)L的不同,，閾值估計(jì)的大小隨之自動(dòng)調(diào)節(jié)，因此具有較強(qiáng)的自適應(yīng)性,。
3仿真實(shí)驗(yàn)及分析
3.1去噪效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)
采用信噪比SNR和均方根誤差RMSE對(duì)去噪效果進(jìn)行比較評(píng)價(jià),，信噪比表示的是信號(hào)中含有噪聲的多少，其值越大,，信號(hào)中噪聲含量越少,；均方根誤差表示測(cè)量樣本的可靠性，其值越小,，測(cè)量的可靠性越高,。表達(dá)式如式（14）和式（15）所示。
其中,，f(i)為原始不含噪信號(hào),，f^(i)為去噪后的信號(hào)，N為信號(hào)長(zhǎng)度,。
3.2實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析
為了驗(yàn)證新閾值函數(shù)的有效性,，用MATLAB2010對(duì)其進(jìn)行仿真，將一段含有噪聲的Leleccum信號(hào)分別采用硬閾值,、軟閾值,、參考文獻(xiàn)［8］提出的閾值函數(shù)及本文構(gòu)造的新閾值函數(shù)進(jìn)行去噪實(shí)驗(yàn)。經(jīng)多次試驗(yàn)可得,，選取sym4小波分解5層,，且調(diào)節(jié)參數(shù)α取值為5×10-5時(shí)得到的效果最好。所以本實(shí)驗(yàn)選取sym4小波及5層小波分解進(jìn)行實(shí)驗(yàn),。實(shí)驗(yàn)中含噪Leleccum信號(hào)的信噪比為26.199 6 dB,，調(diào)節(jié)參數(shù)α=5×10-5，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),，測(cè)試結(jié)果如圖3所示,。
從圖3可以看出,，本文提出的改進(jìn)閾值函數(shù)小波重構(gòu)得到的信噪比硬閾值函數(shù)以及參考文獻(xiàn)［8］提出方法重構(gòu)信號(hào)更平滑，比軟閾值函數(shù)重構(gòu)信號(hào)保留的有用信號(hào)更多,，因而能更好地還原原始信號(hào)所包含的信息,。
表1給出了4種閾值函數(shù)去噪后的信噪比和均方誤差,。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)可以看出,，本文提出的閾值方法相比軟、硬閾值方法以及參考文獻(xiàn)［8］方法,，在信噪比和均方根誤差兩個(gè)性能指標(biāo)上均有明顯的提高,，說(shuō)明改進(jìn)后的方法可靠性更強(qiáng)，去噪效果更好,。
4結(jié)論
本文構(gòu)造出了新閾值函數(shù)和閾值估計(jì)方法,，新閾值函數(shù)具有軟硬閾值優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)具有連續(xù)可導(dǎo)性,，并且通過(guò)自適應(yīng)調(diào)整參數(shù)α消除了軟閾值函數(shù)的恒定偏差,、硬閾值函數(shù)不連續(xù)以及引用參考文獻(xiàn)提出的閾值函數(shù)光滑性差的缺點(diǎn)。改進(jìn)的閾值估計(jì)隨分解尺度的變化自適應(yīng)調(diào)節(jié)閾值的大小,，避免了“過(guò)扼殺”現(xiàn)象的產(chǎn)生,。仿真結(jié)果表明，新閾值去噪方法重構(gòu)得到的信號(hào)質(zhì)量明顯優(yōu)于軟閾值方法,、硬閾值方法以及參考文獻(xiàn)［8］提出的方法,，在去除噪聲的同時(shí)很好地保留了有用信號(hào)，證明了算法的有效性與實(shí)用性,。
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