0 引言

　　實(shí)際的工程測量測試中，工程信號(hào)在采集和傳輸過程中,，總會(huì)因外界的干擾引入噪聲,，為了準(zhǔn)確地獲得有用信號(hào),，降噪是信號(hào)分析前必須經(jīng)過的預(yù)處理環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)降噪方法的不足在于使信號(hào)變換后的熵增高,，無法刻畫信號(hào)的非平穩(wěn)特性并且無法得到信號(hào)的相關(guān)性[1],。而小波變換在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)，并且小波變換具有眾多優(yōu)良的特性,，如多分辨率特性,、低熵性,、去相關(guān)性和選基靈活性等,。這些特性很好地克服了傳統(tǒng)方法的不足，使得小波變換適用于信號(hào)的降噪處理,。因此利用小波變換進(jìn)行降噪,，已經(jīng)成為近幾年研究的熱點(diǎn)。

　　運(yùn)用小波變換處理噪聲的方法主要分為3類：MATLAB提出的模極大值處理算法[2],；XU提出的空域相關(guān)降噪算法[3],；DONOHO提出的閾值降噪算法[4]。其中,，以閾值降噪算法最為常用,。閾值降噪算法中，通過對(duì)分解后的小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理以達(dá)到降噪的目的,。最常用的閾值函數(shù)是由DONOHO在1995年提出的硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù),，但這兩種函數(shù)也存在不足之處。采用硬閾值函數(shù)時(shí),，由于硬閾值函數(shù)的不連續(xù),，導(dǎo)致重構(gòu)信號(hào)可能出現(xiàn)局部震蕩；采用軟閾值函數(shù)時(shí),，與真實(shí)小波系數(shù)之間存在恒定的偏差,，導(dǎo)致重構(gòu)后信號(hào)的精度下降[5]。針對(duì)軟,、硬閾值函數(shù)存在的缺點(diǎn)和不足,，本文提出一種新的閾值函數(shù)。新閾值函數(shù)既保證了閾值函數(shù)的連續(xù)性,，又能避免軟閾值固定偏差的缺點(diǎn),。并通過MATLAB仿真分析驗(yàn)證了改進(jìn)的小波閾值降噪算法優(yōu)于傳統(tǒng)閾值算法。

1 小波閾值降噪原理

　　假設(shè)一維離散含噪信號(hào)由式(1)表示：

　　其中,，X(k)是含噪信號(hào),；S(k)是原始標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)；E(k)是疊加的高斯白噪聲,，其服從N(0,，σ2)分布。

　　小波變換后，有用信號(hào)的能量集中于幅值較大的小波系數(shù),，而噪聲能量則分布在整個(gè)小波域中[6],。因此，較大的小波系數(shù)是由有用信號(hào)引起的,，較小的小波系數(shù)則代表噪聲,。基于小波系數(shù)的特征,，DONOHO和JOHNSTONE[7]提出了閾值降噪算法,。首先確定一個(gè)閾值，即選擇一個(gè)合適的數(shù),，當(dāng)小波分解系數(shù)小于閾值時(shí),，認(rèn)為這部分系數(shù)主要是由噪聲引起的，予以舍棄,；當(dāng)系數(shù)大于閾值時(shí),，認(rèn)為這是由信號(hào)引起的小波分解系數(shù)，就把這一部分進(jìn)行閾值處理,，然后用閾值處理后的量化系數(shù)進(jìn)行重構(gòu),，即為降噪后的信號(hào)。小波閾值降噪的基本步驟如圖1所示,。

2 改進(jìn)閾值算法

　　閾值的確定直接影響著小波閾值降噪的效果,。如果閾值取得太小，噪聲依然存在,；如果閾值取得太大,，那么有用信號(hào)的重要信息也可能被濾除。最常選用的通用閾值可用式(2)表示：

　　其中,，N為信號(hào)的長度,，σ為噪聲的均方差估計(jì)值，由式(3)給出：

　　因?yàn)橥ㄓ瞄撝涤羞^扼殺有用信號(hào)的風(fēng)險(xiǎn),，文獻(xiàn)[6]提出一種基于層間相關(guān)性的閾值選取方法,。本文在此基礎(chǔ)上結(jié)合分層閾值的思想對(duì)該閾值算法進(jìn)行改進(jìn)，如式(4)所示：

　　其中,，r為常數(shù),，Tj，n為小波分解第j層位置n處的閾值,，λj為第j層的閾值,，其表達(dá)式如式(5)所示：

　　式中，Wj,，k為第j層上的小波系數(shù),，j為分解層數(shù),。

　　K(n)為定義的一個(gè)參數(shù)，用來表征小波系數(shù)的層間相關(guān)性,，其定義如式(6)所示：

　　式中,，W(:，n)表示點(diǎn)n處的所有小波系數(shù),。

　　當(dāng)K(n)∈[0,，r)，點(diǎn)n處的小波系數(shù)相關(guān)性較強(qiáng),，點(diǎn)n處可能是一個(gè)信號(hào)點(diǎn),；當(dāng)K(n)∈[r，+∞),，點(diǎn)n處的相關(guān)性較差,，該點(diǎn)可能是由噪聲引起的。由式(4)可知,，新閾值方法通過比較小波系數(shù)層間相關(guān)性，對(duì)不同點(diǎn)n的閾值進(jìn)行修正,。當(dāng)K(n)∈[0,，0.5r)時(shí)，小波系數(shù)間的相關(guān)性很大,，該點(diǎn)非常有可能是純信號(hào)點(diǎn),，對(duì)閾值進(jìn)行收縮，取為0.7λj,；當(dāng)K(n)∈[0.5r,，0.8r)時(shí)，小波系數(shù)的相關(guān)性比較大,，該點(diǎn)有可能是信號(hào)點(diǎn),，該點(diǎn)的閾值取為0.8λj；當(dāng)K(n)∈[0.8r,，r)時(shí),，相關(guān)性較大，該點(diǎn)依舊可能是信號(hào)點(diǎn),，減小閾值收縮程度,，取為0.9λj；當(dāng)K(n)∈[r,，+∞)時(shí),，認(rèn)為小波系數(shù)的相關(guān)性較小，該點(diǎn)幾乎不可能是純信號(hào)點(diǎn),，將閾值取為λj,。

　　K(n)在計(jì)算時(shí),，要求不同層上的小波分解系數(shù)的數(shù)目一致，因此需要采用平穩(wěn)小波變換(SWT),。r是測量小波系數(shù)相關(guān)性的一個(gè)重要參數(shù),，取值太小，可能會(huì)過扼殺有用信號(hào),，取值過大,，可能會(huì)保留較多的噪聲信息。通過相關(guān)實(shí)驗(yàn),，r取為0.5~1.5之間時(shí),，降噪效果比較好。本文中,，r取為1,。

3 構(gòu)造新閾值函數(shù)

　　傳統(tǒng)的閾值函數(shù)是由DONOHO提出的軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)，軟閾值函數(shù)定義如式(7)所示,，硬閾值函數(shù)定義如式(8)所示,。

　　硬閾值函數(shù)在小波域內(nèi)存在間斷點(diǎn)，在重構(gòu)信號(hào)時(shí)會(huì)出現(xiàn)局部震蕩現(xiàn)象,；軟閾值函數(shù)雖然在小波域內(nèi)連續(xù),，但是閾值處理后的小波系數(shù)與真實(shí)小波系數(shù)存在恒定偏差，會(huì)造成信號(hào)高頻有用信息的丟失,。

　　本文結(jié)合文獻(xiàn)[8]與文獻(xiàn)[9]中的方法,，構(gòu)造了一個(gè)新的閾值函數(shù)，如式(9)所示：

　　其中,，且α為正數(shù),，β為正數(shù)。

　　由式(9)可知,，當(dāng)|Wj,，k|→±λ時(shí)，,，即新閾值函數(shù)在Wj,，k=±λ處是連續(xù)的，克服了硬閾值函數(shù)不連續(xù)的缺陷,，重構(gòu)信號(hào)不會(huì)有震蕩產(chǎn)生,；當(dāng)Wj，k→±∞時(shí),，,，即當(dāng)小波系數(shù)足夠大時(shí)，新閾值函數(shù)等同于硬閾值函數(shù),，從而克服了軟閾值函數(shù)之間具有恒定偏的問題,；同時(shí)新閾值函數(shù)具有高階可導(dǎo)性,。從表達(dá)式中可以看出，當(dāng)α→0且β→0時(shí),，新閾值函數(shù)即為軟閾值函數(shù),；當(dāng)α→+∞時(shí)，u→1,，新閾值函數(shù)即為硬閾值函數(shù),；適當(dāng)選取α和β的值，新閾值函數(shù)可以在硬閾值函數(shù)與軟閾值函數(shù)之間進(jìn)行調(diào)整,，靈活性更強(qiáng),。硬、軟閾值函數(shù)的圖形如圖2(a),、圖2(b)所示,，選取不同的α和β的新閾值函數(shù)如圖2(c)、圖2(d)所示,。

4 仿真分析

　　為了驗(yàn)證本文降噪算法的有效性,，用MATLAB對(duì)其進(jìn)行仿真試驗(yàn)。選用Matlab自帶的Heavy sine 信號(hào),，對(duì)其加入一定的高斯白噪聲,，并用軟閾值降噪算法、硬閾值降噪算法,、本文新閾值降噪算法分別對(duì)其做降噪處理，其結(jié)果如圖3所示,。其中,，選用sym4小波基，分解層數(shù)選為3層,，新閾值函數(shù)中將α取為0.1,，β取為7。

　　從視覺上,，降噪效果很難評(píng)價(jià),，為了量化地評(píng)價(jià)降噪性能，采用信噪比和均方根誤差[10]作為評(píng)價(jià)指標(biāo),。信噪比指原始信號(hào)能量與噪聲能量的比值,，記為SNR，其值越大,，信號(hào)中噪聲含量越少,，降噪效果越好；均方根誤差指重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)的均方誤差,，記為RMSE,，均方根誤差體現(xiàn)了原始信號(hào)和降噪之后的信號(hào)間的差異,，均方根誤差越小，表示重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)的差異越小,，即降噪效果越好,。其表達(dá)式分別如式(10)和式(11)所示。

　　式中,，x(i)為原始無噪聲信號(hào),；為降噪后的信號(hào)。

　　各種降噪方法的性能指標(biāo)如表1所示,。從表中可以看出,，改進(jìn)的閾值降噪算法相比于其他算法，降噪后信噪比最大,，均方根誤差最小,，所以改進(jìn)的閾值降噪算法優(yōu)于其他算法。

5 總結(jié)

　　本文分析了小波閾值降噪的原理,，針對(duì)軟,、硬閾值函數(shù)的缺點(diǎn)，結(jié)合相關(guān)文獻(xiàn),，提出了一種新的閾值函數(shù),，該閾值函數(shù)可以通過調(diào)整α和β參數(shù)來調(diào)整閾值函數(shù)，進(jìn)而獲得最佳的降噪效果,。本文基于改進(jìn)的新閾值函數(shù),，并結(jié)合改進(jìn)的閾值確定方法，提出了一種新的閾值降噪算法,。利用MATLAB進(jìn)行仿真分析,，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本閾值降噪算法降噪性能優(yōu)于其他常用算法,。

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