文獻(xiàn)標(biāo)識碼: A
DOI:10.16157/j.issn.0258-7998.2016.08.024
中文引用格式: 倪培峰,胡雄. 一種基于改進(jìn)閾值函數(shù)的小波閾值降噪算法[J].電子技術(shù)應(yīng)用,,2016,,42(8):98-100,,104.
英文引用格式: Ni Peifeng,Hu Xiong. A new wavelet threshold de-noising method based on improved threshold function[J].Application of Electronic Technique,,2016,,42(8):98-100,104.
0 引言
實際的工程測量測試中,工程信號在采集和傳輸過程中,,總會因外界的干擾引入噪聲,,為了準(zhǔn)確地獲得有用信號,降噪是信號分析前必須經(jīng)過的預(yù)處理環(huán)節(jié),。傳統(tǒng)降噪方法的不足在于使信號變換后的熵增高,,無法刻畫信號的非平穩(wěn)特性并且無法得到信號的相關(guān)性[1]。而小波變換在時域和頻域同時具有良好的局部化性質(zhì),,并且小波變換具有眾多優(yōu)良的特性,,如多分辨率特性、低熵性,、去相關(guān)性和選基靈活性等,。這些特性很好地克服了傳統(tǒng)方法的不足,使得小波變換適用于信號的降噪處理,。因此利用小波變換進(jìn)行降噪,,已經(jīng)成為近幾年研究的熱點。
運用小波變換處理噪聲的方法主要分為3類:MATLAB提出的模極大值處理算法[2],;XU提出的空域相關(guān)降噪算法[3],;DONOHO提出的閾值降噪算法[4]。其中,,以閾值降噪算法最為常用,。閾值降噪算法中,通過對分解后的小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理以達(dá)到降噪的目的,。最常用的閾值函數(shù)是由DONOHO在1995年提出的硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù),,但這兩種函數(shù)也存在不足之處。采用硬閾值函數(shù)時,,由于硬閾值函數(shù)的不連續(xù),,導(dǎo)致重構(gòu)信號可能出現(xiàn)局部震蕩,;采用軟閾值函數(shù)時,與真實小波系數(shù)之間存在恒定的偏差,,導(dǎo)致重構(gòu)后信號的精度下降[5],。針對軟、硬閾值函數(shù)存在的缺點和不足,,本文提出一種新的閾值函數(shù),。新閾值函數(shù)既保證了閾值函數(shù)的連續(xù)性,又能避免軟閾值固定偏差的缺點,。并通過MATLAB仿真分析驗證了改進(jìn)的小波閾值降噪算法優(yōu)于傳統(tǒng)閾值算法,。
1 小波閾值降噪原理
假設(shè)一維離散含噪信號由式(1)表示:
其中,X(k)是含噪信號,;S(k)是原始標(biāo)準(zhǔn)信號,;E(k)是疊加的高斯白噪聲,其服從N(0,,σ2)分布,。
小波變換后,有用信號的能量集中于幅值較大的小波系數(shù),,而噪聲能量則分布在整個小波域中[6],。因此,較大的小波系數(shù)是由有用信號引起的,,較小的小波系數(shù)則代表噪聲,。基于小波系數(shù)的特征,,DONOHO和JOHNSTONE[7]提出了閾值降噪算法,。首先確定一個閾值,即選擇一個合適的數(shù),,當(dāng)小波分解系數(shù)小于閾值時,,認(rèn)為這部分系數(shù)主要是由噪聲引起的,予以舍棄,;當(dāng)系數(shù)大于閾值時,,認(rèn)為這是由信號引起的小波分解系數(shù),,就把這一部分進(jìn)行閾值處理,,然后用閾值處理后的量化系數(shù)進(jìn)行重構(gòu),即為降噪后的信號,。小波閾值降噪的基本步驟如圖1所示,。
2 改進(jìn)閾值算法
閾值的確定直接影響著小波閾值降噪的效果。如果閾值取得太小,,噪聲依然存在,;如果閾值取得太大,,那么有用信號的重要信息也可能被濾除。最常選用的通用閾值可用式(2)表示:
其中,,N為信號的長度,,σ為噪聲的均方差估計值,由式(3)給出:
因為通用閾值有過扼殺有用信號的風(fēng)險,,文獻(xiàn)[6]提出一種基于層間相關(guān)性的閾值選取方法,。本文在此基礎(chǔ)上結(jié)合分層閾值的思想對該閾值算法進(jìn)行改進(jìn),如式(4)所示:
其中,,r為常數(shù),,Tj,n為小波分解第j層位置n處的閾值,,λj為第j層的閾值,,其表達(dá)式如式(5)所示:
式中,Wj,,k為第j層上的小波系數(shù),,j為分解層數(shù)。
K(n)為定義的一個參數(shù),,用來表征小波系數(shù)的層間相關(guān)性,,其定義如式(6)所示:
式中,W(:,,n)表示點n處的所有小波系數(shù),。
當(dāng)K(n)∈[0,r),,點n處的小波系數(shù)相關(guān)性較強,,點n處可能是一個信號點;當(dāng)K(n)∈[r,,+∞),,點n處的相關(guān)性較差,該點可能是由噪聲引起的,。由式(4)可知,,新閾值方法通過比較小波系數(shù)層間相關(guān)性,對不同點n的閾值進(jìn)行修正,。當(dāng)K(n)∈[0,,0.5r)時,小波系數(shù)間的相關(guān)性很大,,該點非常有可能是純信號點,,對閾值進(jìn)行收縮,取為0.7λj,;當(dāng)K(n)∈[0.5r,,0.8r)時,,小波系數(shù)的相關(guān)性比較大,該點有可能是信號點,,該點的閾值取為0.8λj,;當(dāng)K(n)∈[0.8r,r)時,,相關(guān)性較大,,該點依舊可能是信號點,減小閾值收縮程度,,取為0.9λj,;當(dāng)K(n)∈[r,+∞)時,,認(rèn)為小波系數(shù)的相關(guān)性較小,,該點幾乎不可能是純信號點,將閾值取為λj,。
K(n)在計算時,,要求不同層上的小波分解系數(shù)的數(shù)目一致,因此需要采用平穩(wěn)小波變換(SWT),。r是測量小波系數(shù)相關(guān)性的一個重要參數(shù),,取值太小,可能會過扼殺有用信號,,取值過大,,可能會保留較多的噪聲信息。通過相關(guān)實驗,,r取為0.5~1.5之間時,,降噪效果比較好。本文中,,r取為1,。
3 構(gòu)造新閾值函數(shù)
傳統(tǒng)的閾值函數(shù)是由DONOHO提出的軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù),軟閾值函數(shù)定義如式(7)所示,,硬閾值函數(shù)定義如式(8)所示,。
硬閾值函數(shù)在小波域內(nèi)存在間斷點,在重構(gòu)信號時會出現(xiàn)局部震蕩現(xiàn)象,;軟閾值函數(shù)雖然在小波域內(nèi)連續(xù),,但是閾值處理后的小波系數(shù)與真實小波系數(shù)存在恒定偏差,會造成信號高頻有用信息的丟失,。
本文結(jié)合文獻(xiàn)[8]與文獻(xiàn)[9]中的方法,,構(gòu)造了一個新的閾值函數(shù),,如式(9)所示:
其中,,且α為正數(shù),,β為正數(shù)。
由式(9)可知,,當(dāng)|Wj,,k|→±λ時,,,即新閾值函數(shù)在Wj,,k=±λ處是連續(xù)的,克服了硬閾值函數(shù)不連續(xù)的缺陷,,重構(gòu)信號不會有震蕩產(chǎn)生,;當(dāng)Wj,k→±∞時,,
,,
即當(dāng)小波系數(shù)足夠大時,新閾值函數(shù)等同于硬閾值函數(shù),,從而克服了軟閾值函數(shù)
之間具有恒定偏的問題,;同時新閾值函數(shù)具有高階可導(dǎo)性。從表達(dá)式中可以看出,,當(dāng)α→0且β→0時,,新閾值函數(shù)即為軟閾值函數(shù);當(dāng)α→+∞時,,u→1,,新閾值函數(shù)即為硬閾值函數(shù);適當(dāng)選取α和β的值,,新閾值函數(shù)可以在硬閾值函數(shù)與軟閾值函數(shù)之間進(jìn)行調(diào)整,,靈活性更強。硬,、軟閾值函數(shù)的圖形如圖2(a),、圖2(b)所示,選取不同的α和β的新閾值函數(shù)如圖2(c),、圖2(d)所示,。
4 仿真分析
為了驗證本文降噪算法的有效性,用MATLAB對其進(jìn)行仿真試驗,。選用Matlab自帶的Heavy sine 信號,,對其加入一定的高斯白噪聲,并用軟閾值降噪算法,、硬閾值降噪算法,、本文新閾值降噪算法分別對其做降噪處理,其結(jié)果如圖3所示。其中,,選用sym4小波基,,分解層數(shù)選為3層,新閾值函數(shù)中將α取為0.1,,β取為7,。
從視覺上,降噪效果很難評價,,為了量化地評價降噪性能,,采用信噪比和均方根誤差[10]作為評價指標(biāo)。信噪比指原始信號能量與噪聲能量的比值,,記為SNR,,其值越大,信號中噪聲含量越少,,降噪效果越好,;均方根誤差指重構(gòu)信號與原始信號的均方誤差,記為RMSE,,均方根誤差體現(xiàn)了原始信號和降噪之后的信號間的差異,,均方根誤差越小,表示重構(gòu)信號與原始信號的差異越小,,即降噪效果越好,。其表達(dá)式分別如式(10)和式(11)所示。
式中,,x(i)為原始無噪聲信號,;為降噪后的信號。
各種降噪方法的性能指標(biāo)如表1所示,。從表中可以看出,,改進(jìn)的閾值降噪算法相比于其他算法,降噪后信噪比最大,,均方根誤差最小,,所以改進(jìn)的閾值降噪算法優(yōu)于其他算法。
5 總結(jié)
本文分析了小波閾值降噪的原理,,針對軟,、硬閾值函數(shù)的缺點,結(jié)合相關(guān)文獻(xiàn),,提出了一種新的閾值函數(shù),,該閾值函數(shù)可以通過調(diào)整α和β參數(shù)來調(diào)整閾值函數(shù),進(jìn)而獲得最佳的降噪效果,。本文基于改進(jìn)的新閾值函數(shù),,并結(jié)合改進(jìn)的閾值確定方法,提出了一種新的閾值降噪算法。利用MATLAB進(jìn)行仿真分析,,實驗結(jié)果表明,,本閾值降噪算法降噪性能優(yōu)于其他常用算法。
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