楊義先,，鈕心忻

　?。ū本┼]電大學 信息安全中心,， 北京 100876）

0引言

　　如果說安全的核心是對抗，那么,，在對抗的兩個主角（攻方與守方）中,，攻方（黑客）又是第一主角，因為,，紅客（守方）是因黑客（攻方）而誕生的,。所以，很有必要對黑客,，特別是他的攻擊策略,，進行更深入的研究。

　　廣義地說,，系統(tǒng)（或組織）的破壞者,，都統(tǒng)稱為“黑客”。他（它）們以擾亂既有秩序為目的,。因此,，癌細胞、病菌,、敵對勢力,、災難、間諜等都是黑客,。但是,，為了聚焦，本文以常言的“網(wǎng)絡黑客”為主要研究對象,，雖然這里的結果和研究方法其實適用于所有黑客,。

　　黑客的攻擊肯定是有代價的，這種代價可能是經(jīng)濟代價,、政治代價或時間代價,。同樣，黑客想要達到的目標也可能是經(jīng)濟目標,、政治目標或時間目標,。因此，至少可以粗略地將黑客分為經(jīng)濟黑客,、政治黑客和時間黑客,。

　　經(jīng)濟黑客：只關注自己能否獲利，并不在乎是否傷及對方,。有時,，自己可以承受適當?shù)慕?jīng)濟代價，但是,，整體上要贏利,。賠本的買賣是不做的,，他們肯定不是“活雷鋒”。因此,，經(jīng)濟黑客的目標就是：以最小的開銷來攻擊系統(tǒng),，并獲得最大的收益。只要準備就緒,，經(jīng)濟黑客隨時可發(fā)動進攻,。

　　政治黑客：不計代價，一定要傷及對方要害,，甚至有時還有更明確的攻擊目標,，不達目的不罷休,。他們隨時精確瞄準目標,，但是只在關鍵時刻才“扣動板機”。最終成敗取決于若干偶然因素,，比如,，目標突然移動（紅客突然出新招）、準備不充分（對紅客的防御情況了解不夠）或突然刮來一陣風（系統(tǒng)無意中的變化）等,。

　　時間黑客：希望在最短的時間內(nèi)攻破紅客的防線,，而且，使被攻擊系統(tǒng)的恢復時間盡可能地長,。

　　從純理論角度來看,，其實沒必要去區(qū)分上述三種黑客。下面為了形象計,，也為了量化計,，我們重點考慮經(jīng)濟黑客，即,，黑客想以最小的經(jīng)濟開銷來獲取最大的經(jīng)濟利益,。

1黑客的靜態(tài)描述

　　先講一個故事：我是一個“臭手”，面向墻壁射擊,。雖然,，我命中墻上任一特定點的概率都為零，但是,，只要板機一響,，我一定會命中墻上某點，而這本來是一個“概率為零”的事件,。因此,，“我總會命中墻上某一點”這個概率為1的事件，就可以由許多“概率為零的事件（命中墻上某一指定點）”的集合構成,。

　　再將上述故事改編成“有限和”情況：我先在墻上畫滿（有限個）馬賽克格子,，那么,，“我總會命中某一格子”這個概率為1的事件，便可以由有限個“我命中任何指定格子”這些“概率很小,，幾乎為零的事件”的集合構成,。或者,，更準確地說,，假設墻上共有n個馬賽克格子，那么,，我的槍法就可以用隨機變量X來完整地描述：如果我擊中第i(1≤i≤n)個格子的事件（記為X=i）的概率為pi,，那么，p1+p2+…+pn=1,。

　　現(xiàn)在,，讓黑客代替“我”，讓（有限）系統(tǒng)代替那面墻,。

　　安全界有一句老話,，也許是重復率最高的話，“安全是相對的,，不安全才是絕對的”,。可是,，過去大家僅將這句話當成“口頭禪”,，而沒有意識到它其實是一個很重要的公理。

　　安全公理：對任何（有限）系統(tǒng)來說,，安全都是相對的,，不安全才是絕對的，即,，“系統(tǒng)不安全,，總可被黑客攻破”這個事件的概率為1。

　　根據(jù)該安全公理可知,，雖然黑客命中“某一點”（攻破系統(tǒng)的指定部分）的概率幾乎為零,，但是，黑客“擊中墻”（最終攻破系統(tǒng)）是肯定的,，概率為1,。

　　黑客可以有至少兩種方法在“墻上”畫馬賽克格子：

　　畫馬賽克格子的第一種辦法：鎖定目標，黑客從自己的安全角度出發(fā),，畫出系統(tǒng)的安全經(jīng)絡圖［1］,，然后，以每個“元誘因”（或“穴位”）為一個“馬賽克格子”。假如,，系統(tǒng)的安全經(jīng)絡圖中共有n個“元誘因”,，那么，黑客的（靜態(tài)）攻擊能力就可以用隨機變量X來完整地描述：如果黑客摧毀第i(1≤i≤n)個“元誘因”,，記為X=i,，其概率為pi，那么,，p1+p2+…+pn=1,。

　　這種“元誘因馬賽克畫法”的根據(jù)是：系統(tǒng)出現(xiàn)不安全問題的充分必要條件是某個（或某些）“元誘因”不安全［1］。

　　“元誘因馬賽克”的缺點是參數(shù)體系較復雜,，但是,，它的優(yōu)點很多，比如,，可以同時適用于多目標攻擊,，安全經(jīng)絡可以長期積累、永遠傳承等,。根據(jù)安全經(jīng)絡圖可知,，“安全”同時具有“波”和“粒子”的雙重性質(zhì),，或者說,，具有“確定性”和“概率性”兩種性質(zhì)。更具體地說,，任何不安全事件的“元誘因”的“確定性”更濃,，而“素誘因”和“素事件”的“概率性”更濃。充分認識安全的波粒二象性,，將有助于深刻理解安全的實質(zhì),，有助于理解《安全通論》的研究方法和思路。

　　畫馬賽克格子的第二種辦法：經(jīng)過長期準備和反復測試,，黑客共掌握了全部n種可能攻破系統(tǒng)的方法,，于是，黑客的攻擊能力可以用隨機變量X完整地描述為：當黑客用第i種方法攻破系統(tǒng),，記為X=i(1≤i≤n),，其概率為pi，這里,，p1+p2+…+pn=1,，0<pi<1(1≤i≤n)。

　　說明：能夠畫出這“第二種馬賽克格子”的黑客肯定是存在的,，比如,，長期以“安全檢測人員”這種紅客身份掩護著的臥底，就是這類黑客的代表,。雖然,，必須承認,，要想建立完整的武器庫，即,，掌握攻破系統(tǒng)的全部攻擊方法,，或完整地描述上述隨機變量X，確實是非常困難的,，但是,，從理論上看是可行的。

　　當然,，也許還有其他方法來畫“馬賽克格子”,，不過它們的實質(zhì)都是一樣的，即,，黑客可以靜態(tài)地用一個離散隨機變量X來描述,，這里X可能取值為{1，2,，…,，n}，概率Pr(X=i)= pi,，并且p1+p2+…+pn=1,。

2黑客的動態(tài)描述

　　黑客的動態(tài)行為千變?nèi)f化，首先必須清理場景,，否則,，根本無法下手。

　　為使相關解釋更形象,，本節(jié)采用上述第一種“馬賽克格子畫法”,，即，黑客是一個離散隨機變量,，他攻破第i個“元誘因”（記為X=i,，1≤i≤n)的概率為pi，這里,，p1+p2+…+pn=1,，0<pi<1，1≤i≤n,。特別強調(diào),，其實下面的內(nèi)容適用于包括第二種方法在內(nèi)的所有“馬賽克格子畫法”。

　　任何攻擊都是有代價的,，并且,，如果黑客的技術已經(jīng)足夠好，那么，整體上來說是“投入越多,，收益越多”,。

　　設黑客攻破第i個“元誘因”的“投入產(chǎn)出比”為di(1≤i≤n)，即,，若為攻擊第i個“元誘因”黑客投入了1元錢,，那么，一旦攻擊成功（其概率為pi）后,，黑客將獲得di元的收入,；當然，如果攻擊失敗,，那么,，黑客的這1塊錢就全賠了。

　　根據(jù)文獻［1］可知,，任何一個“元誘因”被攻破后,，系統(tǒng)也就被攻破了，不再安全了,。因此,，為了盡量避免被紅客發(fā)現(xiàn)，盡量少留“作案痕跡”,，我們假定：在攻擊過程中,，黑客只要發(fā)現(xiàn)有一個“元誘因”被攻破了，那么,，他就立即停止本次攻擊,，哪怕繼續(xù)攻破其他“元誘因”還可以獲得額外的收入，哪怕對其他“元誘因”的“攻擊投資”被浪費,。

　　設黑客共有M元用于攻擊的“種子資金”，如果他把這些資金全部投入到攻擊他認為最有可能成功的某個“元誘因”（比如最大的那個pi）,，那么,，假如黑客最終成功地攻破了第i個“元誘因”（其概率為pi），則此時黑客的資金總數(shù)就變成Mdi,，但是,，假如黑客攻擊失敗（其概率為1-pi）,，則他的資金總數(shù)就瞬間變成了零,。可見,，從經(jīng)濟上來說,，黑客的這種“孤注一擲”戰(zhàn)術的風險太大，不宜采用。

　　為增加抗風險能力,，黑客改變戰(zhàn)術,，將他的全部資金分成n部分，b1,、b2,、…、bn,，其中bi是用于攻擊第i個“元誘因”的資金在總資金中所占的比例數(shù),，于是，∑ni=1bi=1,，這里0≤bi≤1,。如果在本次攻擊中，第i個“元誘因”首先被攻破（其概率為pi）,，那么,，本次攻擊馬上停止，此時,，黑客的總資產(chǎn)變?yōu)镸bidi,，同時，投入到攻擊其他“元誘因”的資金都白費了,。由于∑ni=1pi=1,，即，肯定有某個“元誘因”會被首先攻破,，所以,，只要每個bi>0，那么,，本次攻擊結束后,，黑客的總資產(chǎn)肯定不會變成零，因此,，其抗風險能力確實增強了,。

　　我們還假定：為了躲開紅客的對抗，黑客選擇紅客不在場時才發(fā)起攻擊,，比如,，黑客每天晚上對目標系統(tǒng)進行（一次）攻擊。當然,，這里還有一個暗含的假設,，即，黑客每天晚上都能夠成功地把系統(tǒng)攻破一次,，其實,，這個假設也是合理的,，因為，如果要經(jīng)過K個晚上的艱苦攻擊才能攻破系統(tǒng),，那么,，把這K天壓縮成“一晚”就行了。

　　單看某一天的情況,，很難對黑客的攻擊戰(zhàn)術提出任何建議,。不過，如果假定黑客連續(xù)m天晚上對目標系統(tǒng)進行“每日一次”的攻擊,，那么,，確實存在某種攻擊戰(zhàn)術，能使得黑客的盈利情況在某種意義上達到最佳,。

　　為簡化下足標,，本文對bi和b(i)交替使用，不加區(qū)別,。

　　如果黑客每天晚上都對他的全部資金按相同的分配比例b=(b1,b2,…,bn)來對系統(tǒng)的各“元誘因”進行攻擊,。那么，m個晚上之后,，黑客的資產(chǎn)就變?yōu)椋?/p>

　　這里S(X)=b(X)d(X),，Xi是1~n之間的某個正整數(shù)，它表示在第i天晚上,，被（首先）攻破的那個“元誘因”的編號,，所以，X1,、X2,、…、Xm是獨立同分布的隨機變量,，設該分布是p(x),，于是有如下定理：

　　定理1若每天晚上黑客都將其全部資金按比例b=(b1,b2,…,bn)分配，來對系統(tǒng)的各“元誘因”進行攻擊,，那么,，m天之后，黑客的資產(chǎn)就變?yōu)椋?/p>

　　這里稱為“雙倍率”,。

　　證明：由于獨立隨機變量的函數(shù)也是獨立的，所以,，也是獨立同分布的,，由弱大數(shù)定律，可得：

　　于是,，證畢,。

　　由于黑客的資產(chǎn)按照2mw(b,p)的方式增長（這也是把W(b,p)稱為“雙倍率”的根據(jù)）,，因此，只需要尋找某種資金分配戰(zhàn)術b=(b1,b2,…,bn),，使得雙倍率W(b,p)最大即可,。

　　定義1如果某種戰(zhàn)術分配b，使得雙倍率W(b,p)達到最大值W*(p),，那么,，就稱該值為最優(yōu)雙倍率，即：

　　這里的最大值max是針對所有可能的滿足而取的,。

　　雙倍率W(b,p)作為b的函數(shù),，在約束條件∑ni=1bi=1下，求其最大值,?？梢詫懗鋈缦吕窭嗜粘俗雍瘮?shù)并且改變對數(shù)的基底（這不影響最大化b），則有：

　　關于bi求導得到：

　　

　　為了求得最大值,，令偏導數(shù)為0,，從而得出：

　　將它們帶入約束條件可得到λ=-1和bi=pi。從而可知,，b=p為函數(shù)J(b)的駐點,。

　　定理2最優(yōu)化雙倍率并且，按比例分配攻擊資金的戰(zhàn)術進行攻擊,，便可以達到該最大值,。這里H(p)是描述靜態(tài)黑客的那個隨機變量的熵，即,，

　　證明：將雙倍率W(b,p)重新改寫,，使得容易看出何時取最大值：

　　這里D(p|b)是隨機變量p和b的相對熵［7］。而當b=p時,，可直接驗證上述等式成立,。證畢。

　　從定理2可知：對于一個可用離散隨機變量X（Pr(X=i)= pi,，并且,，p1+p2+…+pn=1）來靜態(tài)描述的黑客，他的動態(tài)最佳攻擊戰(zhàn)術也是（p1,p2,…,pn）,，即,，將攻擊資金按比例（p1,p2,…,pn）分配后，可得到最多的“黑產(chǎn)收入”,。

　　下面再對定理2進行一些更細致的討論,，有：

　　定理3如果攻破每個“元誘因”的投入產(chǎn)出比是相同的，即,，各個di彼此相等,，都等于a,，那么此時的最優(yōu)化雙倍率W*(p)=loga-H(p)，即,，最佳雙倍率與熵之和為常數(shù),，并且，若按比例b*=p分配攻擊資金,，那么,，此種戰(zhàn)術的攻擊業(yè)績便可達到最大值。此時,，第m天之后,，黑客的財富變成而且，黑客的熵若減少1比特,，那么,，他的財富就會翻一倍！

　　如果并不知道每個di的具體值,，而只知道∑1/di=1,，此時，記ri=1/di,于是,，雙倍率可以重新寫為：

　　由此可見雙倍率與相對熵之間存在著非常密切的關系,。

　　由于黑客每天晚上都要攻擊系統(tǒng)，他一定會總結一些經(jīng)驗來提高攻擊效果,。更準確地說,，可以假設黑客知道了攻破系統(tǒng)的某種邊信息Y，它也是一個隨機變量,。

　　設X∈{1,2,…,n}為第X個“元誘因”,，攻破它的概率為p(x)，而攻擊它的投入產(chǎn)出比為d(x),。設（X,，Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為p(x,y)。用b(x|y)≥0,，∑xb(x|y)=1記為已知邊信息Y的條件下,，黑客對攻擊資金的分配比例。此處b(x|y)理解為：當?shù)弥畔的條件下,，用來攻擊第x個“元誘因”的資金比例,。對照前面的記號，將b(x)≥0,，表示為無條件下,，黑客對攻擊資金的分配比例。

　　設無條件雙倍率和條件雙倍率分別為：

　　對于獨立同分布的“攻擊元誘因”序列(Xi,Yi),，可以看到：當具有邊信息Y時,，黑客的相對收益增長率為2mw(X|Y)；當黑客無邊信息時,，他的相對收益增長率為2mw(X),。

　　定理4由于獲得攻擊“元誘因”X的邊信息Y，而引起的雙倍率增量ΔW滿足ΔW=I（X,；Y）,。這里I（X；Y）是隨機變量X和Y的互信息,。

　　證明：在有邊信息的條件下,，按照條件比例分配攻擊資金，即,，b*(x|y)=p(x|y),，那么關于邊信息Y的條件雙倍率W(X|Y)可以達到最大值。于是：

　　當無邊信息時,，最優(yōu)雙倍率為：

　　從而,，由于邊信息Y的存在，而導致的雙倍率的增量為：

　　證畢,。

　　此處雙倍率的增量正好是邊信息Y與“元誘因”X之間的互信息,。因此，如果邊信息Y與“元誘因”X相互獨立,，那么,，雙倍率的增量就為0。

　　設Xk是黑客第k天攻破的“元誘因”的序號,，假如各{Xk}之間不是獨立的,，又假設每個dk彼此相同，都等于a,。于是,，黑客根據(jù)隨機過程{Xk}來決定第（k+1）天的最佳攻擊資金分配方案（即最佳雙倍率）為：

　　這里的最大值max是針對所有滿足如下條件的邊信息攻擊資金分配方案而取的： 

　　而且，該最優(yōu)雙倍率可以在時達到,。

　　第m天晚上的攻擊結束后,，黑客的總資產(chǎn)變成:

　　并且，其增長率的指數(shù)為:

　　這里［H(X1,X2,…,Xm)］/m是黑客m天攻擊的平均熵,。對于熵率為H(χ)的平衡隨機過程,，對上述增長率指數(shù)公式的兩邊取極限，可得:

　　這再一次說明,，熵率與雙倍率之和為常數(shù),。

3結束語

　　文獻［1］~［6］奠定了《安全通論》的兩個重要基石：安全經(jīng)絡、安全攻防,。本文開始,，我們將努力奠定《安全通論》的第三塊重要基石：黑客,。

　　沒有黑客就沒有安全問題，也更不需要《安全通論》,?？上В诳筒坏?，還越來越多,，而且其外在表現(xiàn)形式還千奇百怪，因此,，有必要專門對黑客進行系統(tǒng)深入的研究,。

　　本文雖然徹底解決了黑客的靜態(tài)描述問題，即,，黑客其實就是一個隨機變量X,，它（他）的破壞力由X的概率分布函數(shù)F(x)(或概率密度函數(shù)p(x))來決定。但是,，關于黑客的動態(tài)描述問題,，還遠未解決，本文只是在若干假定之下,，給出了黑客攻擊的最佳戰(zhàn)術,。歡迎有興趣的讀者來研究黑客的其他攻擊行為的最佳戰(zhàn)術。

　　參考文獻

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　?。?］ 楊義先，鈕心忻.安全通論（2）——攻防篇之“盲對抗”［J］.微型機與應用,，2016,，35（16）：1 5.

　　［3］ 楊義先,，鈕心忻.安全通論（3）——攻防篇之“非盲對抗”之“石頭剪刀布”［J］.微型機與應用,，2016，35（17）：1 3.

　?。?］ 楊義先,，鈕心忻.安全通論（4）——攻防篇之“非盲對抗”之“童趣游戲”［J］.微型機與應用，2016,，35（18）：3 5,9.

　?。?］ 楊義先，鈕心忻.安全通論（5）——攻防篇之“非盲對抗”之“勸酒令”［J］.微型機與應用，2016,，35（19）：2 6.

　?。?］ 楊義先，鈕心忻.安全通論（6）——攻防篇之“多人盲對抗”［J］.微型機與應用,，2016,，35（20）：1 4.

　　［7］ COVER T M,，THOMAS J A.信息論基礎［M］.阮吉壽，張華,，譯.北京：機械工業(yè)出版社,，2007.