楊義先,，鈕心忻
?。ū本┼]電大學(xué) 信息安全中心， 北京 100876）
0引言
如果說安全的核心是對抗,，那么，在對抗的兩個(gè)主角（攻方與守方）中,，攻方（黑客）又是第一主角,，因?yàn)椋t客（守方）是因黑客（攻方）而誕生的,。所以,，很有必要對黑客，特別是他的攻擊策略，進(jìn)行更深入的研究,。
廣義地說,，系統(tǒng)（或組織）的破壞者，都統(tǒng)稱為“黑客”,。他（它）們以擾亂既有秩序?yàn)槟康?。因此，癌?xì)胞,、病菌,、敵對勢力、災(zāi)難,、間諜等都是黑客,。但是，為了聚焦,，本文以常言的“網(wǎng)絡(luò)黑客”為主要研究對象,，雖然這里的結(jié)果和研究方法其實(shí)適用于所有黑客。
黑客的攻擊肯定是有代價(jià)的,，這種代價(jià)可能是經(jīng)濟(jì)代價(jià),、政治代價(jià)或時(shí)間代價(jià)。同樣,，黑客想要達(dá)到的目標(biāo)也可能是經(jīng)濟(jì)目標(biāo),、政治目標(biāo)或時(shí)間目標(biāo)。因此,，至少可以粗略地將黑客分為經(jīng)濟(jì)黑客,、政治黑客和時(shí)間黑客。
經(jīng)濟(jì)黑客：只關(guān)注自己能否獲利,，并不在乎是否傷及對方,。有時(shí)，自己可以承受適當(dāng)?shù)慕?jīng)濟(jì)代價(jià),，但是,，整體上要贏利。賠本的買賣是不做的,，他們肯定不是“活雷鋒”,。因此，經(jīng)濟(jì)黑客的目標(biāo)就是：以最小的開銷來攻擊系統(tǒng),，并獲得最大的收益,。只要準(zhǔn)備就緒，經(jīng)濟(jì)黑客隨時(shí)可發(fā)動(dòng)進(jìn)攻,。
政治黑客：不計(jì)代價(jià),，一定要傷及對方要害,，甚至有時(shí)還有更明確的攻擊目標(biāo)，不達(dá)目的不罷休,。他們隨時(shí)精確瞄準(zhǔn)目標(biāo),，但是只在關(guān)鍵時(shí)刻才“扣動(dòng)板機(jī)”。最終成敗取決于若干偶然因素,，比如,，目標(biāo)突然移動(dòng)（紅客突然出新招）、準(zhǔn)備不充分（對紅客的防御情況了解不夠）或突然刮來一陣風(fēng)（系統(tǒng)無意中的變化）等,。
時(shí)間黑客：希望在最短的時(shí)間內(nèi)攻破紅客的防線,，而且，使被攻擊系統(tǒng)的恢復(fù)時(shí)間盡可能地長,。
從純理論角度來看,，其實(shí)沒必要去區(qū)分上述三種黑客。下面為了形象計(jì),，也為了量化計(jì),，我們重點(diǎn)考慮經(jīng)濟(jì)黑客，即,，黑客想以最小的經(jīng)濟(jì)開銷來獲取最大的經(jīng)濟(jì)利益,。
1黑客的靜態(tài)描述
先講一個(gè)故事：我是一個(gè)“臭手”，面向墻壁射擊,。雖然,，我命中墻上任一特定點(diǎn)的概率都為零，但是,，只要板機(jī)一響,，我一定會(huì)命中墻上某點(diǎn)，而這本來是一個(gè)“概率為零”的事件,。因此,，“我總會(huì)命中墻上某一點(diǎn)”這個(gè)概率為1的事件，就可以由許多“概率為零的事件（命中墻上某一指定點(diǎn)）”的集合構(gòu)成,。
再將上述故事改編成“有限和”情況：我先在墻上畫滿（有限個(gè)）馬賽克格子,，那么，“我總會(huì)命中某一格子”這個(gè)概率為1的事件,，便可以由有限個(gè)“我命中任何指定格子”這些“概率很小,，幾乎為零的事件”的集合構(gòu)成?；蛘?，更準(zhǔn)確地說，假設(shè)墻上共有n個(gè)馬賽克格子,，那么，我的槍法就可以用隨機(jī)變量X來完整地描述：如果我擊中第i(1≤i≤n)個(gè)格子的事件（記為X=i）的概率為pi，那么,，p1+p2+…+pn=1,。
現(xiàn)在，讓黑客代替“我”,，讓（有限）系統(tǒng)代替那面墻,。
安全界有一句老話，也許是重復(fù)率最高的話,，“安全是相對的,，不安全才是絕對的”?？墒?，過去大家僅將這句話當(dāng)成“口頭禪”，而沒有意識(shí)到它其實(shí)是一個(gè)很重要的公理,。
安全公理：對任何（有限）系統(tǒng)來說,，安全都是相對的，不安全才是絕對的,，即,，“系統(tǒng)不安全，總可被黑客攻破”這個(gè)事件的概率為1,。
根據(jù)該安全公理可知,，雖然黑客命中“某一點(diǎn)”（攻破系統(tǒng)的指定部分）的概率幾乎為零，但是,，黑客“擊中墻”（最終攻破系統(tǒng)）是肯定的,，概率為1。
黑客可以有至少兩種方法在“墻上”畫馬賽克格子：
畫馬賽克格子的第一種辦法：鎖定目標(biāo),，黑客從自己的安全角度出發(fā),，畫出系統(tǒng)的安全經(jīng)絡(luò)圖［1］，然后,，以每個(gè)“元誘因”（或“穴位”）為一個(gè)“馬賽克格子”,。假如，系統(tǒng)的安全經(jīng)絡(luò)圖中共有n個(gè)“元誘因”,，那么,，黑客的（靜態(tài)）攻擊能力就可以用隨機(jī)變量X來完整地描述：如果黑客摧毀第i(1≤i≤n)個(gè)“元誘因”，記為X=i,，其概率為pi,，那么，p1+p2+…+pn=1,。
這種“元誘因馬賽克畫法”的根據(jù)是：系統(tǒng)出現(xiàn)不安全問題的充分必要條件是某個(gè)（或某些）“元誘因”不安全［1］,。
“元誘因馬賽克”的缺點(diǎn)是參數(shù)體系較復(fù)雜,，但是，它的優(yōu)點(diǎn)很多,，比如,，可以同時(shí)適用于多目標(biāo)攻擊，安全經(jīng)絡(luò)可以長期積累,、永遠(yuǎn)傳承等,。根據(jù)安全經(jīng)絡(luò)圖可知，“安全”同時(shí)具有“波”和“粒子”的雙重性質(zhì),，或者說,，具有“確定性”和“概率性”兩種性質(zhì)。更具體地說,，任何不安全事件的“元誘因”的“確定性”更濃,，而“素誘因”和“素事件”的“概率性”更濃。充分認(rèn)識(shí)安全的波粒二象性,，將有助于深刻理解安全的實(shí)質(zhì),，有助于理解《安全通論》的研究方法和思路。
畫馬賽克格子的第二種辦法：經(jīng)過長期準(zhǔn)備和反復(fù)測試,，黑客共掌握了全部n種可能攻破系統(tǒng)的方法,，于是，黑客的攻擊能力可以用隨機(jī)變量X完整地描述為：當(dāng)黑客用第i種方法攻破系統(tǒng),，記為X=i(1≤i≤n),，其概率為pi，這里,，p1+p2+…+pn=1,，0<pi<1(1≤i≤n)。
說明：能夠畫出這“第二種馬賽克格子”的黑客肯定是存在的,，比如,，長期以“安全檢測人員”這種紅客身份掩護(hù)著的臥底，就是這類黑客的代表,。雖然,，必須承認(rèn)，要想建立完整的武器庫,，即,，掌握攻破系統(tǒng)的全部攻擊方法，或完整地描述上述隨機(jī)變量X,，確實(shí)是非常困難的,，但是，從理論上看是可行的,。
當(dāng)然,，也許還有其他方法來畫“馬賽克格子”,，不過它們的實(shí)質(zhì)都是一樣的，即,，黑客可以靜態(tài)地用一個(gè)離散隨機(jī)變量X來描述,，這里X可能取值為{1,，2,，…，n},，概率Pr(X=i)= pi,，并且p1+p2+…+pn=1。
2黑客的動(dòng)態(tài)描述
黑客的動(dòng)態(tài)行為千變?nèi)f化,，首先必須清理場景,，否則，根本無法下手,。
為使相關(guān)解釋更形象,，本節(jié)采用上述第一種“馬賽克格子畫法”，即,，黑客是一個(gè)離散隨機(jī)變量,，他攻破第i個(gè)“元誘因”（記為X=i，1≤i≤n)的概率為pi,，這里,，p1+p2+…+pn=1，0<pi<1,，1≤i≤n,。特別強(qiáng)調(diào)，其實(shí)下面的內(nèi)容適用于包括第二種方法在內(nèi)的所有“馬賽克格子畫法”,。
任何攻擊都是有代價(jià)的,，并且，如果黑客的技術(shù)已經(jīng)足夠好,，那么,，整體上來說是“投入越多，收益越多”,。
設(shè)黑客攻破第i個(gè)“元誘因”的“投入產(chǎn)出比”為di(1≤i≤n),，即，若為攻擊第i個(gè)“元誘因”黑客投入了1元錢,，那么,，一旦攻擊成功（其概率為pi）后，黑客將獲得di元的收入,；當(dāng)然,，如果攻擊失敗,，那么，黑客的這1塊錢就全賠了,。
根據(jù)文獻(xiàn)［1］可知,，任何一個(gè)“元誘因”被攻破后，系統(tǒng)也就被攻破了,，不再安全了,。因此，為了盡量避免被紅客發(fā)現(xiàn),，盡量少留“作案痕跡”,，我們假定：在攻擊過程中，黑客只要發(fā)現(xiàn)有一個(gè)“元誘因”被攻破了,，那么,，他就立即停止本次攻擊，哪怕繼續(xù)攻破其他“元誘因”還可以獲得額外的收入,，哪怕對其他“元誘因”的“攻擊投資”被浪費(fèi),。
設(shè)黑客共有M元用于攻擊的“種子資金”，如果他把這些資金全部投入到攻擊他認(rèn)為最有可能成功的某個(gè)“元誘因”（比如最大的那個(gè)pi）,，那么,，假如黑客最終成功地攻破了第i個(gè)“元誘因”（其概率為pi），則此時(shí)黑客的資金總數(shù)就變成Mdi,，但是,，假如黑客攻擊失敗（其概率為1-pi）,，則他的資金總數(shù)就瞬間變成了零,。可見,，從經(jīng)濟(jì)上來說,，黑客的這種“孤注一擲”戰(zhàn)術(shù)的風(fēng)險(xiǎn)太大，不宜采用,。
為增加抗風(fēng)險(xiǎn)能力,，黑客改變戰(zhàn)術(shù)，將他的全部資金分成n部分,，b1,、b2、…,、bn,，其中bi是用于攻擊第i個(gè)“元誘因”的資金在總資金中所占的比例數(shù)，于是，∑ni=1bi=1,，這里0≤bi≤1,。如果在本次攻擊中，第i個(gè)“元誘因”首先被攻破（其概率為pi）,，那么,，本次攻擊馬上停止，此時(shí),，黑客的總資產(chǎn)變?yōu)镸bidi,，同時(shí)，投入到攻擊其他“元誘因”的資金都白費(fèi)了,。由于∑ni=1pi=1,，即，肯定有某個(gè)“元誘因”會(huì)被首先攻破,，所以，只要每個(gè)bi>0,，那么,，本次攻擊結(jié)束后，黑客的總資產(chǎn)肯定不會(huì)變成零,，因此,，其抗風(fēng)險(xiǎn)能力確實(shí)增強(qiáng)了。
我們還假定：為了躲開紅客的對抗,，黑客選擇紅客不在場時(shí)才發(fā)起攻擊,，比如，黑客每天晚上對目標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行（一次）攻擊,。當(dāng)然,，這里還有一個(gè)暗含的假設(shè)，即,，黑客每天晚上都能夠成功地把系統(tǒng)攻破一次,，其實(shí)，這個(gè)假設(shè)也是合理的,，因?yàn)?，如果要?jīng)過K個(gè)晚上的艱苦攻擊才能攻破系統(tǒng)，那么,，把這K天壓縮成“一晚”就行了,。
單看某一天的情況，很難對黑客的攻擊戰(zhàn)術(shù)提出任何建議,。不過,，如果假定黑客連續(xù)m天晚上對目標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行“每日一次”的攻擊，那么,，確實(shí)存在某種攻擊戰(zhàn)術(shù),，能使得黑客的盈利情況在某種意義上達(dá)到最佳,。
為簡化下足標(biāo)，本文對bi和b(i)交替使用,，不加區(qū)別,。
如果黑客每天晚上都對他的全部資金按相同的分配比例b=(b1,b2,…,bn)來對系統(tǒng)的各“元誘因”進(jìn)行攻擊。那么,，m個(gè)晚上之后,，黑客的資產(chǎn)就變?yōu)椋?/p>
這里S(X)=b(X)d(X)，Xi是1~n之間的某個(gè)正整數(shù),，它表示在第i天晚上,，被（首先）攻破的那個(gè)“元誘因”的編號(hào)，所以,，X1,、X2、…,、Xm是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,，設(shè)該分布是p(x)，于是有如下定理：
定理1若每天晚上黑客都將其全部資金按比例b=(b1,b2,…,bn)分配,，來對系統(tǒng)的各“元誘因”進(jìn)行攻擊,，那么，m天之后,，黑客的資產(chǎn)就變?yōu)椋?/p>
這里
稱為“雙倍率”,。
證明：由于獨(dú)立隨機(jī)變量的函數(shù)也是獨(dú)立的，所以,，
也是獨(dú)立同分布的,，由弱大數(shù)定律，可得：
于是,，
證畢,。
由于黑客的資產(chǎn)按照2mw(b,p)的方式增長（這也是把W(b,p)稱為“雙倍率”的根據(jù)），因此,，只需要尋找某種資金分配戰(zhàn)術(shù)b=(b1,b2,…,bn),，使得雙倍率W(b,p)最大即可。
定義1如果某種戰(zhàn)術(shù)分配b,，使得雙倍率W(b,p)達(dá)到最大值W*(p),，那么，就稱該值為最優(yōu)雙倍率,，即：
這里的最大值max是針對所有可能的滿足
而取的,。
雙倍率W(b,p)作為b的函數(shù)，在約束條件∑ni=1bi=1下，求其最大值,?？梢詫懗鋈缦吕窭嗜粘俗雍瘮?shù)并且改變對數(shù)的基底（這不影響最大化b），則有：
關(guān)于bi求導(dǎo)得到：
為了求得最大值,，令偏導(dǎo)數(shù)為0,，從而得出：
將它們帶入約束條件
可得到λ=-1和bi=pi。從而可知,，b=p為函數(shù)J(b)的駐點(diǎn),。
定理2最優(yōu)化雙倍率
并且，按比例
分配攻擊資金的戰(zhàn)術(shù)進(jìn)行攻擊,，便可以達(dá)到該最大值,。這里H(p)是描述靜態(tài)黑客的那個(gè)隨機(jī)變量的熵，即,，
證明：將雙倍率W(b,p)重新改寫,，使得容易看出何時(shí)取最大值：
這里D(p|b)是隨機(jī)變量p和b的相對熵［7］。而當(dāng)b=p時(shí),，可直接驗(yàn)證上述等式成立,。證畢。
從定理2可知：對于一個(gè)可用離散隨機(jī)變量X（Pr(X=i)= pi,，并且，p1+p2+…+pn=1）來靜態(tài)描述的黑客,，他的動(dòng)態(tài)最佳攻擊戰(zhàn)術(shù)也是（p1,p2,…,pn）,，即，將攻擊資金按比例（p1,p2,…,pn）分配后,，可得到最多的“黑產(chǎn)收入”,。
下面再對定理2進(jìn)行一些更細(xì)致的討論，有：
定理3如果攻破每個(gè)“元誘因”的投入產(chǎn)出比是相同的,，即,，各個(gè)di彼此相等，都等于a,，那么此時(shí)的最優(yōu)化雙倍率W*(p)=loga-H(p),，即，最佳雙倍率與熵之和為常數(shù),，并且,，若按比例b*=p分配攻擊資金，那么,，此種戰(zhàn)術(shù)的攻擊業(yè)績便可達(dá)到最大值,。此時(shí)，第m天之后，黑客的財(cái)富變成
而且,，黑客的熵若減少1比特,，那么，他的財(cái)富就會(huì)翻一倍,！
如果并不知道每個(gè)di的具體值,，而只知道∑1/di=1，此時(shí),，記ri=1/di,于是,，雙倍率可以重新寫為：
由此可見雙倍率與相對熵之間存在著非常密切的關(guān)系。
由于黑客每天晚上都要攻擊系統(tǒng),，他一定會(huì)總結(jié)一些經(jīng)驗(yàn)來提高攻擊效果,。更準(zhǔn)確地說，可以假設(shè)黑客知道了攻破系統(tǒng)的某種邊信息Y,，它也是一個(gè)隨機(jī)變量,。
設(shè)X∈{1,2,…,n}為第X個(gè)“元誘因”，攻破它的概率為p(x),，而攻擊它的投入產(chǎn)出比為d(x),。設(shè)（X，Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為p(x,y),。用b(x|y)≥0,，∑xb(x|y)=1記為已知邊信息Y的條件下，黑客對攻擊資金的分配比例,。此處b(x|y)理解為：當(dāng)?shù)弥畔的條件下,，用來攻擊第x個(gè)“元誘因”的資金比例。對照前面的記號(hào),，將b(x)≥0,，
表示為無條件下，黑客對攻擊資金的分配比例,。
設(shè)無條件雙倍率和條件雙倍率分別為：
對于獨(dú)立同分布的“攻擊元誘因”序列(Xi,Yi),，可以看到：當(dāng)具有邊信息Y時(shí)，黑客的相對收益增長率為2mw(X|Y),；當(dāng)黑客無邊信息時(shí),，他的相對收益增長率為2mw(X)。
定理4由于獲得攻擊“元誘因”X的邊信息Y,，而引起的雙倍率增量ΔW滿足ΔW=I（X,；Y）。這里I（X,；Y）是隨機(jī)變量X和Y的互信息,。
證明：在有邊信息的條件下,，按照條件比例分配攻擊資金，即,，b*(x|y)=p(x|y),，那么關(guān)于邊信息Y的條件雙倍率W(X|Y)可以達(dá)到最大值。于是：
當(dāng)無邊信息時(shí),，最優(yōu)雙倍率為：
從而,，由于邊信息Y的存在，而導(dǎo)致的雙倍率的增量為：
證畢,。
此處雙倍率的增量正好是邊信息Y與“元誘因”X之間的互信息,。因此，如果邊信息Y與“元誘因”X相互獨(dú)立,，那么,，雙倍率的增量就為0。
設(shè)Xk是黑客第k天攻破的“元誘因”的序號(hào),，假如各{Xk}之間不是獨(dú)立的,，又假設(shè)每個(gè)dk彼此相同，都等于a,。于是,，黑客根據(jù)隨機(jī)過程{Xk}來決定第（k+1）天的最佳攻擊資金分配方案（即最佳雙倍率）為：
這里的最大值max是針對所有滿足如下條件的邊信息攻擊資金分配方案而取的：
而且，該最優(yōu)雙倍率可以在
時(shí)達(dá)到,。
第m天晚上的攻擊結(jié)束后,，黑客的總資產(chǎn)變成:
并且，其增長率的指數(shù)為:
這里［H(X1,X2,…,Xm)］/m是黑客m天攻擊的平均熵,。對于熵率為H(χ)的平衡隨機(jī)過程,，對上述增長率指數(shù)公式的兩邊取極限，可得:
這再一次說明,，熵率與雙倍率之和為常數(shù)。
3結(jié)束語
文獻(xiàn)［1］~［6］奠定了《安全通論》的兩個(gè)重要基石：安全經(jīng)絡(luò),、安全攻防,。本文開始，我們將努力奠定《安全通論》的第三塊重要基石：黑客,。
沒有黑客就沒有安全問題,，也更不需要《安全通論》?？上?，黑客不但有，還越來越多,，而且其外在表現(xiàn)形式還千奇百怪,，因此,，有必要專門對黑客進(jìn)行系統(tǒng)深入的研究。
本文雖然徹底解決了黑客的靜態(tài)描述問題,，即,，黑客其實(shí)就是一個(gè)隨機(jī)變量X，它（他）的破壞力由X的概率分布函數(shù)F(x)(或概率密度函數(shù)p(x))來決定,。但是,，關(guān)于黑客的動(dòng)態(tài)描述問題，還遠(yuǎn)未解決,，本文只是在若干假定之下,，給出了黑客攻擊的最佳戰(zhàn)術(shù)。歡迎有興趣的讀者來研究黑客的其他攻擊行為的最佳戰(zhàn)術(shù),。
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