編者按：網(wǎng)絡(luò)空間安全的本質(zhì)就是攻防對(duì)抗,?！鞍踩珜?duì)抗”又分為兩大類(lèi)：盲對(duì)抗和非盲對(duì)抗。在本系列之二《安全通論》（2）--攻防篇之盲對(duì)抗中,，對(duì) “盲對(duì)抗”已經(jīng)有所介紹，并給出了黑客（紅客）攻擊（防守）能力的精確極限,，針對(duì)“非盲對(duì)抗”,，文章繼續(xù)引用經(jīng)典游戲來(lái)進(jìn)行分析。在該文中,，酒友們?cè)谘鐣?huì)上常玩的“猜拳”和“劃拳”等勸酒令,，也成了《安全通論》的研究?jī)?nèi)容，仍然采用統(tǒng)一的“信道容量方法”,，給出了“贏酒杯數(shù)”和“罰酒杯數(shù)”的理論極限,，還給出了醉鬼獲勝的調(diào)整技巧。當(dāng)然,，這些內(nèi)容也是《安全通論》不可或缺的組成部分,。文章還針對(duì)所有“輸贏規(guī)則線(xiàn)性可分”的“非盲對(duì)抗”，給出了統(tǒng)一的解決方案,。為與本刊風(fēng)格一致,，我們對(duì)文字略作了一些微調(diào)。
教授,，博士生導(dǎo)師,，災(zāi)備技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室主任，北京郵電大學(xué)信息安全中心主任,，教育部網(wǎng)絡(luò)攻防重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室主任,，《微型機(jī)與應(yīng)用》編委，主要研究方向：網(wǎng)絡(luò)空間安全,、現(xiàn)代密碼學(xué)和糾錯(cuò)編碼等,。
鈕心忻
博士,，教授，博士生導(dǎo)師,。北京郵電大學(xué)學(xué)士和碩士學(xué)位,，香港中文大學(xué)電子工程系博士學(xué)位。1997年起在北京郵電大學(xué)信息工程學(xué)院（現(xiàn)計(jì)算機(jī)學(xué)院）從事教學(xué)與科研工作,。主要研究方向：網(wǎng)絡(luò)與信息安全,、信號(hào)與信息處理等。
0引言
以網(wǎng)絡(luò)空間安全,、經(jīng)濟(jì)安全,、領(lǐng)土安全等為代表的所有安全問(wèn)題的核心就是“對(duì)抗”！所以,，無(wú)論花多少篇幅,，都必須把它研究透徹，至少是要盡可能透徹,。哪怕是多次變換角度,，甚至利用古老游戲和時(shí)髦娛樂(lè)項(xiàng)目，來(lái)全面深入地研究安全對(duì)抗問(wèn)題,，都是值得的,。
“安全經(jīng)絡(luò)”是《安全通論》的第一塊基石，文獻(xiàn)［1］已經(jīng)打好了這塊基石,。
“安全對(duì)抗”是《安全通論》的第二塊基石,。“安全對(duì)抗”分為兩大類(lèi)：盲對(duì)抗,、非盲對(duì)抗,。為了打好這第二塊基石，我們已經(jīng)在文獻(xiàn)［2］中,，統(tǒng)一研究了“盲對(duì)抗”,，并給出了黑客（紅客）攻擊（防守）能力的精確極限。針對(duì)“非盲對(duì)抗”,，雖然已經(jīng)找到了統(tǒng)一的研究方法（信道容量法）,，但是，由于“非盲對(duì)抗”的模型千變?nèi)f化,，我們只好“見(jiàn)招拆招”,。比如，分別在文獻(xiàn)［3］和［4］中,，以“石頭剪刀布游戲”,、“猜正反面游戲”和“手心手背游戲”為對(duì)象，研究了“非盲對(duì)抗”的三個(gè)有趣實(shí)例,，給出了輸贏極限和獲勝技巧,。本文對(duì)酒桌上著名的兩個(gè)實(shí)例（劃拳,、猜拳）進(jìn)行分析，仍然采用統(tǒng)一的“信道容量方法”,，給出了“贏酒杯數(shù)”和“罰酒杯數(shù)”的理論極限,，還給出了醉鬼獲勝的調(diào)整技巧。當(dāng)然,，這些內(nèi)容也是《安全通論》不可或缺的組成部分,。此外，針對(duì)“非盲對(duì)抗”的很大一個(gè)子類(lèi)（輸贏規(guī)則線(xiàn)性可分的情況）,，我們給出了統(tǒng)一的解決方案,。
1“猜拳”贏酒
“猜拳”是宴會(huì)上主人和客人鬧酒的游戲形式之一。其游戲規(guī)則是：在每個(gè)回合中,，主人和客人同時(shí)獨(dú)立亮出如下4種手勢(shì)之一：蟲(chóng)子,、公雞、老虎,、棒子,，然后，雙方共同根據(jù)如下“勝負(fù)判定規(guī)則”來(lái)決定該罰誰(shuí)喝一杯酒：
“蟲(chóng)子”被“公雞”吃掉,；“公雞”被“老虎”吃掉,；“老虎”被“棒子”打死；“棒子”被“蟲(chóng)子”蛀斷,。
除此之外,，主客雙方如果平局,，則互不罰酒,。
一個(gè)回合結(jié)束后，主客雙方再進(jìn)行下一回合的“猜拳”,。
將此“猜拳游戲”用數(shù)學(xué)方式表示出來(lái)便是：設(shè)主人和客人分別用隨機(jī)變量X和Y來(lái)表示,，它們的可能取值有4個(gè)：0，1,，2,，3。具體如下：
當(dāng)主人（或客人）亮出“蟲(chóng)子”時(shí),，記X=0（或Y=0）,；
當(dāng)主人（或客人）亮出“公雞”時(shí)，記X=1（或Y=1）,；
當(dāng)主人（或客人）亮出“老虎”時(shí),，記X=2（或Y=2）；
當(dāng)主人（或客人）亮出“棒子”時(shí),，記X=3（或Y=3）,。
如果某回合中,，主人亮出的是x（即X=x，0≤x≤3）,，而客人亮出的是y（即Y=y,，0≤y≤3），那么,，本回合主人贏（即罰客人一杯酒）的充分必要條件是：(x-y)mod4=1,；客人贏（即罰主人一杯酒）的充分必要條件是：(y-x)mod4=1；否則,，本回合為“平局”,，即主客雙方互不罰酒，接著進(jìn)行下一回合的“斗酒”,。
這個(gè)“猜拳”游戲顯然是一種“非盲對(duì)抗”,。主人和客人到底誰(shuí)輸誰(shuí)贏？最多會(huì)被罰多少杯酒,？他們?cè)鯓硬拍茏寣?duì)方多喝,，而自己少喝？下面就用《安全通論》的“信道容量法”來(lái)回答這些問(wèn)題,。
由概率論中的大數(shù)定律,，頻率趨于概率，所以,，根據(jù)“主人（X）”和“客人（Y）”的習(xí)慣,，即過(guò)去他們“斗酒”的統(tǒng)計(jì)規(guī)律（如果他們是初次見(jiàn)面，那么不妨讓他們以“熱身賽”方式先“斗酒”一陣子,，然后記下他們的習(xí)慣）,，就可以分別給出X和Y的概率分布，以及（X,，Y）的聯(lián)合概率分布：
0<Pr(X=i)=pi<1,，i=0,1,2,3；p0+p1+p2+p3=1,；
0<Pr(Y=i)=qi<1,，i=0,1,2,3；q0+q1+q2+q3=1,；
0<Pr(X=i,Y=j)=tij<1,，i, j=0,1,2,3；∑0≤i,j≤3tij=1,；
px=∑0≤y≤3txy,，x=0,1,2,3；
qy=∑0≤x≤3txy，y=0,1,2,3,。
為了分析“主人”贏酒情況,，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量Z=(Y+1)mod4。然后,，再用隨機(jī)變量X和Z構(gòu)成一個(gè)信道（X,；Z），稱(chēng)它為“猜拳主人信道”,，即該信道以X為輸入,、Z為輸出。
下面來(lái)分析幾個(gè)事件等式,。如果某回合中,，主人亮出的是x（即X=x，0≤x≤3）,，而客人亮出的是y（即Y=y,，0≤y≤3），那么：
如果本回合“主人”贏,，則有(x-y)mod4=1,，即，y=(x-1)mod4,，于是,，z=(y+1)mod4=［(x-1)+1］mod4=xmod4=x，換句話(huà)說(shuō),，此時(shí),，“猜拳主人信道”的輸出Z始終等于輸入X，也就是說(shuō),，一個(gè)“比特”被成功地從輸入端X發(fā)送到了輸出端Z,。
反過(guò)來(lái)，如果在“猜拳主人信道”中,，一個(gè)“比特”被成功地從輸入端X發(fā)送到了輸出端Z,那么,，此時(shí)就有“輸出z始終等于輸入x,，即z=x”,，也就有(x-y)mod4=(z-y)mod4=［(y+1)-y］mod4=1mod4=1，于是,，根據(jù)“猜拳”規(guī)則,，就該判“主人贏”，即客人罰酒一杯,！
結(jié)合上述正反兩種情況有：
引理1：在“猜拳”游戲中,，“主人贏一次”就等價(jià)于“1個(gè)“比特”被成功地從“猜拳主人信道”（X；Z）的輸入端發(fā)送到了輸出端”。
由引理1,，再結(jié)合仙農(nóng)信息論的著名“信道編碼定理”［56］：如果“猜拳主人信道”的容量為C,，那么，對(duì)于任意傳輸率k/n≤C,，都可以在譯碼錯(cuò)誤概率任意小的情況下,，通過(guò)某個(gè)n比特長(zhǎng)的碼字，成功地把k個(gè)比特傳輸?shù)绞招哦?。反過(guò)來(lái),，如果“猜拳主人信道”能夠用n長(zhǎng)碼字，把S個(gè)比特?zé)o誤差地傳輸?shù)绞招哦?，那么,，一定有S≤nC。把這段話(huà)翻譯一下,，便有如下定理：
定理1（猜拳主人贏酒定理）：設(shè)由隨機(jī)變量（X,；Z）組成的“猜拳主人信道”的信道容量為C，那么,，在剔除掉“平局”的情況后有：(1）如果主人想罰客人k杯酒,，那么，他一定有某種技巧（對(duì)應(yīng)于仙農(nóng)編碼）,，使得他能夠在k/C個(gè)回合中,，以任意接近1的概率達(dá)到目的。反過(guò)來(lái),，(2）如果主人在n回合中,，贏了S次，即,，罰了客人S杯酒,，那么，一定有S≤nC,。
由該“猜拳主人贏酒定理”可知,，只要求出“猜拳主人信道”的信道容量C，那么,，主人“贏酒”的“杯數(shù)”極限就確定了,。下面就來(lái)求信道容量C。
首先,，（X,，Z）的聯(lián)合概率分布為：
Pr(X=i,Z=j)=Pr(X=i,(Y+1)mod4=j)=Pr(X=i,Y=(j-1)mod4)=ti(j-1)mod4，i,j=0,1,2,3,4
所以,，“猜拳主人信道”（X,；Z）的信道容量就是：
C=Max［I(X,Z)］=Max{∑0≤i,j≤3［ti(j-1)mod4］
log［ti(j-1)mod4］/(piqj)}
這里的最大值Max是針對(duì)滿(mǎn)足如下條件的實(shí)數(shù)而取的：0<pi，tij<1, i,j=0,1,2,3;p0+p1+p2+p3=1；∑0≤i,j≤3tij=1,；px=∑0≤y≤3txy,。所以，這個(gè)C實(shí)際上是滿(mǎn)足條件q0+q1+q2+q3=1和0<qi<1,i=0,1,2,3的正實(shí)數(shù)變量的函數(shù),，即,，可以記為C(q0,q1,q2,q3)，其中,，q0+q1+q2+q3=1,。
同理，可以分析“客人贏酒”的情況,，此處不再贅述,。
可見(jiàn)，“主人”贏酒的多少（C(q0,q1,q2,q3)）,，其實(shí)取決于“客人”的習(xí)慣（q0,q1,q2,q3）,。如果主客雙方都固守他們的習(xí)慣，那么,，他們的輸贏已經(jīng)“天定”了,；如果“主人”或“客人”中有一方見(jiàn)機(jī)行事（即調(diào)整自己的習(xí)慣），那么,，當(dāng)他調(diào)整到其信道容量大過(guò)對(duì)方時(shí),，他就能夠整體上贏；如果“主人”和“客人”雙方都在調(diào)整自己的習(xí)慣,，那么,，他們最終將達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡。
2“劃拳”贏酒
“劃拳”比“猜拳”更復(fù)雜,，是宴會(huì)上主人和客人鬧酒的另一種游戲形式,。
該游戲規(guī)則是：在每個(gè)回合中，主人（A）和客人（B）各自同時(shí)獨(dú)立地在手上亮出0~5這6種手勢(shì)之一,，并在嘴上吼出0~10這11個(gè)數(shù)之一,。也就是說(shuō)，每個(gè)回合中,，“主人A”是一個(gè)2維隨機(jī)變量,，即A=（X，Y）,，其中,，0≤X≤5是“主人”手上顯示的數(shù),，而0≤Y≤10是“主人”嘴上吼出的數(shù),。同樣，“客人B”也是一個(gè)2維隨機(jī)變量，即B=（F,，G）,，其中，0≤F≤5是“客人”手上顯示的數(shù),，而0≤G≤10是“客人”嘴上吼出的數(shù),。
如果在某個(gè)回合中，“主人”和“客人”的2維數(shù)分別是（x,y）和（f,g）,，那么,，“劃拳”游戲的罰酒規(guī)則是：
如果，x+f=y,，那么,，“主人”贏，罰“客人”喝一杯酒,；如果,，x+f=g，那么,，“客人”贏,，罰“主人”喝一杯酒；如果上述兩種情況都不出現(xiàn),，則為“平局”,，主客雙方互不罰酒，接著進(jìn)行下一回合,。具體來(lái)說(shuō)：雙方嘴上吼的數(shù)一樣(即g=y)時(shí),，“平局”出現(xiàn)；雙方雖然吼的數(shù)各不相同,，但是,，他們“手上顯示的數(shù)之和”不等于“任何一方嘴上吼的數(shù)”時(shí)，“平局”也出現(xiàn),。
這個(gè)“劃拳”游戲顯然也是一種“非盲對(duì)抗”,。下面就用《安全通論》的“信道容量法”來(lái)研究游戲雙方的輸贏問(wèn)題。
與前文“猜拳”游戲類(lèi)似,，由概率論中的大數(shù)定律,，頻率趨于概率，根據(jù)“主人（A）”和“客人（B）”的習(xí)慣,，即過(guò)去他們“斗酒”的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,，就可以分別給出A和B及其分量X、Y,、F,、G的概率分布,，以及4個(gè)隨機(jī)變量（X，Y,，F(xiàn),，G）的聯(lián)合概率分布：
“主人”手上顯示x的概率：0<Pr(X=x)=px<1，0≤x≤5,；x0+x1+x2+x3+x4+x5=1,；
“客人”手上顯示f的概率：0<Pr(F=f)=qf<1，0≤f≤5,；f0+f1+f2+f3+f4+f5=1,；
“主人”嘴上吼y的概率：0<Pr(Y=y)=ry<1，0≤y≤10,；∑0≤y≤10ry =1,；
“客人”嘴上吼g的概率：0<Pr(G=g)=sg<1，0≤g≤10,；∑0≤g≤10sg =1,；
“主人”手上顯示x，嘴上吼y的概率：
0<Pr［A=(x,y)］=Pr(X=x,Y=y)=bxy<1,，0≤y≤10,，0≤x≤5，∑0≤y≤10,0≤x≤5bxy =1,；
“客人”手上顯示f,，嘴上吼g的概率：
0<Pr［B=(f,g)］=Pr(F=f,G=g)=hfg<1，0≤g≤10,，0≤f≤5,，∑0≤g≤10,0≤f≤5hfg =1；
“主人手上顯示x,，嘴上吼y,；同時(shí)，客人手上顯示f,，嘴上吼g”的概率：
0<Pr［A=(x,y),B=(f,g)］=Pr(X=x,Y=y,F=f,G=g)=txyfg<1,，這里，0≤y,g≤10,，0≤x,f≤5,，∑0≤y,g≤10,0≤x,f≤5txyfg =1。
為了分析“主人”贏酒情況,，構(gòu)造一個(gè)2維隨機(jī)變量：Z=(U,V)=(Xδ(G-Y),，X+F)，這里的δ函數(shù)定義為：δ(0)=0,；δ（x）=1,，如果x≠0,。于是：
Pr［Z=(u,v)］=∑x+f=v,xδ(g-y)=utxyfg=:duv，這里,，0≤v≤10,，0≤u≤5,。
然后,，再用隨機(jī)變量A和Z構(gòu)成一個(gè)信道（A；Z）,，稱(chēng)它為“劃拳主人信道”,，即，該信道以A為輸入,，以Z為輸出,。
下面來(lái)分析幾個(gè)事件等式。如果某回合中,，主人手上亮出的是x（即X=x,，0≤x≤5），主人嘴上吼的是y（即Y=y,，0≤y≤10）,；而客人手上亮出的是f（即F=f，0≤f≤5）,，客人嘴上吼的是g（即G=g,，0≤g≤10）。那么,，根據(jù)“劃拳”的評(píng)判規(guī)則有：
如果本回合“主人”贏,，那么，x+f=y,，同時(shí)y≠g,。于是，δ(g-y)=1,，進(jìn)一步就有：Z=(u,v)=(xδ(g-y),，x+f)=(x,y)=A，換句話(huà)說(shuō),，此時(shí),，“劃拳主人信道”的輸出Z始終等于輸入A，也就是說(shuō)：一個(gè)“比特”被成功地從輸入端A發(fā)送到了輸出端Z,。
反過(guò)來(lái),，如果在“劃拳主人信道”中，一個(gè)“比特”被成功地從輸入端A發(fā)送到了輸出端Z,，那么,，此時(shí)就有“輸出z=(u,v)=(xδ(g-y),，x+f)始終等于輸入（x,y）”，也就有：xδ(g-y)=x同時(shí)x+f=y,，即,，y≠g且x+f=y，于是,，根據(jù)“劃拳”規(guī)則,，就該判“主人贏”，即,，客人罰酒一杯,！
結(jié)合上述正反兩種情況，便有：
引理2：在“劃拳”游戲中,，“主人贏一次”就等價(jià)于“1個(gè)“比特”被成功地從“劃拳主人信道”（A,；Z）的輸入端，發(fā)送到了輸出端”,。
由引理2,，再結(jié)合仙農(nóng)信息論的著名“信道編碼定理”［56］：如果“劃拳主人信道”的容量為D，那么,，對(duì)于任意傳輸率k/n≤D,，都可以在譯碼錯(cuò)誤概率任意小的情況下，通過(guò)某個(gè)n比特長(zhǎng)的碼字,，成功地把k個(gè)比特傳輸?shù)绞招哦?。反過(guò)來(lái)，如果“劃拳主人信道”能夠用n長(zhǎng)碼字,，把S個(gè)比特?zé)o誤差地傳輸?shù)绞招哦?，那么，一定有S≤nD,。把這段話(huà)翻譯一下,，便有如下定理：
定理2（劃拳主人贏酒定理）：設(shè)由隨機(jī)變量（A；Z）組成的“劃拳主人信道”的信道容量為D,。那么,，在剔除掉“平局”的情況后有：（1）如果主人想罰客人k杯酒，那么,，他一定有某種技巧（對(duì)應(yīng)于仙農(nóng)編碼）,，使得他能夠在k/D個(gè)回合中，以任意接近1的概率達(dá)到目的,。反過(guò)來(lái),，（2）如果主人在n回合中贏了S次，即,，罰了客人S杯酒,，那么,，一定有S≤nD。
由該“劃拳主人贏酒定理”可知,，只要求出“劃拳主人信道”的信道容量D,，那么，主人“贏酒”的“杯數(shù)”極限就確定了,。下面就來(lái)求信道容量D：
D=Max［I(A,Z)］
=Max{∑a,zPr(a,z)log［Pr(a,z)/［Pr(a)Pr(z)］］}
=Max{∑x,y,f,gPr(x,y,xδ(g-y),x+f)log［Pr(x,y,xδ(g-y),x+f)/［Pr(x,y)Pr(xδ(g-y),x+f)］］}
=Max{∑x,y,f,gtx,y,xδ(g-y),x+flog［tx,y,xδ(g-y),x+f/
?。踒xydxδ(g-y),x+f］］}
這里的最大值是針對(duì)滿(mǎn)足如下條件的正實(shí)數(shù)而取的：
0≤y≤10；∑0≤y≤10ry=1,；
0≤y≤10,，0≤x≤5,，∑0≤y≤10,0≤x≤5bxy =1,；
0≤g≤10，0≤f≤5,，∑0≤g≤10,0≤f≤5hfg =1,。
所以，“劃拳主人信道”的容量D其實(shí)是滿(mǎn)足條件0≤f≤5,；f0+f1+f2+f3+f4+f5=1,；0≤g≤10；∑0≤g≤10sg =1的fi,，gj的函數(shù),，0≤i≤5,0≤j≤10。
同理,，可以分析“客人贏酒”的情況,，此處不再贅述。
可見(jiàn),，“劃拳主人”贏酒的多少（D（gj,fi））,，其實(shí)取決于“客人”的習(xí)慣（gj,fi）。如果主客雙方都固守他們的習(xí)慣,，那么,，他們的輸贏已經(jīng)“天定”了；如果“主人”或“客人”中有一方見(jiàn)機(jī)行事（即,，調(diào)整自己的習(xí)慣）,，那么，當(dāng)他調(diào)整到其信道容量大過(guò)對(duì)方時(shí),，他就能夠整體上贏,；如果“主人”和“客人”雙方都在調(diào)整自己的習(xí)慣，那么,，他們最終將達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡,。
3線(xiàn)性可分“非盲對(duì)抗”的抽象模型
設(shè)黑客（X）共有n招來(lái)發(fā)動(dòng)攻擊,，即隨機(jī)變量X的取值共有n個(gè)，不妨記為{x0,x1,…xn-1}={0,1,2,…,n-1},，這也是黑客的全部“武器庫(kù)”,。
設(shè)紅客（Y）共有m招來(lái)抵抗攻擊，即隨機(jī)變量Y的取值共有m個(gè),，不妨記為{y0,y1,…ym-1}={0,1,2,…,m-1},，這也是紅客的全部“武器庫(kù)”。
注意：在下面推導(dǎo)中,，將根據(jù)需要在“招xi,，yj”和“數(shù)i,j”之間等價(jià)地變換，即：xi=i,，yj=j,，其目的在于，既把問(wèn)題說(shuō)清楚,，又在形式上簡(jiǎn)化,。
在非盲對(duì)抗中，每個(gè)黑客武器xi(i=0,1,…,n-1)和每個(gè)紅客武器yj(j=0,1,…,m-1)之間,，存在著一個(gè)紅黑雙方公認(rèn)的輸贏規(guī)則,，于是，一定存在2維數(shù)集{（i,j）,0≤i≤n-1, 0≤j≤m-1}的某個(gè)子集H,，使得“xi勝yj”當(dāng)且僅當(dāng)(i,j)∈H,。如果這個(gè)子集H的結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，那么,，我們就能夠構(gòu)造某個(gè)信道,，使得“黑客贏一次”等價(jià)于“1比特信息被成功地從該通信信道的發(fā)端傳輸?shù)搅耸斩恕保缓?，再利用著名的仙農(nóng)信道編碼定理即可,。比如：
在“石頭剪刀布”游戲中，H={(i,j):0≤i,j≤2,，(j-i)mod3=2},；
在“猜正反面”游戲中，H={(i,j):0≤i=j≤1},；
在“手心手背”游戲中,，H={(i,j,k):0≤i≠j=k≤1}；
在“猜拳”游戲中,，H={(i,j):0≤i,j≤3,，(i-j)mod4=1}；
在“劃拳”游戲中，H={(x,y,f,g):0≤x,f≤5,；0≤g≠y≤10,；x+f=y}。
在文獻(xiàn)［3,4］和本文中,，已經(jīng)針對(duì)以上各H構(gòu)造出了相應(yīng)的通信信道,。但是，對(duì)一般的H,，卻很難構(gòu)造出這樣的通信信道,，不過(guò)，有一種特殊情況還是可以有所作為的,，即,，如果上面的集合H可以分解為H={(i,j):i=f(j), 0≤i≤n-1, 0≤j≤m-1}（即，H中第一個(gè)分量j是其第二個(gè)分量的某種函數(shù)）,，那么,，我們就可以構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量Z=f(Y)。然后,，考慮信道（X,；Z）,，于是便有如下事件等式：
如果在某個(gè)回合中,，黑客出擊的招是xi，而紅客應(yīng)對(duì)的招是yj,，那么：
如果“黑客贏”,，則有i=f(j)，也就是說(shuō),，此時(shí)信道（X,；Z）的輸出便是Z=f(yj)=f(j)=i=xi，即,，此時(shí)信道的輸出與輸入相同,，即1個(gè)比特被成功地從信道（X；Z）的輸入端發(fā)送到了輸出端,。
反過(guò)來(lái),，如果“1個(gè)比特被成功地從信道（X；Z）的輸入端發(fā)送到了輸出端”,，那么,，此時(shí)就該有“輸入=輸出”，即“i=f(j)”,，這也就意味著“黑客贏”,。
結(jié)合上述正反兩個(gè)方面，得到如下定理：
定理3（線(xiàn)性非盲對(duì)抗極限定理）：在“非盲對(duì)抗”中，設(shè)黑客X共有n種攻擊法{x0,x1,…xn-1}={0,1,2,…,n-1},；設(shè)紅客Y共有m種防御法{y0,y1,…ym-1}={0,1,2,…,m-1},，又設(shè)紅黑雙方約定的輸贏規(guī)則是：“xi勝yj”當(dāng)且僅當(dāng)(i,j)∈H。這里H是矩形集合{（i,j）,0≤i≤n-1, 0≤j≤m-1}的某個(gè)子集,。
如果H關(guān)于黑客X是線(xiàn)性的,，即，H可以表示為H={(i,j):i=f(j), 0≤i≤n-1, 0≤j≤m-1}（即,，H中第一個(gè)分量i是其第二個(gè)分量j的某種函數(shù)f(.)）,，那么，便可以構(gòu)造一個(gè)信道（X,；Z）,，其中Z=f(Y)，使得若C是信道（X,；Z）的信道容量,，則有：
（1）如果黑客想贏k次,，那么,，他一定有某種技巧（對(duì)應(yīng)于仙農(nóng)編碼），使得他能夠在k/C個(gè)回合中,，以任意接近1的概率達(dá)到目的,；
(2)如果黑客在n個(gè)回合中贏了S次，則一定有S≤nC,。
如果H關(guān)于紅客Y是線(xiàn)性的,，即，H可以表示為H={(i,j):j=g(i), 0≤i≤n-1, 0≤j≤m-1}（即,，H中第二個(gè)分量j是其第一個(gè)分量i的某種函數(shù)g(·)）,，那么，便可以構(gòu)造一個(gè)信道（Y,；G）,，其中G=g(X)，使得若D是信道（Y,；G）的信道容量,，則有：
（1）如果紅客想贏k次,，那么,，他一定有某種技巧（對(duì)應(yīng)于仙農(nóng)編碼），使得他能夠在k/D個(gè)回合中,，以任意接近1的概率達(dá)到目的;
?。?）如果紅客在n個(gè)回合中贏了S次,，則一定有S≤nD。
4結(jié)束語(yǔ)
“石頭剪刀布”,、“手心手背”,、“猜正反面”、“猜拳”和“劃拳”等游戲,，其實(shí)它們的輸贏規(guī)則集H都是線(xiàn)性可分的,，因此，它們?nèi)潜疚亩ɡ?（線(xiàn)性非盲對(duì)抗極限定理）的特例而已,。至于H為不可分情況,，相應(yīng)的信道構(gòu)造就無(wú)從下手了，這個(gè)問(wèn)題就作為公開(kāi)問(wèn)題,，留待今后解決吧,。
為了加深大家的印象，我們對(duì)“盲對(duì)抗”和“非盲對(duì)抗”再做一些形象的描述：
所謂“盲對(duì)抗”,，就是在每個(gè)攻防回合后,，攻防雙方都只知道自己的“自評(píng)結(jié)果”，而對(duì)敵方的“他評(píng)結(jié)果”一無(wú)所知,。像大國(guó)斗智,、戰(zhàn)場(chǎng)搏殺、網(wǎng)絡(luò)攻防,、諜報(bào)戰(zhàn)等比較慘烈的對(duì)抗,，通常都屬于“盲對(duì)抗”。這里的“盲”,，與是否面對(duì)面無(wú)關(guān),，比如，“兩潑婦互相罵街”就是典型的面對(duì)面的“盲對(duì)抗”,，因?yàn)椋肮シ健笔欠窳R到了“守方”的痛處,，只有“守方”自己才知道,，而且，被罵者通常還要極力掩蓋其痛處,，不讓“攻方”知道自己的弱點(diǎn)在哪,。當(dāng)然，“一群潑婦互相亂罵”,，更是盲對(duì)抗了,。
所謂“非盲對(duì)抗”，就是在每個(gè)攻防回合后,，雙方都知道本回合的一致的“勝敗結(jié)果”,。比如,，像古老的“石頭剪刀布”游戲中，一旦雙方的手勢(shì)亮出后,，本回合的勝敗結(jié)果就一目了然,。像許多賭博游戲、體育競(jìng)技等項(xiàng)目都屬于“非盲對(duì)抗”,。家喻戶(hù)曉的童趣游戲“猜正反面游戲”,、“手心手背游戲”和本文中的“劃拳”和“劃拳”等，也都是“非盲對(duì)抗”,，只不過(guò),，在“手心手背游戲”中彼此對(duì)抗的人，不再是兩個(gè),，而是三個(gè),。
更加形象地說(shuō)，“潑婦罵架”是“盲對(duì)抗”,，但是,，“兩流氓打架”卻是“非盲對(duì)抗”了。因?yàn)?，人的身體結(jié)構(gòu)都相似,，被打的痛處在哪，誰(shuí)都知道,，而且結(jié)論也基本一致,，所以，“打架”是“非盲的”,，當(dāng)然,，“打群架”也是“非盲對(duì)抗”。但是,，人的心理結(jié)構(gòu)卻千差萬(wàn)別,，被罵的痛點(diǎn)會(huì)完全不同，所以,，“罵架”是“盲的”,。
（致謝：本文中的“劃拳”和“猜拳”游戲,，由北京CA總經(jīng)理詹榜華博士提供,，特此致謝。）
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