0 引言
       假設(shè)盲源分離的源信號個數(shù)為J,，接收傳感器的個數(shù)為R,，盲源分離可以分為超定盲源分離（J≥R）和欠定盲源分離（J＜R）兩種情況。大多數(shù)盲分離算法都假設(shè)接收傳感器個數(shù)不少于源信號個數(shù),，然而在實(shí)際應(yīng)用中,，接收傳感器個數(shù)往往有限，有時會出現(xiàn)接收傳感器小于接收源信號個數(shù)的欠定混合情況（Underdetermined Blind Source Separation,，UBSS）,。欠定盲源分離一般分為兩步：(1)分離混合矩陣；(2)恢復(fù)源信號,。本文只考慮對混合矩陣的估計(jì)。
       針對欠定盲源分離問題,，大多數(shù)文獻(xiàn)提出的算法是將觀測信號在時域或頻域稀疏化,，這勢必會產(chǎn)生龐大的計(jì)算量，并且應(yīng)用范圍局限于觀測信號和源信號數(shù)量較少的情況,?？紤]到源信號一般均滿足相互獨(dú)立和具有時間結(jié)構(gòu)等特性，L.De Lathauwer提出了二階欠定盲辨識算法(Second-order Blind Identification of Underdetermined Mixtures，SOBIUM)[1],，該方法不要求源信號在時域或變換域是稀疏的,，通過對觀測信號的時延協(xié)方差矩陣組成三階張量直接進(jìn)行平行因子分解實(shí)現(xiàn)對混合矩陣的估計(jì)。TICHAVSKY P在SOBIUM的基礎(chǔ)上提出了加權(quán)欠定混合矩陣盲分離算法[2],，該算法通過加權(quán)張量分解來完成混合矩陣的估計(jì),，提高了分離信號的信干比，但是SOBIUM的迭代收斂時間較長,，而且可能產(chǎn)生局部收斂,。
       針對以上問題，本文在SOBIUM方法的基礎(chǔ)上,，加入了增強(qiáng)線搜索算法（Enhanced Line Search,，ELS) 。ELS可以顯著改善最小二乘法的性能,，降低局部收斂的風(fēng)險,，更重要的是減少了迭代次數(shù),并且復(fù)雜度不高。
1 欠定盲分離與PARAFAC分解
1.1 瞬時欠定盲源分離模型
       瞬時混合模型下的欠定盲源分離,，其含噪混合模型為：
       X(t)=AS(t)+N(t)    t=1,，…，T                                                  (1)
       其中,，X(t)=[x1(t),，x2(t)，…,，xR(t)]T為R維接收信號矢量,，A表示一個未知的J×R的混合矩陣，S(t)=[s1(t),，s2(t),，…，sR(t)]T為R維源信號矢量,，N(t)=[n1(t),，…，nR(t)]T為R維噪聲矢量,，(*)T代表轉(zhuǎn)置,。在噪聲不存在或者可以忽略不計(jì)的情況下，式(1)可以化簡為：
       X(t)=AS(t)(2)
1.2 PARAFAC分解
       平行因子(Parallel Factor,，PARAFAC)分析又叫標(biāo)準(zhǔn)分解,，是三面或更高面陣低秩分解的總稱。平行因子分解在多個應(yīng)用領(lǐng)域發(fā)揮著有廣泛的作用,，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了化學(xué)計(jì)量學(xué),。平行因子分析在信號處理和通信領(lǐng)域中的數(shù)據(jù)域和子空間域[1-2]表現(xiàn)出良好的實(shí)用性,觀測數(shù)據(jù)被轉(zhuǎn)換為張量形式進(jìn)行運(yùn)算,。下面給出關(guān)于平行因子的定義：
       定義1：若矩陣A的任意kN個列線性獨(dú)立,則最大kN的值稱之為矩陣A的Kruskal秩,簡稱k秩。
       定義2：如果一個張量X∈RI×J×K等于三個向量a,，b,，c的外積，則這個張量的秩為1,。
       定義3：一個三階張量X∈RI×J×K可以寫成秩為1的張量的最小數(shù)量的線性組合,，叫作平行因子分解。這一最小數(shù)量(源信號數(shù)N)等于張量X的秩(可用于對源信號數(shù)的估計(jì))即：

       式中ar,、br,、cr分別代表矩陣A∈CI×R、B∈CJ×R和C∈CK×R的第r列,。其中xijk=ai bj ck,，i=1，…,，I,，j=1，…,，J,，k=1，…,，K,。
平行因子分解的矩陣模式可以寫為：
       X(1)=(B⊙C)AT，X(1)∈CJK×I
       X(2)=(C⊙A)BT,，X(2)∈CKI×J
       X(3)=(A⊙B)CT,，X(3)∈CIJ×K(4)
       平行因子的唯一性在文獻(xiàn)[3-5]中進(jìn)行了研究，可以總結(jié)為下面的定理：
       定理1：如果滿足
       kA+kB+kC≥2R+2(5)
       則平行因子分解唯一,。kA,、kB、kC分別代表矩陣A,、B,、C的秩。R為源信號的個數(shù),。
       用平行因子分解解決欠定盲分離混合矩陣問題時,，源信號個數(shù)J與接收傳感器最大個數(shù)Rmax的關(guān)系如表1所示。

1.3 PARAFAC分解估計(jì)欠定混合矩陣
       若源信號為零均值且互不相關(guān)的非平穩(wěn)信號,，那么源信號在t時刻的二階自相關(guān)矩陣可表示為：

       式中DN=Est s■■是塊對角陣,，n=1，…,，N,，N是分塊的個數(shù)，矩陣A稱為分塊成型矩陣,。式(3)中時間延時?子n可以為零,，上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置。
    將矩陣組{RN}轉(zhuǎn)為(d,，d,，M)維的三階張量形式：

       其中θ代表一個影響矩陣A和D的所有元素的參數(shù)向量。

       式中R代表張量,，R為源信號的數(shù)目,，⊙表示張量的外積，{an}和{dn}分別為A和D的列向量,，上標(biāo)*代表共軛轉(zhuǎn)置,。
2 加權(quán)增強(qiáng)最小二乘法
2.1 交替最小二乘法算法
    張量的標(biāo)準(zhǔn)分解通常使用三線性交替最小二乘（Alternating Least Squares，ALS）算法實(shí)現(xiàn),。迭代過程中的代價函數(shù)為：

       ||·||_F表示Frobenius矩陣范數(shù),。ALS的目標(biāo)是在每一步迭代中，使張量R與它的當(dāng)前估計(jì)值的差的范數(shù)最小,。用于平行因子分析模型擬合的 ALS 過程即在固定上次迭代獲取的部分矩陣估計(jì)值基礎(chǔ)上, 估計(jì)其他矩陣, 該交錯映射形式的最小二乘回歸過程循環(huán)下去, 直至收斂,。矩陣A、B和C的估計(jì)可以表示為：

其中上標(biāo)“+”代表Moore-Penrose偽逆,。
2.2 增強(qiáng)的線搜索（ELS）
       通常在數(shù)據(jù)量非常大,，或當(dāng)兩個因素幾乎共線時，ALS的收斂性是非常緩慢的[6],。壓縮和線搜索是應(yīng)對收斂慢問題的兩種解決方案,。本文采用增強(qiáng)線搜索來加快ALS：

上式中上標(biāo)(k)、(k-1),、(k-2)分別代表第k次,，第k-1次，第k-2次迭代,。令：

其中代表迭代的方向,。松弛因子?籽表示迭代的步長。?籽的選擇十分重要,。同一個算法只改變?籽的值,，迭代收斂的速度變化如圖1所示。

圖1  松弛因子?籽對迭代收縮的影響

2.3 平行因子的增強(qiáng)加權(quán)目標(biāo)函數(shù)
       平行因子分解模型同獨(dú)立分量分析模型一樣,，具有置換不確定性和排列不確定性,。為了有效地解決這個問題而不犧牲算法的收斂性，本文采用如下收斂函數(shù)：

       其中隨著迭代次數(shù)的增加?著趨于0,。I表示與XJK×I相同維數(shù)的單位矩陣,。式(15)可以寫為：

       其中JK×I維矩陣T3,、T2、T1和T0分別表示為：

       上標(biāo)k和k-2為了簡便已省略,。定義Vec為矩陣矢量化符號,，例如有矩陣A∈CI×J，則：

       則等式（16）等效于

       其中4×1維矢量代表共軛轉(zhuǎn)置,，式(18)對于復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)都適用[7],。IJK×4維矩陣T分別由T3、T2,、T1和T0的列矢量組合而成,，可以表示為：

3 數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)：分離混合語音的混合矩陣
       本節(jié)通過數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)對本文算法(SO-WALS-ELS)與SOBIUM算法的性能做比較?；旌暇仃嚬烙?jì)的相對誤差公式為：

其中,，。假設(shè)它們的列向量均已單位化且消除了排列順序的不確定性,。
       實(shí)驗(yàn)中采用4路獨(dú)立源信號混合成3路觀測信號為例,，4路語音從語音庫中隨機(jī)選取，采樣率為16 kHz,，取160 000點(diǎn),，混合方式為瞬時混合，H為混合矩陣,。圖2為源信號,，圖3為混合信號，圖4為分離信號,，圖5為本文算法與SOBIUM算法的對比圖,。

圖2  源信號

圖3  混合信號

圖4  分離信號

    從圖2～圖5可以看出，改進(jìn)的算法分離出了大概原始信號,，但分離信號的順序和極性都發(fā)生了變化,，這也是目前平行因子分解尚無法解決的問題。
   

圖5  本文算法與SOBIUM算法的對比圖

       根據(jù)公式,，改進(jìn)前的算法相對誤差為0.055 9,，改進(jìn)后的相對誤差為0.029 8。經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn),，改進(jìn)后的方法比原方法具有更快的收斂速度,，并且更精確。
4 結(jié)論
       本文提出了一種基于增強(qiáng)加權(quán)最小二乘法的欠定混合矩陣分離的新算法,，適用于非平穩(wěn)信號,。首先，該算法將接收信號的空間協(xié)方差矩陣疊加成三階張量,，然后再對此三階張量進(jìn)行平行因子分解,，最后利用增強(qiáng)加權(quán)最小二乘法完成混合矩陣估計(jì),。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：本文提出的算法具有比SOBIUM算法更好的分離效果和更好的魯棒性，而且實(shí)現(xiàn)簡單,，可滿足實(shí)際應(yīng)用的要求,。
參考文獻(xiàn)
[1] LIEVEN De LATHAUWER.Blind identification of underde-termined mixtures by simultaneous matrix diagonalization[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2008,，56(3)：1096-1105.
[2] PETR Tichavsky,ZBYNEK Koldovsky.Weight adjusted tensor method for blind separation of underdetermined mixtures of nonstationary sources[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2011,，59：1037-1047.
[3] KRUSKAL J B.Three-way arrays：Rank and uniqueness of trilinear decompositions,，with application to arithmetic complexity and statistics，Linear Algebra Appl.,，1977(18)：95-138.
[4] STEGEMAN  A,，SIDIROPOULOS N D.On kruskal’s uniqueness condition for the Candecomp/ PARAFAC decomposition[C].Linear Algebra and its Applications，2007
(420)：540-552.
[5] NICHOLAS D.SIDIROPOULOS,，RASMUSBRO.On the Uni-queness of Multilinear Decomposition of N-way Arrays[J].J.Chemometrics,，2000，14(3)：229-239.
[6] RAJIH M,，COMON P,，HARSHMAN R A.Enhanced line search：A novel method to accelerate PARAFAC[J].SIAM Journal on Matrix Analysis，2008,，30(3)：1148-1171.
[7] NION D,，DE LATHAUWER L.Line Search computation of the Block Factor Model for blind multi-user access in wireless communications[C].Advances in Wireless Communi-cations(SPAWC) France，Cannes,，.IEEE Workshop on Signal Processing,，2006.
[8] NION D，DE LATHAUWER I.An enhanced line Search scheme for complex-valued tensor decompositions.Application in DS-CDMA[J].Signal Processing,，2008,，3(88)：749-755.