0 引言

    最近幾年極化碼在編解碼領(lǐng)域中有突破性的進展,，從而激起了極化碼理論研究^[1]的快速發(fā)展。Arikan Erdal于2008年提出極化碼^[1],，并在對稱的二進制無記憶信道及任意的連續(xù)無記憶信道中證明了極化碼相較于Turbo碼^[2]和LDPC碼^[3]更能達到香農(nóng)極限^[4],，并且用極化碼實現(xiàn)的通信系統(tǒng)能達到更高的通信帶寬，所以極化碼是目前公認的“最好”的碼,。

    目前,，極化碼的譯碼實現(xiàn)方式主要有軟件和硬件兩種方式，軟件的實現(xiàn)方式因CPU串行工作模式限制了譯碼速度的提升,，而FPGA因其具有快速并行計算的能力能彌補這一缺陷,。此外，極化碼的遞歸結(jié)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)資源共享并簡化計算過程,，這一特點表明極化碼易于FPGA實現(xiàn)^[5-6],。

    目前，關(guān)于極化碼的譯碼算法主要有置信度傳播(Brief Propagation,，BP)算法^[7],、最大似然比(Maximum Likelyhood，ML)算法^[8],、連續(xù)消除(Successive Cancellation，SC)算法^[9],。這3種算法中,，BP和ML算法由于在運算過程中涉及到較多的乘除法運算，因此不利于FPGA實現(xiàn),，而SC算法在譯碼過程中主要是通過加減和位運算實現(xiàn),，所以SC算法適用于FPGA實現(xiàn)。

    基于極化碼,、FPGA,、SC譯碼算法3方面的優(yōu)點，本文的重點工作是采用極化碼,、運用SC譯碼算法設(shè)計一種新型的譯碼器并在Xilinx XC5VFX70T上實現(xiàn)該譯碼器,。

1 極化碼的SC譯碼算法

1.1 SC譯碼算法

    SC譯碼算法的核心就是連續(xù)地估計每個比特的似然比值，Arikan表示這些似然比值^[9]可以通過數(shù)據(jù)流圖采用遞歸的方式被有效地執(zhí)行,，這個數(shù)據(jù)流圖類似于快速傅里葉變換結(jié)構(gòu),，一般是通過蝶形結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)流圖來計算似然比值,，N=8的蝶形SC譯碼結(jié)構(gòu)圖如圖1所示，y₀到y(tǒng)₇是信道的輸出值,，通過如下結(jié)構(gòu)可得到譯出碼字

2 極化碼譯碼的算法改進

2.1 SC譯碼算法結(jié)構(gòu)的改進

    由圖1可知由于數(shù)據(jù)之間的較強依賴性使得譯碼的效率不高,，例如圖1中l(wèi)₂階段的所有節(jié)點，當輸入數(shù)據(jù)y0到y(tǒng)7準備完畢時允許節(jié)點執(zhí)行相應(yīng)的操作,，而事實上在第一個譯碼時鐘周期內(nèi)只有前4個節(jié)點執(zhí)行了相應(yīng)的操作,。為了比較譯碼效率，這里定義α表示使用率,，表達式如式(4)所示：

    隨著碼長的增加,，使用率逐漸趨近于0，因此有很大的空間提升使用率,。為了提升使用率,，本文采用了線性的譯碼結(jié)構(gòu)來改進蝶形譯碼結(jié)構(gòu)。N=8的SC線性譯碼結(jié)構(gòu)圖如圖3所示,。

    在線性譯碼結(jié)構(gòu)中,，函數(shù)f和g一半碼長的計算量都是在一個時鐘周期完成的，用來存儲部分計算結(jié)果和信道輸出似然比的內(nèi)存單元總共為2N-1個,，在整個譯碼過程中的處理單元為N/2個,。由式(4)可計算出線性結(jié)構(gòu)譯碼算法的使用率如式(6)所示：

    可以看出相比于蝶形譯碼結(jié)構(gòu)而言，采用線性譯碼結(jié)構(gòu)的譯碼算法其使用率有一定的提升,，并且這種結(jié)構(gòu)編寫的代碼在硬件實現(xiàn)上更有利于綜合布線,。

2.2 SC譯碼算法在FPGA中實現(xiàn)的改進

    由式(2)可知函數(shù)f和g的計算涉及了乘法和除法，這在FPGA中實現(xiàn)會比較復(fù)雜,，因此改進了最小和算法,，在對數(shù)域中用等價函數(shù)來代替，等價式如式(7),、式(8)所示：

    由于信道的輸出和運算過程中的值都是浮點數(shù),，這不利于在FPGA中實現(xiàn)，所以做了定點量化的改進,，用(C,，L，F(xiàn))來表示量化結(jié)果,，其中C代表信道輸出的量化比特數(shù),，L代表運算過程中對數(shù)似然比的量化比特數(shù)，F(xiàn)代表信道輸出和似然比值量化的小數(shù)位數(shù),。量化的位數(shù)不易過長,，因為會消耗很多資源，也不易過短，因為會有很大的誤差,。本文做了包括(3,，4，0),、(3,，4，1),、(4,，5，0),、(4,，5，1),、(5,，6，0),、(5,，6，1),、(6,，7，0),、(6,，7，1)這些帶小數(shù)位和不帶小數(shù)位的多種不同位數(shù)的量化,，通過實驗結(jié)果的對比,，選出了兩種效果較好的量化方式分別是(4，5,，0)和(5,，6，1),，如圖4所示為量化前后的BER曲線圖。

    由上圖可知,，(4,，5，0)和(5,，6,，1)的量化結(jié)果與量化前相比對譯碼性能的影響都不大。再對比(4，5,，0)和(5,，6，1)的量化方式,，由于選用沒有小數(shù)位的量化方式更有利于硬件實現(xiàn),，因此本文選用(4，5,，0)的量化方式,。

    由圖1可知，在譯碼過程中需要的存儲單元總數(shù)為Nlog₂N個,，隨著編碼塊長度的增加,，存儲單元的總數(shù)也在增加，這樣就會占用更多的FPGA的資源,，所以采用了資源共享這一方式,。本文中編碼塊長度N與階段l的關(guān)系是l=log₂N-1，每一個階段l需要的存儲單元是2^l,，因此實際只需要 N-1個存儲單元即可,。采用資源共享的方式并不會對譯碼的性能造成任何影響，并且大大地減少了存儲單元的數(shù)量,，節(jié)約了FPGA中的資源,。

3 基于FPGA的極化碼譯碼硬件平臺與測試結(jié)果

    為了驗證SC譯碼算法在FPGA上實現(xiàn)的正確性，本文首先在MATLAB中仿真對比了蝶形結(jié)構(gòu),、線性結(jié)構(gòu)以及算法改進之后的性能,；然后用自行設(shè)計的以Xilinx公司的XC5VFX70T為核心處理器的14層電路板作為硬件平臺，該平臺最高運行頻率可達550 MHz,，片內(nèi)時鐘及存儲等資源十分豐富,，能夠用來實現(xiàn)極化碼的譯碼；最后給出了modelsim仿真波形和程序運行完成后chipscope抓取波形的對比結(jié)果,。

3.1 基于MATLAB的譯碼仿真結(jié)果

    如圖5所示為蝶形結(jié)構(gòu),、線性結(jié)構(gòu)和算法改進之后的SNR-BER曲線圖。

    由圖可知使用蝶形結(jié)構(gòu)的SC譯碼與線性結(jié)構(gòu)的SC譯碼相比在不同信噪比的情況下誤比特率是相同的,，這是因為這兩種結(jié)構(gòu)只有在使用率方面有差異,。對算法做了最小和、定點量化和資源共享改進之后,，其性能有所下降,，但差別不是很大，為了能夠在硬件上更容易實現(xiàn)極化碼的譯碼,，做這些改進是值得的,。

3.2 基于硬件平臺的譯碼測試結(jié)果

    圖6所示為碼長256的仿真波形圖和實際抓取的波形圖,。圖中上半部分是model-sim的仿真波形，第一行是源碼字,，第二行是譯出的碼字,，第三行是源碼字和譯出碼字的異或結(jié)果。圖中下半部分是chipscope波形圖,，對其進行了局部放大以便于觀察,，由于順序不一樣，因此用直線相連接,。

    圖7所示為碼長1 024的仿真波形和實際抓取的波形圖,。圖中上半部分是modelsim仿真圖，第一行是源碼字,，第二行是譯出的碼字,，第三行是源碼字和譯出碼字的異或結(jié)果，由于碼長太長,，所以分成了4段顯示,。圖中下半部分是chipscope抓取的波形，在波形中只放大了碼字的開始和結(jié)尾部分,，與仿真波形相比較時,，其順序是自下往上的。

    在工程綜合編譯完成之后會有一個設(shè)計的綜合報告,，會給出編譯所使用的LUT,、FF、RAM以及最大時鐘頻率,，具體值如表1所示,，通過式(9)可以計算出運行過程中的吞吐率。

    式中f_m為最大時鐘頻率,，t_d為譯碼延遲的時鐘周期數(shù),，即從譯碼開始至譯碼結(jié)束所使用的時鐘周期數(shù)，N_A為有效碼長,。通過上式可以計算出編碼塊長度為256時吞吐率約為36.4 Mb/s,，編碼塊長度為1 024時吞吐率約為34.2 Mb/s。

    不同編碼塊長度下的綜合資源結(jié)果比較如表1所示,。

    相同編碼塊長度下采用蝶形譯碼結(jié)構(gòu)和線性譯碼結(jié)構(gòu)的使用率結(jié)果對比如表2所示,。

    從表2中可以看出隨著碼長的增加使用率在降低，但是在相同編碼塊長度下線性譯碼結(jié)構(gòu)明顯比蝶形譯碼結(jié)構(gòu)的使用率要高一些,。

4 總結(jié)

    本文針對當前極化碼在整個通信領(lǐng)域的應(yīng)用十分廣泛的現(xiàn)象,，主要研究了SC譯碼算法并在Xilinx XC5VFX70T芯片上實現(xiàn)，在設(shè)計過程中考慮了FPGA的資源占用情況,、譯碼的復(fù)雜度以及譯碼使用率,。該譯碼器高達145 MHz的時鐘頻率和36.4 Mb/s的吞吐率使得該譯碼器具有較強的工程實用性。

參考文獻

[1] 陸婷婷.極化碼的編解碼研究及仿真[D].南京：南京理工大學(xué),，2013.

[2] KOVACI M,，BALTA H.Turbo codes performance on Rice flat fading environment[C]//Electronics and Telecommunications(ISETC)，2014 11th International Symposium on.IEEE,，2014：1-4.

[3] KUMAR N,，PRAKASH C，SATASHIA S N,，et al.Efficient implementation of Low Density Parity Check codes for satellite ground terminals[C]//Adva-nces in Computing,，Communications and Informatics(ICACCI)，2014 International Conference on.IEEE,，2014：689-695.

[4] KORADA S B,，URBANKE R.Polar codes：characterization of exponent，bounds,，and constructins[J].Information Theory,，IEEE Transactions on，2010,，56(12)：6253-6264.

[5] MISHRA A,，RAYMOND A J，AMARU L G,，et al.A successive cancellation decoder ASIC for a 1024-bit polar code in 180 nm CMOS[C]//Solid State Circuits Conference(A-SSCC),，2012 IEEE Asian.IEEE，2012：205-208.

[6] LEROUX C,，TAL I,，VARDY A，et al.Hardware archi-tectures for successive cancellation decoding of polar codes[C]//IEEE International Conference on Acoustics.IEEE,，2011：1665-1668.

[7] HUSSAMI N,，KORADA S B，URBANKE R.Perfor- mance of polar codes for channel and source coding[C]//Information Theory,，2009.ISIT 2009.IEEE Intemational Symposium on.IEEE,，2009：1488-1492.

[8] KAHRAMAN S，CELEBI M E.Code based efficient maximum-likelihood decoding of short polar codes[C]//Information Theory  Proceedings(ISIT),，2012 IEEE Intemational Symposium on.IEEE,，2012：1967-1971.

[9] ARIKAN E.Channel polarization：A method for costructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels[J].IEEE Transactions on Information Theory，2009,，55(7)：3051-3073.

作者信息：

鄧媛媛,，卿粼波，王正勇,，高菁汐,，徐成強

（四川大學(xué) 電子信息學(xué)院,，四川 成都610064）