0 引言

    2009年ARIKAN E教授提出了極化碼^[1],，并且通過數(shù)學(xué)方法證明了當(dāng)碼長無限長時(shí)其性能可以達(dá)到香農(nóng)極限。極化碼一經(jīng)提出就在國際上引起廣泛的關(guān)注,，并且在2016年11月3GPP RAN1 #87會(huì)議上確定5G eMBB場景控制信道編碼為極化碼,。

    極化碼在實(shí)際應(yīng)用中存在著一些缺點(diǎn)。連續(xù)刪除(Successive Cancellation,，SC)譯碼對(duì)于長碼有很好的糾錯(cuò)性能,，但是對(duì)中短碼長譯碼性能有顯著的降低。為了克服這個(gè)問題,，學(xué)者們提出了許多改進(jìn)方法,，如置信傳播（Belief Propagation，BP）譯碼算法^[2],、線性規(guī)劃（Linear Programming,，LP）譯碼算法^[3]等。這些算法雖然可以提高一部分譯碼性能,，但是譯碼算法的復(fù)雜度太大,。一些算法針對(duì)SC算法進(jìn)行了改進(jìn)，文獻(xiàn)[4]提出了連續(xù)刪除列表(Successive Cancellation List,，SCL)譯碼算法,，特別是在冗余循環(huán)校驗(yàn)(Cyclic Redundancy Check，CRC)輔助下的SCL的譯碼性能可以超過最大似然(Maximum Likelihood,，ML)譯碼^[5],。但同時(shí)SCL譯碼的復(fù)雜度也隨之增加。文獻(xiàn)[6]中提出的堆棧SC（SCStack,，SCS）譯碼有和SCL譯碼相同的譯碼性能,，此外SCS譯碼的時(shí)間復(fù)雜度遠(yuǎn)低于SCL譯碼，并且在高的信噪比下可以降低搜索寬度L。

    本文對(duì)SC譯碼和SCL譯碼進(jìn)行了算法簡化,，降低了算法的復(fù)雜度和時(shí)延,。并且用數(shù)學(xué)證明的方法證明了簡化算法的可行性。

1 極化碼編碼

    Polar Code是一種結(jié)構(gòu)性與迭代性極強(qiáng)的信道編碼技術(shù),，其設(shè)計(jì)核心理論是對(duì)信道的極化,，信道極化過程主要包括兩部分^[1]：信道聯(lián)合過程和信道分裂過程。

1.1 信道極化^[1]

    信道聯(lián)合：對(duì)已知的二進(jìn)制離散無記憶信道W進(jìn)行N次迭代復(fù)制W^N：X^N→Y^N,，N=2ⁿ,，并對(duì)復(fù)制所得信道進(jìn)行遞推方式組合。W_N和W^N之間的轉(zhuǎn)移概率關(guān)系為：

    圖1所示為在高斯信道下,，碼長為N=4 096的信道極化仿真圖,。根據(jù)仿真結(jié)果，可以看出部分信道的信道容量成兩極分化,。據(jù)此可以選出I(W)→1的信道傳輸信息比特作為信息位,，I(W)→0的信道傳輸固定比特作為凍結(jié)位。

1.2 極化碼編碼

2 SC譯碼算法

    把β_v傳遞給p_v,。這時(shí)v節(jié)點(diǎn)的譯碼消息傳遞終止,，因?yàn)樵谟嘞伦g碼過程中將不會(huì)再次激活節(jié)點(diǎn)v。

2.1 簡化的SC譯碼算法

    本節(jié)通過簡化傳統(tǒng)譯碼的消息傳遞規(guī)則,，簡化了SC譯碼算法。并且證明簡化譯碼算法的譯碼性能是與傳統(tǒng)的譯碼性能相同,。

    (1)Rate-0節(jié)點(diǎn)

    對(duì)于Rate-0節(jié)點(diǎn)v,，由于它所有后代都是Rate-0節(jié)點(diǎn)，因此當(dāng)v接收到軟信息α_v時(shí),，不去激活左右的子節(jié)點(diǎn)而直接計(jì)算β_v：

    對(duì)于任意d_v=n-1的Rate-1節(jié)點(diǎn)一定滿足式(15),。假設(shè)d_v=i的Rate-1節(jié)點(diǎn)也滿足(15)，于是對(duì)于d_v=i-1的Rate-1節(jié)點(diǎn)v的子節(jié)點(diǎn)d_v=i,，滿足式(15),。因此，根據(jù)上面的推導(dǎo)可以證明式(12)成立,。

    ②證明式(13)成立：當(dāng)d_v=n時(shí),，對(duì)Rate-1節(jié)點(diǎn)，式(13)顯然是成立,，因此,，可以通過歸納法證明d_v<n的Rate-1節(jié)點(diǎn)也是滿足式(13)的。

2.2 算法復(fù)雜度分析

3 SCL譯碼算法

    為了提高SC譯碼算法在碼長較短情況下糾錯(cuò)能力,，SCL譯碼算法被提出,，L代表搜索寬度。每次必須有一點(diǎn)被估計(jì)，它的可能值0和1都需要被考慮,。因?yàn)榇嬖贚組碼字候選,，所以每次新的位估計(jì)產(chǎn)生2L組候選路徑，其中一半需要丟棄,。因此,，路徑度量值(Path Metric，PM)被提出,。PM計(jì)算如下：

    SCL譯碼算法是從根節(jié)點(diǎn)出發(fā),，按廣度優(yōu)先的方法對(duì)路徑進(jìn)行擴(kuò)展；每一層向下一層擴(kuò)展時(shí),，選擇當(dāng)前層中具有較小PM的L條,。當(dāng)沒有到達(dá)葉節(jié)點(diǎn)而搜索寬度已經(jīng)達(dá)到，按照PM的從大到小的排列保留PM小的L條路徑,。直到到達(dá)葉節(jié)點(diǎn),，然后選取PM最小路徑作為譯碼結(jié)果。

    為了進(jìn)一步提高極化碼的譯碼性能,，編碼前在信息比特中添加CRC,，然后利用SCL譯碼算法獲得L條搜索路徑，最后借助“正確信息比特可以通過CRC校驗(yàn)”的先驗(yàn)信息,，對(duì)這L條搜索路徑進(jìn)行挑選,，從而得到正確譯碼結(jié)果。

4 簡化的SCL譯碼算法

    傳統(tǒng)的SCL譯碼算法每次進(jìn)行路徑擴(kuò)展時(shí)都會(huì)產(chǎn)生2L條路徑,，但是對(duì)于凍結(jié)比特,，由于譯碼結(jié)果是已知的，因此對(duì)于凍結(jié)比特不進(jìn)行路徑擴(kuò)展,，直接判決比特,，路徑度量值也不改變，從而減少剪枝算法執(zhí)行的次數(shù),，達(dá)到降低算法復(fù)雜度的目的,。

    由上述的譯碼過程分析，式(20)PM的計(jì)算可以改為：

    因?yàn)閮鼋Y(jié)比特在譯碼過程中結(jié)果是已知的,，所以不需要去選擇路徑,，進(jìn)而PM也不需要計(jì)算。另外,，由于分裂次數(shù)的減少,，剪枝算法也隨之減少，并最終達(dá)到了降低算法復(fù)雜度的目的,。

5 仿真結(jié)果與分析

    如圖4所示,，在高斯信道下,，碼長為1 024，碼率為0.5,，采用二進(jìn)制相移鍵控調(diào)制,，譯碼輸出使用24位CRC校驗(yàn)。搜索寬度L分別為1,，2,，4，8,，16,，32 的CA-SCL譯碼性能，仿真數(shù)據(jù)是106幀,，一幀長1 024個(gè)比特,。仿真結(jié)果表明，隨著L的值增加,，誤碼率在逐漸降低,，CA-SCL譯碼算法的性能明顯要優(yōu)于SC(L=1)譯碼算法。

6 結(jié)論

    極化碼是目前唯一可以通過數(shù)學(xué)證明達(dá)到香農(nóng)極限的信道編碼技術(shù),，并且已經(jīng)成為5G控制信道的編碼方案,。本文詳細(xì)敘述極化碼編譯碼的原理和結(jié)構(gòu)，并提出關(guān)于SC譯碼和SCL譯碼的優(yōu)化算法,，在不改變譯碼性能的前提下,，降低了算法復(fù)雜度。通過對(duì)SC譯碼和SCL譯碼的性能進(jìn)行了仿真分析,，結(jié)果表明,，隨著搜索寬度L的增加，極化碼的譯碼性更優(yōu),，但復(fù)雜度也隨著增加。因此關(guān)于SCL的復(fù)雜度和數(shù)據(jù)吞吐量是下一步研究方向,。

參考文獻(xiàn)

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[3] GOELA N,，KORADA S B，GASTPAR M.On LP decoding of polar codes[C].Information Theory Workshop.IEEE,，2010：1-5.

[4] TAL I,，VARDY A.List decoding of polar codes[J].IEEE Transactions on Information Theory，2012,，61(5)：2213-2226.

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[6] NIU K,，CHEN K.CRC-aided decoding of polar codes[J].IEEE Communications Letters,，2012，16(10)：1668-1671.

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作者信息:

王  丹,，李孟杰，李玉河,，賈東升

(重慶郵電大學(xué) 重慶市移動(dòng)通信技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,，重慶400065)