文獻(xiàn)標(biāo)識碼: A
DOI:10.16157/j.issn.0258-7998.180908
中文引用格式: 曹拓,,付松,,何思遠(yuǎn). 基于自適應(yīng)變步長歐拉法的NURBS曲面爬行波尋跡算法[J].電子技術(shù)應(yīng)用,,2018,44(7):19-23.
英文引用格式: Cao Tuo,,F(xiàn)u Song,,He Siyuan. Creeping-ray tracing algorithm for arbitrary NURBS surfaces based on adaptive variable step Euler method[J]. Application of Electronic Technique,2018,,44(7):19-23.
0 引言
在高頻電磁問題中,,一致性幾何繞射理論(UTD)應(yīng)用非常廣泛[1],例如目標(biāo)散射特性預(yù)估,。因此,,在準(zhǔn)確獲得目標(biāo)表面UTD繞射場問題上,表面爬行射線波追蹤起著非常大的作用[2],。所以,,首先要進(jìn)行目標(biāo)表面爬行波追蹤(測地線軌跡)。但是,,實(shí)際上除了一些典型形體能夠直接得到測地線微分方程(GDE)外,,在任意形狀的光滑物體表面如何測定測地線軌跡是一個巨大的挑戰(zhàn)。
JHA R M[3-5]提出了Geodesic Constant解析方法,,但只在一般的拋物旋轉(zhuǎn)面適用,。通常地,在工程應(yīng)用上,,很多目標(biāo)被看作如木板,、圓柱、圓錐和球等一些已經(jīng)有爬行波尋跡解析解的典型形體,。但很難用這些典型形體去估計復(fù)雜形體,,這似乎就限制了UTD方法的應(yīng)用。
因此,,需要介紹一下數(shù)值爬行波追蹤算法,,該方法基于離散三角面剖分模型表面,但是不能直接應(yīng)用于UTD算法[6],。除了用離散三角形面片建立復(fù)雜模型,,它還可以描述NURBS曲面,。而且,NURBS曲面由于它的高精度,、少面片的特性,,被引用到高頻電磁分析領(lǐng)域。當(dāng)目標(biāo)用NURBS曲面表示后,,測地線軌跡可由GDE求解直接獲得,。所以,一些數(shù)值方法被用來計算GDE,。為了獲得NURBS曲面上的爬行波軌跡[7],,歐拉方法效率高但是精度低,精度依賴于剖分面片外形,,對于任意形狀模型可能會失效,。
為了提高在任意形狀NURBS表面爬行波追蹤的準(zhǔn)確性和效率,本文提出了一種基于新型自適應(yīng)變步長歐拉法的爬行波跟蹤算法,。由于自適應(yīng)變步長歐拉方法是基于傳統(tǒng)的歐拉法,,從而保證了效率;并在數(shù)值迭代求解GDE的過程中引進(jìn)形狀因子ξ,,離散的步長可以及時自適應(yīng)地糾正。因此,,與傳統(tǒng)的歐拉法相比,,該方法可以很容易地保證其準(zhǔn)確性在任意形狀的NURBS表面上的爬行光線跟蹤。也就是說,,它更適合于工程應(yīng)用,。
1 任意形狀目標(biāo)NURBS曲面建模
非均勻有理B樣條(Non-Uniform Rational B-Splines,NURBS)曲面是非均勻B樣條曲面的有理推廣,。它被定義為:
u,、v參數(shù)域映射到3個空間可以在圖1中看到。
下面在圖2中給出3個NURBS建模結(jié)果,。其中圓柱的表面是均勻網(wǎng)格表面,,而其他表面是不均勻網(wǎng)格表面。
2 任意NURBS曲面表面的爬行波追蹤算法
對于源點(diǎn)和觀察點(diǎn)的位置,,光滑曲面表面的繞射問題有3種類型:(1)源點(diǎn)和觀察點(diǎn)都不在表面且遠(yuǎn)離表面,,這種情況屬于光滑曲面散射問題;(2)源點(diǎn)在曲面上,,觀察點(diǎn)遠(yuǎn)離表面,,此時為光滑曲面輻射問題;(3)源點(diǎn)與觀察點(diǎn)都在表面上,,這就屬于耦合問題[10],。
所以,,射線追蹤也有3種類型,根據(jù)圖3~圖5所示,,在所有這些情況下,,表面上的射線軌跡稱為爬行波,其被約束沿著測地線傳播,。本文主要關(guān)注爬行波的射線追蹤,,因?yàn)樗巧渚€追蹤過程中最困難的一部分。
2.1 爬行波的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)
根據(jù)這兩個方程可以求解出NURBS曲面上大量的入射點(diǎn)與出射點(diǎn),。
2.2 基于自適應(yīng)變步長歐拉法求解射線追蹤GDE
由于任意形狀的表面上的爬行射線的路徑滿足GDE,,因此可以將爬行射線的問題改為求解GDE的問題。一般來說,,通過歐拉法求解GDE是一種簡單快捷的方法,。但是根據(jù)研究,在大多數(shù)情況下由于傳統(tǒng)的歐拉法精度低,,穩(wěn)定性不好,,導(dǎo)致求解效果不好。
對于非線性問題,,基本上需要步進(jìn)控制校正程序,。因此,本文中,,為提高光線跟蹤的準(zhǔn)確性并確保效率,,提出了自適應(yīng)變步長歐拉方法來求解GDE。
GDE方程如下:
其中,,h是兩個相鄰離散點(diǎn)之間的步長,,并且確定它是非常重要的。ξ是形狀因子(SF),,用來自適應(yīng)地控制每個離散步長,。而ξ的值受制于對象的形狀,關(guān)于ξ的更多細(xì)節(jié)將在2.3節(jié)中給出,。
在數(shù)值計算中,,可以計算多個離散點(diǎn)(ui,vi)來表示爬行波,,i=0,,1,2…,。因此,,根據(jù)離散化,上式可以重寫為:
由式(13)可知,,(ui+2,,vi+2)能用(ui+1,,vi+1)、(ui,,vi)及ξi+1,,i推導(dǎo)而出。必須計算出爬行射線最初的兩個坐標(biāo)(u0,,v0),、(u1,v1)及ξ1,,0,,才能遞推出整個爬行射線。
可以通過方程(4)獲得第一個點(diǎn)Q0(u0,,v0),,然后由微分幾何,第二個點(diǎn)可由Q0在u,,v各自方向切向量之和近似表示,,如圖7所示。
這里第二個點(diǎn)表示為:
形狀因子的一般表達(dá)式在2.3節(jié)中給出,。根據(jù)表達(dá)式,,可以確定得到ξ1,0,。計算出(u0,,v0)、(u1,,v1)及ξ1,0后,,(ui,,vi)可以根據(jù)式(12)隨著i的增加逐步迭代算出。
2.3 形狀因子?孜的推導(dǎo)
微分方程的精度與步長h有關(guān),,步長越小精度越高,。然而,在迭代求解爬行波射線軌跡上的離散點(diǎn)的過程中,,算法效率因離散點(diǎn)數(shù)的增加而減小,,而且,離散點(diǎn)越多,,累積誤差越大,,可能導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。
顯然,,為了逼近如果在變量變化快的區(qū)域多取離散點(diǎn)而在變化慢區(qū)域少取離散點(diǎn),,就可以在保證計算效率的同時兼顧精度,,所以合理提取離散點(diǎn)是很重要的。
但是在實(shí)際情況中,,無法得知確定的(u(s),,v(s))表達(dá)式,所以導(dǎo)致離散點(diǎn)無法合理提取,。于是本文提出用形狀因子ξ來反映參數(shù)變化,,用于確定離散步長。用ξ的離散值ξi+1,,i來表示爬行射線相鄰點(diǎn)參數(shù)變化率,。ξi+1,i的表達(dá)式如下:
設(shè)為曲線C上P點(diǎn)處的單位切向量,。P點(diǎn)處的離散編號為i,。
對方程(17)中的變量s求微分,可得單位切向量:
3 數(shù)值算例與分析
理論上可以在一些典型物體(如圓柱體,、錐體)上計算爬行射線,,因此,可以從這些對象的分析結(jié)果中驗(yàn)證所提出的方法是否有效,。
3.1 圓柱體
圖9所示為圓柱表面(均勻網(wǎng)格)爬行波射線傳播軌跡圖,。圓柱的半徑為1 m,高為3 m,。表1為爬行波尋跡結(jié)果,,起始點(diǎn)為(1,0,,0),。
從表1可知,采用自適應(yīng)變步長歐拉法得到的數(shù)值結(jié)果與解析方法的結(jié)果吻合得非常好,,由此可證明該尋跡算法正確性,。
3.2 任意曲面目標(biāo)
圖10所示為任意曲面表面(非均勻網(wǎng)格表面)爬行波射線傳播軌跡圖。根據(jù)微分幾何知識,,球面上的數(shù)值結(jié)果可以直接由理論值得到驗(yàn)證,。表2為爬行波尋跡結(jié)果,起始點(diǎn)為(1.0,,0.0,,0.0)。
如圖10所示,,提出的方法結(jié)果與理論結(jié)果吻合較好,。從表2和圖10可以看出,盡管隨著離散步長的增加歐拉方法的誤差減少了,但是耗時也增加了很多,。更重要的是,,如果離散步長繼續(xù)增加下去,結(jié)果完全錯誤,,這意味著歐拉方法不穩(wěn)定,。
4 結(jié)論
對于任意形狀NURBS目標(biāo)表面爬行波射線軌跡尋跡,本文提出了基于自適應(yīng)變步長歐拉法的快速有效的尋跡算法,。為了驗(yàn)證該尋跡算法的正確性與有效性,,給出了幾個典型驗(yàn)證算例。相比于傳統(tǒng)的歐拉法,,自適應(yīng)變步長歐拉法不僅繼承了傳統(tǒng)歐拉法的效率高的優(yōu)勢,,而且該算法適用于任意的光滑曲面。
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作者信息:
曹 拓,,付 松,,何思遠(yuǎn)
(武漢大學(xué) 電子信息學(xué)院,湖北 武漢430072)