0  引言

粒子濾波是一種基于蒙特卡羅思想的非線性非高斯?fàn)顟B(tài)估計(jì)濾波方法^［1］，在故障診斷,、目標(biāo)跟蹤等相關(guān)領(lǐng)域取得了一定的應(yīng)用效果,。段琢華等人^［2］提出一種基于粒子濾波器的移動機(jī)器人傳感器故障診斷方法，并驗(yàn)證了該方法可以有效識別移動機(jī)器人一種或多種故障,。程建等人^［3］將粒子濾波理論應(yīng)用于紅外目標(biāo)跟蹤,，在粒子濾波理論框架下，紅外目標(biāo)的狀態(tài)后驗(yàn)概率分布用加權(quán)隨機(jī)樣本集表示,通過隨機(jī)樣本的Bayesian迭代進(jìn)化實(shí)現(xiàn)紅外目標(biāo)的跟蹤,。然而隨著迭代次數(shù)的增加,，粒子重要性權(quán)重的方差越來越大，使得粒子的權(quán)重集中到很少數(shù)粒子上,，其他粒子的重要性權(quán)值將會很小,，這就是粒子退化現(xiàn)象。DOUCET A等人^［4］已從理論上證明了粒子退化現(xiàn)象出現(xiàn)的必然性,。粒子退化問題將會嚴(yán)重影響粒子濾波精度,。

針對粒子濾波存在的粒子退化問題，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究,。張琪等人^［5］提出一種基于權(quán)值選擇的粒子濾波算法.按照粒子權(quán)值的大小選擇較好的粒子用于濾波,以增加樣本的多樣性,從而緩解粒子濾波的退化問題,。夏飛等人^［6］在重采樣階段采用了一種權(quán)值排序、優(yōu)勝劣汰的重采樣算法,對各粒子的歸一化權(quán)值按從小到大的順序排列,，并根據(jù)權(quán)值方差大小淘汰粒子,從而得到了改進(jìn)的粒子濾波算法,在一定程度上解決了標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波的退化問題,。但是上述兩種方法仍然是基于傳統(tǒng)采樣的框架，未能徹底解決粒子退化的問題,。

蝴蝶算法(Butterfly Algorithm,，BA)是由ARORA S和SINGH S^［7］提出的一種基于蝴蝶覓食行為的全局優(yōu)化算法。通過仿真指出該算法優(yōu)于其他自然啟發(fā)式算法,，相較于其他算法具有更高的收斂精度和更快的收斂速度,。受此算法特點(diǎn)啟發(fā)，本文引入蝴蝶算法優(yōu)化粒子濾波采樣過程,，并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證蝴蝶優(yōu)化粒子濾波算法能夠改善基本粒子算法存在的濾波粒子退化問題,。

1  粒子濾波算法

粒子濾波是一種基于蒙特卡羅思想的貝葉斯估計(jì)方法 ^［8］。假設(shè)有非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型:

其中，f(·)和h(·)分別為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測方程,。x_t為系統(tǒng)在t時(shí)刻的狀態(tài)變量，z_t為系統(tǒng)在t時(shí)刻的觀測值,，w_t和v_t為相互獨(dú)立的噪聲,，分別為系統(tǒng)的過程噪聲和觀測噪聲，u_t為系統(tǒng)在t時(shí)刻的輸入量,。

濾波就是計(jì)算后驗(yàn)濾波概率密度p(x_t|z_1:t),，已知p(x_t|z_1:t)是p(x_0:t|z_1:t)的邊沿概率密度。假設(shè)t-1時(shí)刻濾波概率密度p(x_t-1|z_1:t-1)已知,系統(tǒng)狀態(tài)x_t服從一階馬爾可夫過程且系統(tǒng)觀測z_t獨(dú)立,。通過下式

得出包含t-1時(shí)刻觀測值的t時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)先驗(yàn)概率密度p(x_t|z_1:t-1):

式（3）即為預(yù)測過程,，其中，p(x_t|x_t-1)是系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度,。利用t時(shí)刻的觀測值z_t,，通過更新修正p(x_t|z_1:t-1)，得到t時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度p(x_t|z_1:t),，由貝葉斯定理可得狀態(tài)更新方程:

其中

然而,，對于非線性非高斯系統(tǒng)而言，在過程中式(3)和式(4)消去中間參量和其他位置參量的計(jì)算卻很困難,，很難得到完整的解析式來表達(dá)這樣的概率密度函數(shù),。因此，粒子濾波采用序貫蒙特卡羅采樣方法,，從后驗(yàn)概率密度p(x_t|z_1:t)采樣大量的隨機(jī)樣本點(diǎn)來近似待估計(jì)的分布,，這些隨機(jī)樣本點(diǎn)稱為粒子。用大量的粒子來近似整個(gè)后驗(yàn)分布,，當(dāng)粒子數(shù)量足夠多時(shí),，后驗(yàn)分布能被準(zhǔn)確近似，是一種全局近似最優(yōu)濾波,。假設(shè)從后驗(yàn)概率密度p(x_t|z_1:t)采樣得到N個(gè)粒子,，則后驗(yàn)概率密度可以通過下式近似表示：

其中，xit表示從后驗(yàn)概率密度中采樣得到的粒子,，δ(·)表示Dirac delta函數(shù),。

但是在實(shí)際中卻很難從函數(shù)p(x_t|z_1:t)中采樣?？梢韵葟囊粋€(gè)事先已知且容易采樣的參考分布q(x_t|z_1:t)中采樣,，通過在q(x_t|z_1:t)中采樣x粒子進(jìn)行加權(quán)來近似計(jì)算p(x_t|z_1:t)。當(dāng)選取重要概率密度為

時(shí),，重要性權(quán)重方差最小,，此時(shí)為最優(yōu)重要性概率密度。權(quán)值計(jì)算方程為:

式（8）中,，p(z_t|xⁱ_t-1)無法求解,，所以更常見的是選取先驗(yàn)概率密度為重要性概率密度,，即

式子化簡為

將重要性權(quán)重歸一化，即

而后驗(yàn)概率密度可以表示為：

式中,，重要性權(quán)值如式(11)所示,。當(dāng)N→∞時(shí)，由大數(shù)定理可知,，式（12）逼近于真實(shí)后驗(yàn)概率p(x_t|z_1:t),。

2  蝴蝶優(yōu)化粒子濾波

2.1 蝴蝶算法

蝴蝶算法是一種自然啟發(fā)式全局尋優(yōu)算法，其主要思想類似于蝴蝶群覓食行為,，每一只蝴蝶都會散發(fā)一定強(qiáng)度的香味,，同時(shí)每只蝴蝶都會感受到周圍其它蝴蝶的香味，并朝著那些散發(fā)更多香味的蝴蝶移動,。蝴蝶的香味取決于三個(gè)因素：感知形態(tài),、刺激強(qiáng)度以及冪指數(shù)。用方程表示為

F=cI^a(13)

其中,，F(xiàn)表示香味濃度大小,，c為感知形態(tài)，I為刺激強(qiáng)度,，a為冪指數(shù),。

已知目標(biāo)函數(shù)f(x)，蝴蝶算法的基本步驟如下：

(1)初始化具有n只蝴蝶的蝴蝶種群,，由目標(biāo)函數(shù)f(xi)決定每一只蝴蝶xi的刺激強(qiáng)度Ii,。

(2)計(jì)算蝴蝶種群中每一只蝴蝶的適應(yīng)值，并找到位置最優(yōu)的蝴蝶,。

(3)計(jì)算蝴蝶散發(fā)的香味,。由于外界環(huán)境的干擾，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)p用于決定蝴蝶是進(jìn)行局部搜索還是全局搜索,。

(4)若進(jìn)行全局搜索,，蝴蝶飛向全局適應(yīng)度最高的蝴蝶，全局搜索可以表示為

其中,，xt+1i為第i只蝴蝶在第t次迭代的解向量,。g*表示目前所有蝴蝶中的最優(yōu)解。

(5)若進(jìn)行局部搜索,，蝴蝶進(jìn)行Lévy隨機(jī)飛行,。局部搜索可以表示為

為了避免蝴蝶移動陷入局部最優(yōu)，在算法中引入Lévy飛行,，Lévy飛行實(shí)質(zhì)是一種隨機(jī)游走,，步長分布符合重尾概率分布：

Lévy飛行能夠加快局部搜索，提高搜索效率。本文中,，λ的取值范圍為(1,2］,。

2.2  融合蝴蝶算法與粒子濾波

在蝴蝶算法中，把蝴蝶看作粒子濾波中的粒子,，可以看出蝴蝶算法和粒子濾波存在一定的相似性,。首先，蝴蝶算法中蝴蝶不斷地更新自己的位置并向適應(yīng)度最高的蝴蝶飛去,，類似于粒子濾波算法中粒子不斷地逼近真實(shí)系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)概率分布。其次,，蝴蝶算法中適應(yīng)度最高的蝴蝶是種群中的最優(yōu)值,，類似于粒子濾波算法中具有最大重要性權(quán)重的粒子最可能處于真實(shí)的后驗(yàn)分布。

本文將蝴蝶算法優(yōu)化思想引入粒子濾波采樣過程,，提高粒子濾波性能,。但是如果直接將蝴蝶優(yōu)化算法與粒子濾波結(jié)合，會導(dǎo)致許多的問題,，所以引入蝴蝶算法優(yōu)化粒子濾波的過程中需做如下修改：

（1）常規(guī)粒子濾波的重要性概率密度選取的是先驗(yàn)概率密度,，丟失了當(dāng)前時(shí)刻的觀測值，所以在計(jì)算蝴蝶的適應(yīng)值時(shí)利用最新時(shí)刻的觀測值,。因此,，計(jì)算蝴蝶的適應(yīng)值方程定義為:

其中，R_k是觀測噪聲方差,，z_new是最新的觀測值,，z_pred表示預(yù)測的觀測值。

（2）在蝴蝶的移動過程中,，每一只蝴蝶都會向當(dāng)前已知最優(yōu)值逼近,。而在蝴蝶算法的全局搜索方程中g(shù)*-xti已經(jīng)確定了蝴蝶的移動方向，但是當(dāng)Lévy飛行出現(xiàn)負(fù)值時(shí),，蝴蝶卻會朝著最優(yōu)值反方向移動,，造成無效的重復(fù)計(jì)算。因此,，應(yīng)對Lévy飛行取絕對值,。改進(jìn)后的全局搜索方程變?yōu)?

（3）在蝴蝶算法的全局搜索方程式(18)和局部搜索方程式(15)中，當(dāng)Lévy飛行值和Fi值太小時(shí)會導(dǎo)致蝴蝶的位置基本不移動,，造成無效的位置更新,。所以當(dāng)蝴蝶更新的位移太小時(shí)需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄U(kuò)大。

綜上,，引入蝴蝶算法優(yōu)化后的粒子濾波(BA-PF)具體實(shí)現(xiàn)如下：

(1)初始化,。選取先驗(yàn)概率作為重要性概率密度函數(shù)，從重要性函數(shù)中產(chǎn)生N個(gè)粒子組成粒子群，所有粒子的權(quán)值為1/N,。設(shè)置迭代次數(shù)T,、搜索切換概率p等參數(shù)。

(2)預(yù)測,。通過式(1)計(jì)算狀態(tài)的預(yù)測值,。

(3)尋找最優(yōu)值。把粒子濾波中的每一個(gè)粒子看作蝴蝶算法中的一只蝴蝶,。通過適應(yīng)度函數(shù)式(17)計(jì)算每一個(gè)粒子的適應(yīng)度值,，并通過式(19)找到全局最優(yōu)的粒子g*，即適應(yīng)度值最大的蝴蝶,。

(4)利用式(13)計(jì)算每一個(gè)粒子的香味F_i,，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)r用以決定粒子利用式(18)進(jìn)行全局搜索，或者利用式(16)進(jìn)行局部搜索,。當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到最大次數(shù)M時(shí),，停止迭代。

(5)更新優(yōu)化后粒子的重要性權(quán)重并歸一化,。

(6)重采樣,。若有效粒子N_eff小于有效樣本閾值N_th，即時(shí),，則進(jìn)行重采樣,。得到新的粒子集。

(7)狀態(tài)估計(jì),。利用進(jìn)行狀態(tài)估計(jì),。

(8)判斷算法是否繼續(xù)，若繼續(xù),，則返回步驟（2）,，否則算法結(jié)束。

3  實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

實(shí)驗(yàn)硬件環(huán)境為筆記本電腦(Intel Core i7處理器,、16 GB內(nèi)存),，實(shí)驗(yàn)軟件環(huán)境為MATLAB 2016a。為了驗(yàn)證改進(jìn)粒子濾波的有效性,，將蝴蝶優(yōu)化粒子濾波算法(BA-PF)與常規(guī)粒子濾波(PF)和基于無跡卡爾曼濾波優(yōu)化的粒子濾波(UPF)進(jìn)行對比,，本文采用文獻(xiàn)［9］中的非線性系統(tǒng),系統(tǒng)的狀態(tài)方程和測量方程為:

其中φ1=0.5,φ2=0.2,φ3=0.5,ξ=0.04，過程噪聲w取Gamma(3,2)的伽瑪噪聲,，觀測噪聲v取均值為零,、方差為0.000 1的高斯噪聲。采用3種算法對上述非線性模型系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)和跟蹤,。采用均方根誤差E_RMSE來度量各濾波算法的性能,。均方根誤差公式為:

實(shí)驗(yàn)算法參數(shù)設(shè)置值參考如表1所示,。

仿真在不同粒子數(shù)N=20、N=40,、N=100下對三種粒子濾波算法的濾波精度和運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行對比,，如表2所示。圖1為一次獨(dú)立仿真條件下粒子數(shù)N=20時(shí)三種粒子濾波算法的狀態(tài)估計(jì),，圖2為對應(yīng)仿真運(yùn)行中三種粒子濾波算法的估計(jì)誤差絕對值,。

由圖1、圖2和表2可以看出,，BA-PF算法的均方根誤差明顯小于PF算法和UPF算法,，同時(shí)BA-PF算法在粒子數(shù)較少時(shí)就能具有很高的濾波精度，這主要是因?yàn)锽A-PF算法能夠驅(qū)動無效粒子向似然概率高的區(qū)域移動,，增強(qiáng)了粒子的作用效果,。而PF算法在粒子數(shù)量較少時(shí)，容易失去狀態(tài)估計(jì),，如從時(shí)間點(diǎn)t=16到t=22。UPF因?yàn)橐霟o跡卡爾曼濾波,，所以濾波精度較PF算法有所提高,，但是低于BA-PF算法的濾波精度。

為了測試不同粒子濾波算法的魯棒性,，獨(dú)立仿真在時(shí)間點(diǎn)t=40和t=45時(shí)刻設(shè)置狀態(tài)發(fā)生的突變,，幅值為15。圖3為粒子數(shù)N=20并且發(fā)生突變后三種粒子濾波算法的狀態(tài)估計(jì)結(jié)果,，圖4為相應(yīng)三種粒子濾波算法的估計(jì)誤差絕對值,。從表2中還可知，BA-PF算法的執(zhí)行時(shí)間稍微高于PF算法,，但是遠(yuǎn)低于UPF算法的執(zhí)行時(shí)間,。

從圖3和圖4可以看出在t=40和t=45時(shí)刻狀態(tài)值發(fā)生躍變，PF算法和UPF算法都發(fā)生了明顯的估計(jì)偏差,，其中又以PF算法最為明顯,。而BA-PF算法由于引入Lévy隨機(jī)飛行，避免了局部最優(yōu)問題,，沒有發(fā)生明顯偏差,，這說明BA-PF算法對系統(tǒng)狀態(tài)突變的適應(yīng)性強(qiáng)，算法魯棒性高,。綜上,，由于BA-PF算法在重要性采樣過程中引入蝴蝶優(yōu)化算法，有效改善了粒子退化現(xiàn)象,，提高了濾波精度,。

4  結(jié)論

本文提出了一種基于蝴蝶優(yōu)化的粒子濾波算法,，引入蝴蝶算法優(yōu)化常規(guī)粒子濾波的重要性采樣過程，驅(qū)動遠(yuǎn)離真實(shí)狀態(tài)的粒子向真實(shí)狀態(tài)可能性較大的區(qū)域移動,，從而有效改善了粒子濾波存在的粒子退化問題,，提高了粒子濾波的濾波精度。同時(shí)通過蝴蝶搜索模式的切換和Lévy隨機(jī)飛行使BA-PF算法避免陷入局部最優(yōu),。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,，BA-PF算法在粒子數(shù)量少量的情況下能實(shí)現(xiàn)有效濾波，比PF算法具有更好的濾波性能,，算法魯棒性高,。

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（收稿日期：2018-03-27）

作者簡介：

劉云濤（1991-），男,，碩士,，主要研究方向：嵌入式系統(tǒng)、人工智能,。