0 引言

    氣候變化對(duì)人類的生產(chǎn)生活,、政治經(jīng)濟(jì)、科技等方面影響巨大,。地球系統(tǒng)模式（Earth System Models,，ESMs）是基于動(dòng)力、物理,、化學(xué)、生物過(guò)程及其相互間的能量物質(zhì)交換構(gòu)建的一系列數(shù)學(xué)物理模型,，是預(yù)測(cè)未來(lái)氣候變化的重要工具^[1],。模式中含有大量取值不確定的參數(shù)，會(huì)極大影響地球系統(tǒng)模式的模擬性能^[2],。然而隨著模式發(fā)展,，不確定參數(shù)越來(lái)越多^[3]，這導(dǎo)致參數(shù)不確定性分析難以實(shí)施,。其原因一方面是參數(shù)空間隨著參數(shù)數(shù)量增加呈指數(shù)增長(zhǎng),，計(jì)算成本不可接受；另一方面是由于地球系統(tǒng)模式強(qiáng)非線性,，參數(shù)間存在復(fù)雜的交互關(guān)系,。因此,，通過(guò)篩選重要參數(shù)來(lái)減少待研究參數(shù)個(gè)數(shù)是參數(shù)不確定性分析的重要步驟，是提高地球系統(tǒng)模式模擬性能的關(guān)鍵,。

    參數(shù)敏感性分析方法（Sensitivity Analysis,，SA）是一類傳統(tǒng)的參數(shù)篩選方法^[4]。其中基于方差分解的Sobol′方法應(yīng)用普遍,，許多研究表示它是一個(gè)里程碑,，能提供最準(zhǔn)確和魯棒的結(jié)論^[5-6]。然而傳統(tǒng)SA并沒(méi)有考慮隨著不敏感參數(shù)的剔除,，參數(shù)敏感性信息不斷改變^[7],，這有可能導(dǎo)致參數(shù)篩選結(jié)論不可靠。

    本文首先驗(yàn)證了這種篩選偏差的存在,，其次提出了動(dòng)態(tài)敏感性分析方法(Dynamic Sensitivity Analysis Method,，DSAM)。它利用全連接的超圖結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)參數(shù)的敏感性信息,，將參數(shù)篩選問(wèn)題轉(zhuǎn)換為最密子圖的識(shí)別問(wèn)題,。最后將DSAM應(yīng)用于兩個(gè)模型：一般非線性數(shù)學(xué)函數(shù)、單柱大氣模式,。通過(guò)對(duì)比,，驗(yàn)證了DSAM比傳統(tǒng)Sobol′方法能更有效地識(shí)別重要參數(shù)。

1 傳統(tǒng)敏感性方法的參數(shù)篩選問(wèn)題

    本文利用Ishigami函數(shù)進(jìn)行兩次敏感性分析,，結(jié)果如圖1所示,。第一次擾動(dòng)全參數(shù)集，它的結(jié)果是傳統(tǒng)Sobol′的篩選結(jié)果,。第二次固定不敏感參數(shù)x₃不變,，只對(duì)剩余參數(shù)子集進(jìn)行擾動(dòng)，使有關(guān)x₃的交互敏感性消失,，最敏感的參數(shù)會(huì)變?yōu)閤₂,。這說(shuō)明參數(shù)篩選過(guò)程中非敏感參數(shù)的剔除會(huì)通過(guò)交互作用動(dòng)態(tài)影響到其他參數(shù)的敏感性。

2 動(dòng)態(tài)敏感性分析方法

2.1 敏感性超圖構(gòu)建

    敏感性超圖是一個(gè)全連接,、權(quán)重全為正實(shí)數(shù)且含超邊的圖,。超邊代表連接兩個(gè)以上節(jié)點(diǎn)的邊。節(jié)點(diǎn)代表參數(shù),，點(diǎn)權(quán)代表主敏感性,，邊權(quán)代表交互敏感性，超邊權(quán)代表二階以上的高階交互敏感性,。實(shí)際高于二階的交互敏感性太小可以忽略^[9],，因此本文只計(jì)算二階交互敏感性。

    基于方差分解(如式(2)所示)可計(jì)算傳統(tǒng)Sobol′方法的三類敏感性和參數(shù)組合的組合敏感性(如式(6)所示),。顯然全參數(shù)的組合效應(yīng)接近1,。

2.2 最密k階子圖搜索

    給定子圖中節(jié)點(diǎn)數(shù)量k,，最密k階子圖就是其中權(quán)重最大的子圖。本文基于深度優(yōu)先搜索算法(Depth-First-Search,，DFS)遞增式搜索最密子圖,，即k從1遞增到n-1過(guò)程中，對(duì)每個(gè)k值進(jìn)行一次k階最密子圖的搜索,。遞增式搜索的停止條件是當(dāng)前k階最密子圖的權(quán)重接近原始圖的總權(quán)重,，如80%。由于敏感性超圖的總權(quán)重為1,，因此停止標(biāo)準(zhǔn)可設(shè)置為0.8,。

3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/strong>

3.1.1 數(shù)學(xué)函數(shù)

    Moon10hd是一個(gè)含有20個(gè)參數(shù)的高維非線性函數(shù)^[10]，如式(7)所示,。它含有線性項(xiàng),、二次指數(shù)項(xiàng)和二階交互項(xiàng)，其中θ(x_i)中含有大量的小系數(shù)項(xiàng),。本文利用Moon10hd的100 000個(gè)樣本進(jìn)行分析,。

3.1.2 單柱大氣模式

    單柱大氣模型（Single-column Community Atmosphere Model，SCAM）用于模擬一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的大氣物理過(guò)程^[11],。本實(shí)驗(yàn)限制網(wǎng)格點(diǎn)在澳大利亞北部,，模擬時(shí)間是從2006年1月18日至2月13日。觀測(cè)資料來(lái)源于該地區(qū)6個(gè)無(wú)線電探空站每3小時(shí)收集到的觀測(cè)數(shù)據(jù),。參數(shù)和輸出變量見(jiàn)表1,、表2。模式結(jié)果如式(8)所示,，代表N個(gè)輸出變量與觀測(cè)的平均偏差,。本文利用了SCAM模擬的10 000次樣本。

3.2 參數(shù)篩選結(jié)果評(píng)估方法

    本文利用傳統(tǒng)Sobol′與DSAM的篩選結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,。變量wDiff(Weighted Difference)用于量化評(píng)估參數(shù)篩選結(jié)果的差異,。當(dāng)差異小于0.01 時(shí)可視為敏感性指標(biāo)不變，所以當(dāng)wDiff低于1% 時(shí),，可認(rèn)為兩個(gè)篩選結(jié)果近似相同,。

    參數(shù)篩選要為后續(xù)參數(shù)不確定性分析（如參數(shù)取值優(yōu)化）提供待研究參數(shù)。當(dāng)固定待優(yōu)化參數(shù)的數(shù)量時(shí),，對(duì)更敏感參數(shù)調(diào)優(yōu)更有可能達(dá)到更佳的優(yōu)化效果。協(xié)方差矩陣適應(yīng)演化策略(CMA-ES)是一類經(jīng)典的優(yōu)化方法,。本文分別將Sobol′和DSAM的篩選結(jié)果應(yīng)用于CMA-ES調(diào)優(yōu),，若優(yōu)化后模式結(jié)果越低，篩選結(jié)果越有效,。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

    圖2(a)和圖3(a)顯示了傳統(tǒng)Sobol′方法對(duì)Moon10hd函數(shù),、SCAM模式的參數(shù)敏感性結(jié)論,，總敏感性最高的參數(shù)被篩選出來(lái)。圖2(b)和圖3(b)展示了DSAM的動(dòng)態(tài)篩選結(jié)果,。每列代表一個(gè)參數(shù),，從左到右按Sobol′的結(jié)果遞減地排序，實(shí)心表示參數(shù)被篩選出來(lái),，篩選出的敏感參數(shù)個(gè)數(shù)隨行號(hào)遞增,。最后一列是傳統(tǒng)Sobol′方法和DSAM篩選結(jié)果的量化差異(即式(9))。

    即使兩個(gè)篩選結(jié)果的組成成員大部分相似,，加權(quán)差異也可能很大,。對(duì)于Moon10hd的最敏感的兩個(gè)參數(shù)(如圖2(b)所示)，Sobol′和DSAM的篩選結(jié)果的量化差異高達(dá)29%,，而對(duì)于前3位敏感參數(shù),，篩選差異也超過(guò)10%。

    Sobol′和DSAM的篩選結(jié)論的不一致有助于發(fā)現(xiàn)潛在的關(guān)鍵過(guò)程,。文獻(xiàn)[12]認(rèn)為x₁₂是Moon10hd函數(shù)中的關(guān)鍵參數(shù),，而它甚至沒(méi)有出現(xiàn)在前3的敏感參數(shù)中。對(duì)于SCAM模型,，Sobol′剔除掉的不敏感參數(shù)x₁₃和x₁₅被DSAM識(shí)別為敏感,。從物理意義上分析，x₁₃(聚合冰收集率)影響冰的反射率,，進(jìn)而影響關(guān)鍵的輻射過(guò)程,。x₁₅(濕夾卷加強(qiáng)參數(shù))影響底部湍流，而x₁₉(上升穿透夾卷率)代表更高層的濕氣夾卷,，較低位置的湍流過(guò)程更為重要,。

    圖4、圖5分別顯示了對(duì)DSAM和Sobol′的篩選結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化后的模型結(jié)果,，其中每個(gè)都分別選擇了大量參數(shù)集合和少量參數(shù)集合,。首先，當(dāng)優(yōu)化更多參數(shù)時(shí),，模式結(jié)果的優(yōu)化程度更好,，而調(diào)優(yōu)過(guò)程越不容易收斂。其次,，相比Sobol′,，DSAM的篩選結(jié)果能使結(jié)果收斂到更優(yōu)解，即相對(duì)于觀測(cè)的偏差更小,。由圖4可知,，DSAM識(shí)別到的Top2敏感參數(shù)的調(diào)優(yōu)效果比Sobol′的結(jié)果提升了38.5%，而所需迭代次數(shù)減少了26.6%,。同樣,，對(duì)于Top5重要參數(shù),，優(yōu)化效果提升了12.5%，迭代次數(shù)減少了36.1%,。

    盡管只有少量參數(shù)不同,，但參數(shù)調(diào)優(yōu)中優(yōu)化效果差別卻可能很大。在圖5(b)中,，14個(gè)參數(shù)中只有2個(gè)發(fā)生了替換,，即x₄和x₁₉替換為x₁₃和x₁₅，但調(diào)優(yōu)效果提升了65.2%,。

    因此,，無(wú)論從量化比較還是基于參數(shù)調(diào)優(yōu)應(yīng)用的評(píng)估，都證明了DSAM比傳統(tǒng)Sobol′更為有效,。

5 結(jié)論

    本文基于一個(gè)經(jīng)典數(shù)值函數(shù)說(shuō)明了參數(shù)交互作用對(duì)參數(shù)篩選過(guò)程的影響,，提出了一個(gè)基于動(dòng)態(tài)敏感性的篩選算法(DSAM)，并在兩個(gè)測(cè)試案例中,，分析對(duì)比了DSAM和傳統(tǒng)篩選方法的效果,。通過(guò)實(shí)驗(yàn)和分析，可得到如下結(jié)論：

    (1)參數(shù)交互作用在模式參數(shù)篩選過(guò)程中動(dòng)態(tài)變化,，對(duì)篩選結(jié)果有很重要的影響作用,。參數(shù)篩選實(shí)際是一個(gè)組合優(yōu)化問(wèn)題。 

    (2)DSAM算法利用圖結(jié)構(gòu)來(lái)存儲(chǔ)參數(shù)敏感性信息,，將參數(shù)篩選問(wèn)題轉(zhuǎn)換為遞增式搜索最密子圖問(wèn)題,。由于保證了動(dòng)態(tài)性，從理論上DSAM更適合參數(shù)篩選應(yīng)用,。

    (3)實(shí)驗(yàn)表示相比傳統(tǒng)方法,，DSAM的篩選結(jié)果量化差異可高達(dá)29%。這表明基于組合最優(yōu)和單一敏感性指標(biāo)的結(jié)論差異很大,。

    (4)針對(duì)參數(shù)調(diào)優(yōu)應(yīng)用,，即使篩選結(jié)果的組成差異很小，帶來(lái)的調(diào)優(yōu)效果差異可高達(dá)67%,。

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資助項(xiàng)目：國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目（2016YFA0602103）

作者信息:

黃  欣1，李倩玉2,，駱亦其3,，薛  巍1，2

（1.清華大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系,，北京100084,；2.清華大學(xué) 地球系統(tǒng)科學(xué)系，北京100084,；

3.北亞利桑那大學(xué) 生態(tài)系統(tǒng)科學(xué)與社會(huì)中心,，美國(guó) 弗拉格斯塔夫 86011）