0 引言
石英晶體振蕩器受制造工藝、器件老化以及外部溫度等因素影響,，其實(shí)際頻率值與標(biāo)稱頻率值存在偏差,。此外，晶體振蕩器內(nèi)部存在著各種噪聲也會使頻率值產(chǎn)生隨機(jī)起伏,，從而導(dǎo)致晶振頻率的準(zhǔn)確度和穩(wěn)定度降低,。當(dāng)前，國內(nèi)外在研究晶體振蕩器的老化和隨機(jī)噪聲,、分析晶振頻率誤差特性方面提出了很多方法,，比較常見的有時間對數(shù)線性模型法、自適應(yīng)濾波法及非線性時變預(yù)測法,。前兩種方法的缺點(diǎn)是參數(shù)較多,，選擇合適的參數(shù)較難，非線性時變預(yù)測法的模型描述能力強(qiáng),，但由于沒有函數(shù)參數(shù)的顯式表達(dá)式,，不能將模型求解歸結(jié)為參數(shù)求解問題，一般通過學(xué)習(xí)來逼近該函數(shù),，主要用于頻率變化的預(yù)測,。
在上述方法的基礎(chǔ)上，本文利用CPLD設(shè)計(jì)了一種電路,，該電路采用比時法來測量晶振頻率變化,，并根據(jù)其頻率隨時間變化擬合曲線的特點(diǎn)，用線性回歸法分析其頻率誤差特性,。該方法模型簡單,，參數(shù)易于估計(jì)，可通過簡潔的補(bǔ)償方法消除晶振相對頻偏,，具有實(shí)際的應(yīng)用價值,。
1 晶振頻率測量系統(tǒng)組成
測量系統(tǒng)由GPS接收機(jī)、晶振,、時差測量模塊,、時鐘產(chǎn)生模塊、計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)采集處理組成,。組成原理如圖1所示,。
GPS接收機(jī)每秒輸出1路TTL電平的標(biāo)準(zhǔn)秒脈沖(1 PPS),，晶振是時差測量和時鐘產(chǎn)生的頻率源。時鐘產(chǎn)生電路產(chǎn)生本地秒脈沖,。時差測量電路測量GPS秒脈沖與本地秒脈沖的相位差值,。
采用比時法測量晶振頻率的系統(tǒng)工作原理如下：首先由晶振分頻得到本地的1 Hz頻率源，將GPS秒脈沖與本地晶振秒脈沖送入時差測量模塊進(jìn)行相位比較,，得到兩者的相位差信號,，設(shè)計(jì)時間間隔計(jì)數(shù)器對此相差閘門信號計(jì)數(shù)，計(jì)數(shù)值即為晶振頻率相對于標(biāo)準(zhǔn)頻率的偏差,，反映了晶振頻率的誤差特征,。時間間隔計(jì)數(shù)器每秒測量一次兩者的偏差值，需要測量的頻差數(shù)據(jù)量由計(jì)算機(jī)設(shè)定,，測量結(jié)果傳送到計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),，并對晶振頻率誤差特性進(jìn)行分析。本地時鐘產(chǎn)生,、時差測量及數(shù)據(jù)采集電路模塊等都由CPLD設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn),。
2 模型建立
實(shí)驗(yàn)以GPS秒脈沖作為標(biāo)準(zhǔn)參考信號，采用比時法對晶振的輸出頻率進(jìn)行測量,。按照建立的測量系統(tǒng),，實(shí)際對某一晶振采集到30個計(jì)數(shù)值，如表1所示,。
表1中x表示測量的時間(單位：s),；y表示晶振脈沖計(jì)數(shù)個數(shù)。假設(shè)晶振在某秒計(jì)數(shù)值為M,，它的計(jì)數(shù)周期為T,，則MT為晶振秒脈沖與GPS秒脈沖的時間差值。例如在第6 s時測得計(jì)數(shù)值為470,，則表示在第6 s時晶振與GPS秒脈沖的時間差為470T,。為了研究時間x與計(jì)數(shù)個數(shù)y之間的關(guān)系,，用ORIGIN工具軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合處理,，得到的x，y,，關(guān)系曲線如圖2所示,。
從散點(diǎn)圖可以看出，測量計(jì)數(shù)值和測量時間大致呈線性關(guān)系,。據(jù)此假設(shè)這兩個變量之間的內(nèi)在關(guān)系是一條直線,，這些點(diǎn)與直線的偏離是由于測量過程中其他一些隨機(jī)因素的影響而引起的，這樣可以假設(shè)這組測量數(shù)據(jù)有如下結(jié)構(gòu)形式：
式中：ε1,，ε2,，…,，εN分別表示其他隨機(jī)因素對變量y1，y2,，…,，yN影響的總和，一般假設(shè)它們是一組相互獨(dú)立,，并服從同一正態(tài)分布N(0,，δ)的隨機(jī)變量。變量x在實(shí)驗(yàn)中為自然數(shù),，表示具體的秒脈沖數(shù)值,。這樣，變量y表示實(shí)際所測得的晶振與標(biāo)準(zhǔn)頻率的計(jì)數(shù)差值,，它是服從N(β+βx,，δ)的隨機(jī)變量。
用最小二乘法們來估計(jì)參數(shù)β0,，β,。設(shè)b0，b分別是參數(shù)β0,，β的最小二乘估計(jì),，于是得到一元線性回歸的回歸方程：
式中：b0，b是回歸方程的回歸系數(shù),，分別表示晶振相對于標(biāo)準(zhǔn)頻率的初始誤差和累積誤差,。應(yīng)用最小二乘法可求得回歸系數(shù)b，b0為：
3 數(shù)據(jù)分析與處理
3.1 回歸系數(shù)估計(jì)
為了定量分析數(shù)據(jù),，從而確定晶振頻率誤差的組成,，首先對上述測得的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理。實(shí)際測量中得到的是晶振脈沖的計(jì)數(shù)個數(shù),，設(shè)測量系統(tǒng)所用晶振頻率為10 MHz,，可將計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為晶振相對于標(biāo)準(zhǔn)時間每秒的時間之差。例如在x=30 s時,，y=2 349,，表示在第30 s時，晶振頻率相對于標(biāo)準(zhǔn)頻率的計(jì)數(shù)值為2 349,，若晶振頻率f=10 MHz,，則可得到在第30 s時晶振相對于GPS時間的誤差為t=y／f=234.9μs。
用Matlab對歸一化數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,，依照最小二乘原理,，得到計(jì)數(shù)時間x與時間差值y的均值，以及x的自相關(guān),、x和y的互相關(guān),、y的自相關(guān)及回歸方程如表2所示,。
以上求得了回歸方程，但是該方程是否基本上符合y與x之間的客觀規(guī)律,，是否符合晶振頻率誤差變化的實(shí)際特點(diǎn),，還需要對回歸方程做進(jìn)一步的分析。在回歸分析法中,，通常采用方差分析法們對回歸方程的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn),，其實(shí)質(zhì)是將N個測量值的影響從數(shù)量上區(qū)分開，然后用F檢驗(yàn)法對所求回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn),。
3.2 晶振頻率誤差數(shù)據(jù)方差分析及顯著性檢驗(yàn)
測量值y1,，y2，…,，yN之間的差異(稱為變差)是由兩方面的原因引起的,。一是自變量取值的不同，二是其他因素(包括試驗(yàn)誤差,、隨機(jī)誤差等)的影響,。為了對回歸方程進(jìn)行檢驗(yàn)，把兩者所引起的變差從y的總變差中分解出來,。根據(jù)上述數(shù)據(jù)可得：
式中：U稱為回歸平方和,，它反映了在y的總變差中由于x和y的線性關(guān)系而引起的y變化的部分；Q稱為殘余平方和,，即所有測量點(diǎn)距回歸直線的殘余誤差平方和,。
若總的平方和由N項(xiàng)組成，其自由度就為N-1,，總的離差平方和的自由度可分為回歸平方和的自由度υU和殘余平方和的自由度υQ之和,，即：
在一元線性回歸中，υU=1,，υS=N-1,，則Q的自由度υQ=N-2。由回歸平方和與殘余平方和的意義可知,，一個回歸方程是否顯著,，也就是y與x的線性關(guān)系是否密切，取決于U及Q的大小,，U愈大Q愈小,，說明y與x的線性關(guān)系愈密切。通?？梢圆捎肍檢驗(yàn)法來對方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。對于一元線性回歸,，將U及Q的值代入上式得到統(tǒng)計(jì)量F：
由F分布表可以查出,，F(xiàn)≥F0.01(1,，28)=7.64?？烧J(rèn)為回歸是高度顯著的,。
殘余平方和Q除以它的自由度υQ所得商：
稱為殘余方差，它可以看作排除了x對y的線性影響后,，衡量y隨機(jī)波動大小的一個估計(jì)量,。殘余方差的平方根：
稱為殘余標(biāo)準(zhǔn)差，它可用來衡量所有隨機(jī)因素對y一次性測量平均變差的大小,，σ愈小,，則回歸直線的精度愈高。
把平方和及自由度進(jìn)行分解的方差分析數(shù)據(jù)結(jié)果歸納在一個表格中,，如表3所示,。
從表3可以看出，在30 s時間內(nèi),，晶振實(shí)際頻率與其標(biāo)稱頻率的相對偏差引起的誤差平方和為1.377 18×105μs2,，其他各種隨機(jī)因素引起的誤差的平方和為1.996μs2。晶振相對頻偏引起的誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他因素引起的誤差,，表明了晶振頻率誤差貢獻(xiàn)主要來源于實(shí)際頻率與標(biāo)稱頻率之間的頻偏,。通過頻率修正即可得到一種高穩(wěn)定度的頻標(biāo)源。
4 結(jié)語
以上分析結(jié)果表明,，該晶振頻率誤差主要來源于實(shí)際頻率與標(biāo)稱頻率的相對偏差,，隨機(jī)誤差對晶振整體誤差的貢獻(xiàn)很小。通過對晶振標(biāo)稱頻率值進(jìn)行在線補(bǔ)償可以消除其相對頻偏,，從而獲得一種具有較高穩(wěn)定度的頻率源,，可為需要時間顯示的場所提供高精度的時間服務(wù)。