摘  要： 簡要介紹了小波分析基本理論中的小波變換和小波包變換，重點(diǎn)論述了小波分析在圖像降噪處理中的應(yīng)用及其算法流程,。在此基礎(chǔ)上,，利用Matlab R2007進(jìn)行了圖像去噪仿真測試，并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行了分析,。結(jié)果表明,，利用小波分析理論進(jìn)行圖像降噪處理，能夠取得較好的降噪效果,。
關(guān)鍵詞： 小波分析,；小波包分析；多分辨率分析,；圖像降噪,；Matlab

　由于各種隨機(jī)因素的影響，圖像在傳輸過程中經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生噪聲,，會(huì)對(duì)進(jìn)一步的邊緣檢測,、圖像分割、特征提取和模式識(shí)別等處理帶來諸多不便,，因此,，采用適當(dāng)?shù)姆椒p少噪聲是一項(xiàng)非常重要的圖像預(yù)處理步驟。經(jīng)典的降噪算法有均值濾波,、中值濾波,、高斯濾波和維納濾波等[1]，但這些算法使圖像變換后的熵增高,，細(xì)節(jié)部分丟失,，不能揭示圖像信息的非平穩(wěn)特性，也無法得到圖像信息的相關(guān)性,。
小波分析理論作為一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)分析工具,，近年來廣受關(guān)注,，其在圖像處理中的研究應(yīng)用也逐漸深入。小波變換特有的低熵性,、去相關(guān)性使得小波在圖像降噪處理方面比經(jīng)典的降噪算法更具優(yōu)勢,。本文對(duì)小波分析理論在圖像降噪方面進(jìn)行了深入研究，并利用Matlab R2007進(jìn)行圖像降噪仿真,，通過仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證小波分析理論在圖像降噪處理方面的效果,。
1 小波分析基本理論
　小波變換的基本思想是用一組函數(shù)序列表示或逼近待分析信號(hào)，與傳統(tǒng)的傅里葉分析相比,，小波變換在時(shí)域和頻域都具有表征信號(hào)局部特征的能力,，通過平移和伸縮能夠聚焦信號(hào)的任意細(xì)節(jié)并進(jìn)行時(shí)頻域處理，既可以看到信號(hào)的全貌,，又可以分析信號(hào)的細(xì)節(jié)，并保留數(shù)據(jù)的瞬時(shí)特性,，因此有“數(shù)學(xué)顯微鏡”之稱,。
1.1 小波變換
　小波變換的核心思想是多分辨率分析方法。在小波分解過程中,，將待分析信號(hào)通過小波分解成兩部分,，得到低頻系數(shù)向量和高頻系數(shù)向量，兩個(gè)連續(xù)的低頻系數(shù)之間損失的信息可以由高頻系數(shù)獲得,，然后將低頻系數(shù)向量繼續(xù)分解,，而高頻系數(shù)保持不動(dòng)。
對(duì)于圖像處理而言,，采用多尺度二維小波分解方法,，即二維多分辨率分析方法。每一次的分解結(jié)果包含低頻,、高頻水平分量,、高頻垂直分量、高頻對(duì)角分量四部分,，下一層變換分解是在低頻部分進(jìn)行的,，分解后的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1(a)所示。其中,，A是低頻系數(shù),，用于下一層的分解，H是高頻水平方向系數(shù),，V是高頻垂直方向系數(shù),，D是高頻對(duì)角線方向系數(shù)。

1.2 小波包變換
　給定正交小波函數(shù),，可以生成一組小波包基,，每個(gè)基都提供了一種特定的信號(hào)編碼方法,，它能保留信號(hào)的全部能量，并對(duì)信號(hào)的特征進(jìn)行準(zhǔn)確的重構(gòu),，這些小波包可以用于對(duì)給定信號(hào)進(jìn)行多種分析和解釋,。
正交小波分解過程是將低頻系數(shù)分為新的低頻系數(shù)向量和高頻系數(shù)向量兩部分，然后將新的低頻系數(shù)向量繼續(xù)分解,，而高頻系數(shù)保持不動(dòng),。而對(duì)于小波包分解來說，每個(gè)高頻系數(shù)向量也使用和低頻系數(shù)分解同樣的方法,，分成兩個(gè)部分,，這樣就提供了更為豐富的信號(hào)分析方法：在一維分析中產(chǎn)生了完整二叉樹，而在二維分析中產(chǎn)生了四叉樹[2],，圖1(b)所示是二維小波包四叉樹示意圖,。
小波包分析方法是多分辨率小波分析的推廣[2]，與小波分析相比,，小波包可以對(duì)信號(hào)的高頻部分進(jìn)行更加細(xì)致的刻畫,，具有更加精準(zhǔn)的局部分析能力，對(duì)信號(hào)的分析能力更強(qiáng),。
2 圖像的降噪處理
　圖像降噪在信號(hào)處理中是一個(gè)經(jīng)典問題,，傳統(tǒng)的降噪方法多采用平均或線性方法(如維納濾波)進(jìn)行，但降噪效果不夠好,。隨著小波理論的日益完善,，它以自身良好的時(shí)頻特性在圖像降噪領(lǐng)域受到越來越多的關(guān)注，開辟了用非線性方法降噪的先河[2],。
2.1 小波分析與圖像的降噪處理
　實(shí)際獲得的圖像一般都因受到某種干擾而含有噪聲,。引起噪聲的原因有敏感元器件的內(nèi)部噪聲、傳輸通道的干擾及量化噪聲等,。噪聲產(chǎn)生的原因決定了噪聲的分布特性及與圖像信號(hào)的關(guān)系[3],。對(duì)于圖像而言，信息主要分布在低頻區(qū)域,，噪聲主要分布在高頻區(qū)域,，而圖像細(xì)節(jié)也分布在高頻區(qū)域，傳統(tǒng)的低通濾波方法將圖像的高頻部分濾除,，雖然能夠達(dá)到降噪的目的,，但也破壞了圖像細(xì)節(jié)。利用小波理論可以構(gòu)造出一種既能降低圖像噪聲,，又能夠保持圖像細(xì)節(jié)信息的方法,。小波能夠降噪主要得益于小波變換的如下特點(diǎn)[2]：
　(1)低熵性。小波系數(shù)的稀疏分布,，使圖像變換后的熵降低,，也使信號(hào)和噪聲所在的頻帶得到了統(tǒng)計(jì)意義上的分離,。
　(2)多分辨率特性。采用多分辨率的方法可以非常好地刻畫信號(hào)的非平穩(wěn)性,，如突變和斷點(diǎn)等,。因此，可以在不同分辨率下根據(jù)信號(hào)和噪聲的分布去除噪聲,。
　(3)去相關(guān)性,。小波變換可對(duì)信號(hào)去相關(guān)，且噪聲在變換后有白化趨勢,，所以小波域比時(shí)域更利于去噪,。
　(4)基函數(shù)選擇靈活。小波變換可以靈活選擇基函數(shù),，也可以根據(jù)信號(hào)特點(diǎn)和降噪要求選擇多帶小波,、小波包等，對(duì)不同的場合,，可以選擇不同的小波母函數(shù),。
2.2 算法流程
　小波在圖像處理上的應(yīng)用思路主要采用將空間或時(shí)間域上的圖像數(shù)據(jù)變換到小波域上，成為多層次的小波系數(shù),，根據(jù)小波基的特性，分析小波系數(shù)的特點(diǎn),，針對(duì)不同需求處理小波系數(shù),，再對(duì)處理后的小波系數(shù)進(jìn)行逆變換，得到所需圖像,。小波閾值降噪是實(shí)現(xiàn)簡單而且效果較好的降噪方法,，可以通過二維的小波或小波包來實(shí)現(xiàn)。小波變換降噪算法流程如下：
　(1)選擇合適的小波和恰當(dāng)?shù)姆纸鈱哟?，?duì)圖像進(jìn)行小波分解,；
　(2)對(duì)分解后的高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化，對(duì)于分解的每一層,，選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)拈撝?，并?duì)該層高頻系數(shù)進(jìn)行軟閾值量化處理；
　(3)根據(jù)小波分解后的第N層近似(低頻系數(shù))和經(jīng)過閾值量化處理后的各層細(xì)節(jié)(高頻系數(shù)),，計(jì)算圖像的小波重構(gòu),。
　上述算法流程中，最關(guān)鍵是選擇閾值及進(jìn)行閾值量化,，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對(duì)小波分解系數(shù)的不同處理策略及估計(jì)方法,。常用閾值處理方法有3種：
　(1)默認(rèn)閾值消噪：用函數(shù)ddencmp生成默認(rèn)閾值，再用函數(shù)wdencmp進(jìn)行消噪處理,。
　(2)給定閾值消噪：利用經(jīng)驗(yàn)公式給定閾值,，這種閾值可信度比默認(rèn)閾值高,，用函數(shù)wthresh進(jìn)行閾值量化處理。
　(3)強(qiáng)制閾值消噪：直接將小波分解后的高頻系數(shù)全部置零,，即濾除所有的高頻部分,，這種方法簡單，但容易失去圖像中的有用成分,。
　圖像的小波包降噪和小波降噪算法思想基本相同,，此處不再贅述。另外,，在進(jìn)行小波包分解時(shí)可采用多種小波包基,，通常根據(jù)分析圖像的要求選擇最優(yōu)基，最優(yōu)基可以通過函數(shù)besttree進(jìn)行選擇,。
3 Matlab仿真與分析
　圖像一般是二維信號(hào),，需要采用二維小波工具進(jìn)行處理，本文用到的工具主要是二維小波變換和二維小波包變換,。本文利用Matlab R2007對(duì)圖像sinsin進(jìn)行降噪處理測試,，并對(duì)處理過程中發(fā)現(xiàn)的問題進(jìn)行分析總結(jié)。
3.1 圖像降噪處理的Matlab實(shí)現(xiàn)
　本文利用Matlab對(duì)圖像sinsin進(jìn)行默認(rèn)的閾值降噪處理,，原始圖像如圖2(a)所示,。首先在原始圖像中加入噪聲，加入噪聲后的圖像如圖2(b)所示,，再利用小波處理函數(shù)wdencmp進(jìn)行降噪處理,。處理之前，利用函數(shù)ddencmp尋找處理參數(shù),，默認(rèn)的參數(shù)如下：
　thr=4.4174(thr為這全局閾值),；
　sorh=s(軟硬閾值選擇，s為軟閾值),；
　keepapp=1(是否對(duì)低頻系數(shù)進(jìn)行處理,，1為否)。
　降噪過程中,，小波分解使用小波‘sym4’,，執(zhí)行到第二層。降噪處理后的圖像如圖2(c)所示,。

　利用小波包的處理過程與上述過程類似,，不同的是降噪函數(shù)選用的是小波包處理函數(shù)wpdencmp，默認(rèn)的處理參數(shù)如下：
　thr=4.968 5,；
　sorh=h(硬閾值),；
　keepapp=1；
　crit=sure(熵名稱)。
　降噪過程中,，小波包分解使用小波“sym4”,，執(zhí)行到第3層。降噪處理后的圖像如圖2(d)所示,。

3.3 結(jié)果分析
　使用閾值降噪處理不可避免會(huì)造成圖像細(xì)節(jié)小程度上的丟失,，因此，在降噪過程中需要考慮降噪與所保留圖像細(xì)小變化之間的權(quán)衡問題,。從圖2可以看到,，對(duì)同一幅圖像，小波變換和小波包變換兩種方法都不同程度地降低了圖像質(zhì)量,，但由于對(duì)高頻細(xì)節(jié)部分的處理不同,，圖像平滑度上也呈現(xiàn)明顯的不同。
分析圖3,、圖4可知,，整個(gè)處理過程中，自適應(yīng)濾波對(duì)高斯噪聲的去除效果較好,，而中值濾波對(duì)含有椒鹽噪聲的圖像處理效果明顯,。利用小波變換和小波包變換，采用的閾值處理方法有軟,、硬兩種,。硬閾值處理可以很好地保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會(huì)出現(xiàn)偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真現(xiàn)象[4],，而軟閾值處理相對(duì)較平滑,，處理得到的信號(hào)和原始信號(hào)具有同樣的光滑性[5]，但可能會(huì)造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象[4],。雖然自適應(yīng)濾波和中值濾波對(duì)高斯噪聲和椒鹽噪聲的去除各具優(yōu)勢,，但對(duì)于含有多種噪聲的圖像而言,，小波變換和小波包變換還是更勝一籌,。
　在利用Matlab進(jìn)行默認(rèn)閾值處理的過程中，本文利用ddencmp函數(shù)尋找默認(rèn)的處理參數(shù),，在處理過程中,，隨著所加噪聲強(qiáng)度的變化，小波變換尋找的默認(rèn)全局閾值也呈現(xiàn)出波動(dòng),，而小波包變換的處理過程中則并非如此,。另外需要說明的是，降低圖像的噪聲,，對(duì)于保證圖像質(zhì)量,，進(jìn)行圖像壓縮也是一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。
圖像信息在現(xiàn)代生活中占據(jù)著舉足輕重的地位,，隨著小波分析理論的不斷發(fā)展,，其在圖像處理中的應(yīng)用越來越多,。本文對(duì)小波分析理論進(jìn)行深入研究，將小波分析理論與圖像降噪處理相結(jié)合,，利用Matlab R2007進(jìn)行圖像降噪處理仿真,，并以數(shù)據(jù)、圖像等形式給出處理結(jié)果,，通過對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析,，驗(yàn)證了用小波分析理論進(jìn)行圖像降噪處理能取得較好的效果。當(dāng)然,，圖像降噪僅僅是小波分析理論在圖像處理應(yīng)用中很小的一部分,，其在圖像的壓縮、增強(qiáng),、平滑,、融合、視頻圖像分析等方面也具有更加廣泛而深刻的應(yīng)用價(jià)值,。
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