摘 要： 壓縮感知打破了傳統(tǒng)采樣定理的限制,，提供了一種從少量的非自適應(yīng)線性測量值中就能恢復(fù)原始信號的方法。測量矩陣正是獲取這些測量值的關(guān)鍵所在,，尋求結(jié)構(gòu)簡單,、性能穩(wěn)定的測量矩陣一直是研究人員的目標(biāo)。在介紹壓縮感知測量矩陣的基礎(chǔ)上,，提出了廣義輪換矩陣的改進方法,，結(jié)合正交基線性表示的思想，利用廣義輪換構(gòu)造的正交矩陣來生成新的測量矩陣,。通過仿真實驗,，證明了新的測量矩陣具有較好的性能。
關(guān)鍵詞： 壓縮感知,；稀疏信號,；測量矩陣；廣義輪換矩陣,；正交基
2004年,，Donoho D[1]和Candès E[2]等人在泛函分析和逼近論的基礎(chǔ)上，結(jié)合信號稀疏表示理論提出了一個全新的信號采樣理論,，即壓縮感知CS(Compressed Sensing)[1-2]。與傳統(tǒng)的Nyquist采樣定律不同,，壓縮感知同時完成了對信號的采樣和壓縮,，在信號的采樣階段就很好地避免了大量冗余數(shù)據(jù)的產(chǎn)生。壓縮感知一經(jīng)提出,，就引起人們的廣泛關(guān)注,，在信息技術(shù)飛速發(fā)展的今天，有著廣闊的發(fā)展前景,。在壓縮感知理論中,，信號的采樣速率不再取決于信號的帶寬，而是取決于信號本身的結(jié)構(gòu)和特性(稱為稀疏性,，或可壓縮性),。其核心思想是：當(dāng)信號具有稀疏性或可壓縮性時，就可以通過一個非自適應(yīng)的線性測量過程將原信號映射到低維空間,，得到少量的測量值,，然后通過求解一個稀疏最優(yōu)化問題就可以恢復(fù)原始信號。
總地來說,，壓縮感知過程包括3個主要問題：信號的稀疏表示,、信號的線性測量和信號的重建。本文主要研究信號的線性測量，并介紹壓縮感知測量矩陣,。
(1)隨機測量矩陣：如高斯矩陣[1,，4]、貝努利矩陣[4]等,。隨機矩陣可以用較少的采樣值獲得精確的重建,，但是隨機測量矩陣自身存在的不確定性會給矩陣存儲和硬件實現(xiàn)帶來困難，也會造成仿真實驗的不確定性,。
(2)確定性測量矩陣：如多項式測量矩陣[5]等,。相比隨機測量矩陣，確定性測量矩陣可以節(jié)省存儲空間,，易于硬件實現(xiàn),，也更易于設(shè)計快速算法，但是其重建效果較差,，精確重建需要的測量值較多,。
(3)部分隨機測量矩陣：如部分正交矩陣[6]、部分哈達(dá)瑪矩陣[4],、托普利茲和輪換矩陣[7]等,。部分隨機矩陣既有部分的隨機性，又兼具一定的確定性,，性能較好,，硬件實現(xiàn)也相對容易。
3 仿真實驗和結(jié)果
為了驗證構(gòu)造的新測量矩陣的性能,，采用Matlab圖像庫中提供的標(biāo)準(zhǔn)256×256 Lena圖像進行仿真實驗,。首先利用小波變換對原圖像進行稀疏化處理，然后分別選用新矩陣,、部分哈達(dá)瑪,、托普利茲、廣義輪換,、部分正交等測量矩陣對稀疏化后的圖像進行測量,，最后采用OMP[10]重建算法對壓縮后的圖像信號進行恢復(fù)，得到恢復(fù)圖像,。針對壓縮比M/N≤0.5的情況,，得到圖1所示的峰值信噪比(PSNR)性能比較圖。
由實驗結(jié)果可以看出,，廣義輪換矩陣的性能要優(yōu)于其他測量矩陣,，而因為新的測量矩陣是由廣義輪換矩陣改進了向量原子后得到的，所以針對不同的壓縮比,，新矩陣的性能變化曲線與廣義輪換矩陣相似,，但整體性能要比廣義輪換矩陣高出3 dB左右,。在壓縮比較小時，新矩陣相比于其他測量矩陣具有更突出的優(yōu)勢,，驗證了確定數(shù)+高斯隨機數(shù)的偽隨機數(shù)更適合這種壓縮比較小的情況,。整體而言，對于壓縮比M/N≤0.5的情況,，新的測量矩陣在和其他部分測量矩陣的對比中表現(xiàn)出了更好的性能,。
圖2給出了256×256 Lena圖像的原始圖像和利用新的測量矩陣測量后恢復(fù)的圖像，此處選擇壓縮比M/N=0.5,，此時的峰值信噪比PSNR達(dá)到了30.28,。
本文旨在研究壓縮感知中的測量矩陣，改進了廣義輪換矩陣的向量原子,，結(jié)合正交基線性表示的構(gòu)造方法,，提出用確定數(shù)+隨機數(shù)的偽隨機數(shù)作為正交基系數(shù)，構(gòu)造了新的測量矩陣——基于正交基線性表示的二進制生成矩陣,。首先,，改進廣義輪換矩陣向量原子，采用二進制1和0交替的向量原子,，矩陣更稀疏,，硬件實現(xiàn)更簡單；然后,，結(jié)合正交基線性表示的思想,，將廣義輪換構(gòu)造的正交矩陣作為正交基，針對M/N≤0.5的情況,，提出采用確定數(shù)+隨機數(shù)組合的偽隨機數(shù)作為線性系數(shù),，構(gòu)造出新的測量矩陣。選擇二維圖像數(shù)據(jù)進行仿真實驗,，應(yīng)用不同測量矩陣進行對比，實驗結(jié)果顯示新的測量矩陣擁有更好的性能,。
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