0 引言

    里得-所羅門碼(Reed-Solomon,，RS)是由REED I S和SOLOMON G在1960年提出的一種特殊的非二進制BCH碼^[1],，是所有(n，k)線性分組碼中糾錯能力最強的碼型,，可同時糾正隨機錯誤和突發(fā)錯誤,。隨著大規(guī)模集成電路技術(shù)的發(fā)展，RS碼憑借其優(yōu)異的性能廣泛應(yīng)用于深空通信,、移動通信,、軍用通信、光纖通信,、磁盤陣列及光存儲等領(lǐng)域,，另外RS編碼也可應(yīng)用于保密通信中^[2-8],。

1 RS編碼原理

    對于碼長為n=2^m-1(n>2)的RS(n，k)碼,，其碼元符號均取GF(2^m),，其信息段具有k個符號，監(jiān)督段具有n-k個符號,，可糾正t個突發(fā)錯誤,，其生成多項式為：

    RS(n，k)編碼的碼多項式為：

其中,，r(x)為RS(n,，k)編碼的校驗多項式。

    在實際應(yīng)用中采用的RS碼均為系統(tǒng)碼,，c(x)可被g(x)整除,，mod為求余運算，則：

2 RS編碼電路

    根據(jù)RS編碼原理可知,，RS碼的編碼電路主要根據(jù)生成多項式g(x)進行設(shè)計,，實際應(yīng)用中的常用RS編碼電路^[10-14]如圖1所示。

    圖1中,， g_2t-1,，g_2t-2，…,，g₁,，g₀為生成多項式g(x)的系數(shù)：

    電路工作前將所有寄存器清零，開關(guān)SW₁接至mr處,，開關(guān)SW₂接至m處,，信息碼m_k-1，…,，m₁,，m₀依次進入編碼電路，并同時由輸出端進行輸出,。當m(x)送入電路后,，開關(guān)SW₁接至0處，開關(guān)SW₂接至r處,，依次輸出寄存器R_2t-1,，…，R₁,，R₀的值,，即校驗子r_n-k-1，…,，r₁,，r₀的值,，從而完成RS(n，k)編碼,。

3 基于FPGA的RS編碼優(yōu)化

其中,，矩陣C為乘法器因子矩陣。觀察RS編碼電路可知,，每個乘法器的系數(shù)g_k為固定值,，即RS編碼電路每個乘法器的乘法器因子為固定值。因此,，可以在編碼前根據(jù)生成多項式g(x)的系數(shù)g_2t-1,，g_2t-2，…,，g₁，g₀的值生成乘法器因子矩陣C^2t-1,，C^2t-2,，…，C¹,，C⁰用于后續(xù)的RS編碼,。例如，RS(255,，239)的生成多項式系數(shù)g₁₅=118,，對應(yīng)的乘法器因子矩陣C¹⁵為：

    由此證明通過乘法器因子矩陣可以把RS編碼中信息碼與生成多項式系數(shù)g_k在伽羅華域上的乘法轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)為信息碼數(shù)據(jù)位之間的加法運算。根據(jù)伽羅華域的加法運算法則,，信息碼數(shù)據(jù)位之間的伽羅華域加法運算在FPGA實現(xiàn)時可由異或操作(^)完成,，從而使得FPGA實現(xiàn)伽羅華域的乘法運算簡化，數(shù)據(jù)運算量減少,。

4 RS編碼優(yōu)化后的FPGA實現(xiàn)

4.1 乘法器因子求取模塊的FPGA實現(xiàn)

    在FPGA中實現(xiàn)GF(2⁸)域中RS(255,，239)乘法器因子求取的結(jié)果如圖3所示。

4.2 RS編碼的FPGA實現(xiàn)

    為了驗證乘法器因子模塊的有效性,，采用所得的乘法器因子進行RS編碼,，將編碼結(jié)果與MATLAB計算的理論結(jié)果進行對比驗證^[15]。

    RS編碼的RTL原理圖如圖4所示,，包括信息碼數(shù)據(jù)緩存模塊m_fifo,、控制模塊control、校驗碼生成模塊R_top,、編碼數(shù)據(jù)輸出模塊c_fifo,。其中，校驗碼生成模塊R_top中包含乘法器因子求取模塊,，由其完成乘法器因子的求取,。

    采用乘法器因子模塊所得的乘法器因子實現(xiàn)的RS(255,，239)編碼的測試結(jié)果如圖5所示。當輸入信息碼data_in為(1,，2,，3，…,，238,，239)時，校驗碼生成模塊R_top生成的16個校驗子為(37,，133,，225，126,，37,，59，132,，133,，56，168,，179,，4，9,，99,，79，148),。圖6為MATLAB對(1,，2，…,，239)進行RS(255,，239)編碼輸出的計算結(jié)果，將圖6的輸出結(jié)果與圖5的輸出碼字c進行對比,，可以驗證采用乘法器因子求取模塊實現(xiàn)的RS編碼無誤,。

4.3 乘法器因子求取模塊的適應(yīng)性驗證

    為了驗證乘法器因子求取模塊的適應(yīng)性，采用乘法器因子求取模塊完成RS(255,，223)的乘法器因子求取,，輸入data_in為(0，1,，2,，…，222)，RS(255,，223)編碼測試結(jié)果如圖7所示,，編碼輸出的32個校驗子為(102，212,，116,，164，159,，61,，229，39,，17,，244，245,，67,，253，18,，156,，217，115,，73，31,，174,，27，140,，69,，159，104,，219,，254，187,，173,，169，10,，116),。將編碼輸出與圖8所示RS(255，223)編碼計算結(jié)果進行比對,，可驗證編碼無誤,，證明采用乘法器因子求取模塊優(yōu)化的基于FPGA的RS編碼可適應(yīng)不同的生成多項式，完成有效RS編碼。

5 結(jié)論

    RS編碼是一類很好線性糾錯碼,，在工程實踐中有著廣泛應(yīng)用,。本文通過設(shè)計乘法器因子求取模塊，將RS編碼中信息碼與乘法器系數(shù)在伽羅華域上乘法轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)為信息碼數(shù)據(jù)位之間的加法運算,，降低FPGA實現(xiàn)時的運算復(fù)雜度,、減少運算量，且可根據(jù)不同的乘法器系數(shù)生成相應(yīng)的乘法器因子,，完成不同碼長和校驗子的RS編碼,，可廣泛應(yīng)用于短碼及中長碼通信領(lǐng)域，具有很好的實際應(yīng)用價值,。

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作者信息：

李錦明,，劉夢欣,，成乃朋

(中北大學 儀器與電子學院，山西 太原030051)