摘  要： 構造出了一個新的只含有一個非線性項的四維非線性動力學系統(tǒng),，研究了該系統(tǒng)的超混沌吸引子、Lyapunov指數(shù),、龐加萊映射圖等復雜動力學特征,，然后以Multisim電路仿真軟件為平臺進行了仿真實驗，驗證了超混沌系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象,。
關鍵詞： 一個非線性項,；混沌；四維超混沌系統(tǒng),；電路仿真

    混沌是指確定的宏觀的非線性系統(tǒng)在一定條件下所呈現(xiàn)的不確定的或不可預測的隨機現(xiàn)象,，是非線性動力系統(tǒng)所特有的一種復雜動力系統(tǒng)，混沌理論是20世紀繼相對論和量子力學之后的第三次科學革命,。自20世紀60年代Lorenz在一個三維自治系統(tǒng)首次發(fā)現(xiàn)混沌吸引子[1]以來,，混沌的研究者越來越多，使得混沌理論得到了迅速發(fā)展,。特別是20世紀90年代計算機科學的運用和發(fā)展以來,，人們對混沌的認識逐漸加深，其中代表性的有1999年陳關榮等發(fā)現(xiàn)的混沌吸引子Chen系統(tǒng)[2],，2002年呂金虎等[3]進一步發(fā)現(xiàn)的Lü系統(tǒng)以及2004年劉崇新等[4]提出的三維自治系統(tǒng),。
    近年來,，研究者構造了許多超混沌系統(tǒng)[5-7],，但對只含有一個非線性項的超混沌系統(tǒng)的研究不多，對這種超混沌系統(tǒng)的控制的研究更少,。本文首先構造了一個只有一個非線性項的四維超混沌系統(tǒng),，對其進行了復雜的動力學分析，同時,，給出了此超混沌系統(tǒng)的電路實現(xiàn)原理圖,，用Multisim電路仿真軟件進行了仿真實驗，證實了混沌系統(tǒng)的存在性,。
1 新超混沌系統(tǒng)的分析
1.1 超混沌系統(tǒng)數(shù)據(jù)模型
    混沌是非線性動力系統(tǒng)所特有的復雜動力系統(tǒng),，而含有非線性項是非線性動力系統(tǒng)的必要條件，故非線性項對能否出現(xiàn)混沌起著至關重要的作用,。構造出的只含有一個非線性項的新四維動力系統(tǒng)方程式為：
   
其中a=0.58,，其他所有狀態(tài)變量均為實數(shù)?？梢娤到y(tǒng)(1)只有一個非線性項,，通過Matlab仿真得到其三維相圖及各平面相圖如圖1～圖4所示,。

    觀察圖1～圖4的相軌跡圖可以推測系統(tǒng)(1)可能具有混沌的動力學特征。
1.2 系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)
    Lyapunov指數(shù)是定量描述混沌吸引子的相鄰軌線收縮或擴張的量,，混沌系統(tǒng)和超混沌系統(tǒng)很難區(qū)分,可以通過系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)來區(qū)分,。由參考文獻[7]可知，對于一個四維自治的系統(tǒng),在它的4個Lyapunov指數(shù)中,，當最大Lyapunov指數(shù)為零,，其他Lyapunov指數(shù)為負時，系統(tǒng)是周期的,；當2個最大的Lyapunov指數(shù)都為零,，其他Lyapunov指數(shù)為負時,系統(tǒng)是偽周期的；當最大的Lyapunov指數(shù)為正,，其他3個Lyapunov指數(shù)中有1個為零,，其余為負時，系統(tǒng)是混沌的,；當有2個最大的Lyapunov指數(shù)為正,，其他2個Lyapunov指數(shù)中有1個為零，有1個為負時,，系統(tǒng)是超混沌的,。運用Matlab計算出系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)，當t→∞時,，系統(tǒng)(1)的4個Lyapunov指數(shù)為：λL1=0.101 4,，λL2=0.014 0，λL3=0,，λL4=-0.646 2,。由此可知系統(tǒng)(1)是一個超混沌動力系統(tǒng)。
1.3 超混沌系統(tǒng)Poincare映射圖
    Poincare映射是一種經(jīng)典的分析動力系統(tǒng)的技術,，可以通過Poincare截面上截點的情況判斷是否發(fā)生混沌：當Poincare截面上有且僅有一個不動點或少數(shù)離散點時,，運動是周期的；當Poincare截面上是一封閉曲線時,，運動是準周期的,；當Poincare截面上是一些成片的具有分形結構的密集點時，運動是混沌的,。系統(tǒng)（1）在z=0截面的Poincare映射圖如圖5所示,。

    從圖5中可以觀察到截面上是一些成片的具有分形結構的密集點，可以明確知道系統(tǒng)是混沌的,，從而也驗證了1.2中的判斷,。
2 系統(tǒng)混沌模型電路仿真
    對超混沌系統(tǒng)(1)的電路進行了詳細推導，得到超混沌的電路數(shù)學模型為：
       

    該超混沌系統(tǒng)的實現(xiàn)電路如圖6所示,。

    分別在輸出端口處接入示波器,，得到系統(tǒng)對應圖2～圖4各相面的仿真相圖,，如圖7(a)～圖7(c)所示。
    通過觀察可以發(fā)現(xiàn),，圖7(a)～圖7(c)與圖2～圖4各相面的Matlab仿真圖一致,。

    本文構造了一個四維只含一個非線性項的動力系統(tǒng)，對該系統(tǒng)的相軌跡圖,、Poincare映射圖,、Lyapunov指數(shù)等復雜動力學特征進行分析和電路仿真實驗驗證，證實了只含一個非線性項超混沌系統(tǒng)的存在性,。
參考文獻
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[2] CHEN G R,，UETA T.Yet another chaotic attractor[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,，1999，9(7)：1465-1466.
[3] LV J H,，CHEN G R.A new chaotic attractor coined[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos,，2002，12(3)：659-661.
[4] LIU C X,，LIU L,，LIU T，et al.A new butterfly-shaped attractor of Lorenz-like system[J].Chaos,，Solitons and Fractals,，2006，28(5)：1196-1203.
[5] 王光義,，丘水生,，許志益.一個新的三維二次混沌系統(tǒng)及其電路實現(xiàn)[J].物理學報，2006,，55(7)：3295-3301.
[6] 賈紅艷,，陳增強,，袁著祉.一個大范圍超混沌系統(tǒng)的生成和電路實現(xiàn)[J].物理學報,，2009，58(7)：4469-4476.
[7] 周平,，危麗佳,，程雪峰.只有一個非線性項的超混沌系統(tǒng)[J].物理學報，2009,，58(8)：5201-5208.