為說明該方案的控制效果、現(xiàn)給出幾組仿真數(shù)據,，如表1所示,。表中，T_s為調節(jié)時間；σ為超調量,。

　　對象采用調節(jié)器參數(shù)K_p/K,、T_i×K、K_f/K,、T_d/K與對象采用調節(jié)器參數(shù)K_p,、T_i、T_d所產生的動態(tài)過程完全相同,，所以只對K＝1的情況做討論,。
　　根據大量仿真實驗數(shù)據，可總結出調節(jié)器參數(shù)整定經驗公式：
　　
　　利用上述經驗公式選擇的調節(jié)器參數(shù),，控制效果為σ≈5,、T_s≈T＋2τ。建議K_f選為0.5或0.6,，K_f取得太小不能顯著提高系統(tǒng)的響應速度,；取得太大，則會減小PID的控制作用,，系統(tǒng)產生偏差不能及時消除,。實驗數(shù)據表明：如果改變K_f為其它值，只需對T_i作適當修改即可達到較滿意的控制效果,。純滯后的對象不易使用微分,、所以T_d＝0。
　　下面進行具體驗證：
　　驗證1 對象傳遞函數(shù)" title="傳遞函數(shù)">傳遞函數(shù)為,，代入公式得：K_p＝0.31,，T_i＝204，T_d＝0,，K_f＝0.5,；控制效果為：t_r＝155s，σ＝5.5%,，T_s＝200s,。
　　驗證2 對象傳遞函數(shù)為，代入公式得：K_p＝0.223,，T_i＝555,，T_d＝0，K_f＝0.5,；控制效果為：t_r＝400s，σ＝9%,，T_s＝510s,。
2 高階對象的前饋PID控制
　　由很多慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)形成的高階對象，在工業(yè)過程中比較常見,。由高階引起的滯后使得這類對象用簡單PID控制難以得到較好的效果,。因此對這類高階對象采用前饋PID控制方案,、控制原理圖如圖2所示。

　　為說明該方案的控制效果,、表2給出了幾組仿真數(shù)據,。

　　高階對象的階躍響應曲線可以用的形式來近似，所以高階對象的調節(jié)器經驗整定公式可以由大延遲對象的經驗公式作修正獲得,，同樣只考慮K＝1的情形,，經驗公式如下：
　　
　　利用上述經驗公式選擇的調節(jié)器參數(shù)，控制效果為σ≈5%,、T_s≈1.5nT,。
　　具體驗證如下：
　　驗證1 對象傳遞函數(shù)為，代入公式得：K_p＝0.3,，T_i＝408,，T_d＝10，K_f＝0.5,；控制效果為：σ＝4.8%,，T_s＝280s。
　　驗證2 對象傳遞函數(shù)為,，代入公式得：K_p＝0.3,，T_i＝185，T_d＝4.5,，K_f＝0.5,；控制效果為：σ＝0.2%，T_s＝160s,。
3 非最小相位對象的前饋PID控制
　　PID控制非最小相位系統(tǒng)在控制工程中普遍存在,，如船舶航向控制系統(tǒng)、魚雷定深控制系統(tǒng),、水輪機控制系統(tǒng)等,。設計非最小相位控制系統(tǒng)必須滿足多方面的性能要求，這是一個長期懸而未決的問題^[7],。鑒于此問題的復雜性,，本文采用PID前饋控制(控制原理圖如圖3所示)，以驗證這一控制方案對非最小相位系統(tǒng)的有效性,。

　　這類NMP對象的傳遞函數(shù)為：
　　
　　同前面一樣只對K＝1情況進行討論,。
　　為說明該方案的控制效果、表3給出了幾組仿真數(shù)據,。

　　對文獻[5]中水輪機模型采用此方案也可得到較好的控制效果,。水輪機模型的傳遞函數(shù)為:
　　
　　控制器參數(shù)K_p＝1，T_i＝100，T_d＝4,，K_f＝0.6,；控制效果為：σ＝4%，T_s＝75s,。文獻[8]預設PID初值,，用控制規(guī)則自綜合法得到的控制效果為：σ＝1.2%，T_s＝99.5s,。
　　由實驗總結出的參數(shù)整定數(shù)據如表4所示,。

　　其中，T₀＝(T₁＋T₂＋T₃)/3,，由T/T₀的值可查得調節(jié)器的各個參數(shù),。利用上述經驗公式選擇的調節(jié)器參數(shù)，控制效果為：σ≈5%,、T_s≈(4.5T₀＋1.5T),。具體驗證如下：
　　驗證1 對上述的水輪機模型，采用表格數(shù)據整定參數(shù),。T₀＝(10＋15＋40)/3＝21.7,，由T/T₀＝2/21.7≈0.1，
　　由表格得K_p＝0.8,，T_i＝92.7,，T_d＝4，K_f＝0.5,；控制效果為：σ＝2%,，T_s＝90s。
　　驗證2 設對象數(shù)學模型為：

4 非線性對象的多級PID控制
　　PID對線性對象有較好的控制效果,，而非線性對象在一定范圍內可以近似為線性對象,，如果在整個變工況范圍內非線性對象不能近似為某一線性模型，它可以分階段地近似為線性對象,，這樣可以對不同運行階段采用不同參數(shù)的PID控制器,，從而達到整個過程較好的控制效果。本文對一漆包線熱處理系統(tǒng)的非線性模型采用這一控制方案加以驗證,，控制原理圖如圖4所示,。

　　PIDn后為實際微分，本次實驗的微分傳遞函數(shù)為,；“switch”模塊為開關切換控制,，它的輸入為設定值r、系統(tǒng)輸出y和控制量的變化率,，輸出為實際設定值rc和控制器的選擇信號(用虛線表示),。當y≈rc,、≈0時，開關根據r和rc的大小關系,、各個控制器的工作范圍決定下一個rc值及選定哪個控制器，最終使rc＝r,。
　　從文獻[5]得到漆包線熱處理系統(tǒng)從開工到進入工作點附近的數(shù)學模型如下：
　　

　　其中x₁表示被研究回路的輸出溫度,，x₂是溫度變化率，x₃是周圍環(huán)境的平均溫度,，參數(shù)a_i,、i(1、…,，5)用實驗得到的數(shù)據加以估計,。u表示模型輸入，y是模型輸出,。a_i,、i(1、…,，5)的數(shù)值分別為：－0.0028,，－0.045，0.0022,，－0.00608,，0.00176。環(huán)境溫度x₃取為25°C,。假定回路溫度需從環(huán)境溫度升到500°C,，實驗用五步完成升溫任務，先用PID1完成從25°C到100°C左右的升溫,，再用PID2使回路溫度達到200°C左右,，如此依次采用不同的PID將回路溫度快速、超調非常小地提升到給定溫度,。
　　這五個傳遞函數(shù)表示為各參數(shù)值如表5所示,。

　　多級PID(實際微分)控制與單個PID(實際微分)控制效果比較見圖5兩條仿真曲線。