在反饋電路的分析中,，如果前向放大倍數為Aopen,，反饋系數為β,，則閉環(huán)傳遞函數Aclose=Aopen/（1+Aopenβ），其中Aopenβ為環(huán)路增益,。 但是,，在Aopen和β的計算中均要考慮負載效應，即反饋網絡會成為前饋放大器的負載,，前饋放大器也會成為反饋電路的負載,。 負載效應會使Aopen和β的計算變得復雜。 另外,，在計算環(huán)路增益時,，也要特別考慮應該在何處斷開反饋，使環(huán)路增益的計算更加準確,。
本文介紹一種不需要斷開反饋環(huán)路的反饋分析方法——Bode 分析法。 此方法由H. W. Bode 在他的書Network Analysis and Feedback Amplifier Design 中提出,。
首先,，我們觀察這樣一件事情。 在前饋放大器中肯定會有晶體管存在,，也許在反饋網絡中也有晶體管（也有可能沒有）,，如果將其中一個晶體管的小信號模型重點畫出，則其構成的反饋電路如圖1所示,。 在圖1中,，反饋電路被建模為一個二端口網絡，其中的壓控電流源就是其中的一個晶體管。 由于小信號模型是線性模型,，因此vout與vin的關系可以寫為vout=Av,closevin,，其中Av,close為閉環(huán)電壓增益。
圖1 反饋電路的二端口模型
2 Bode分析法
如果將晶體管的模型進行修改,，將受控源修改為獨立源,，則其構成的反饋電路如圖2所示。 此時,，電路中的激勵除了vin之外還有i1,，因此有
圖2 將晶體管模型替換為獨立源后的反饋電路二端口模型
其中，系數A,、B,、C和D可以由下面四個式子算出：
從上面的四個式子可以看出，系數A和C是在將晶體管電流強制置零時計算得出的,，系數B和D是在輸入置零時得出的,。 進一步分析可以得出，系數A代表電路的直接饋通增益,，因為它是在將晶體管撤銷后的電路增益,，這個增益主要是由于反饋網絡的直接饋通效應所引入的； 系數D與該晶體管的返回比（return
ratio）有關,，因為它是輸入為0情況下晶體管柵源電壓v1與電流i1的比值,，如果將v1乘上晶體管的跨導gm，則gmv1這個量代表柵源電壓v1應當使晶體管產生多大的漏源電流,，猶如i1經過反饋環(huán)路一圈后在原位置處又產生的電流大小,，因此？gmv1/i1=–gmD可以理解為是“環(huán)路增益”（–gmD=環(huán)路增益是有條件的,，稍后會通過例子說明） ,，更準確的說法是該晶體管的return
ratio。
實際上i1并不是獨立源,，而是受控源,，其大小為i1=gmv1。 將i1=gmv1代入vout=Avin+Bi1和v1=Cvin+Di1,，可以得到閉環(huán)增益的表達式
上式即為使用Bode分析法得出的閉環(huán)增益公式,。 我們觀察上式可以得出如下結論：
（1）當gm=0時（gm=0代表將該晶體管撤掉）,，vout/vin=A,。 這更加直觀地說明了系數A代表電路的直接饋通增益。
?。?）如果A=0,，則vout/vin=gmBC/（1–gmD），這個表達式十分類似于通過傳統(tǒng)的反饋分析方法得出的閉環(huán)增益表達式vout/vin=Aopen/（1+loop
gain）。 事實上,，如果電路中只存在一種反饋機制,，并且我們所選擇的晶體管處于反饋環(huán)路中，則gmBC就是開環(huán)增益,，–gmD就是環(huán)路增益,。 另外，閉環(huán)增益表達式vout/vin=Aopen/（1+loop
gain）實際上忽略了反饋網絡的前饋效應,，即忽略了系數A,。
例1.利用Bode分析法計算圖3所示電路的閉環(huán)電壓增益（1種反饋機制，M2在反饋環(huán)路中,，M1不參與反饋）
圖3
該電路為兩級放大結構,，第一級為source follower，第二級為CS
stage,。第一級的電阻RS引入了電流-電壓反饋,，M2在該反饋環(huán)路中，而M1在反饋環(huán)路外,。我們首先選擇晶體管M1進行分析,。將M1的小信號電流i1置零，電阻RD上的電流為0,，因此vout=0,，系數A為
借助source follower的增益公式，可以得到
將vin置零,，可以得到
另外,，M1的return ratio為
閉環(huán)電壓增益
如果選擇晶體管M2進行分析，則M2的電流i2置零時,，流經RS的電流為0,，因此v1=0，id1=0,，vout=0,，則有
當vin置零時，有
M2的return ratio為
閉環(huán)電壓增益
通過以上計算,，并對比選擇M1和選擇M2計算的結果,，可以得到如下結論：
（1）盡管選擇不同晶體管計算得到的系數A~D可能不同,，但是閉環(huán)增益的結果是相同的。
?。?）不同晶體管的return
ratio可能不同,，這是由于不同的晶體管可能引入不同的反饋，或者一些晶體管不參與反饋（如本例子中的M1）。當晶體管處于反饋環(huán)路中時,，則該晶體管的return
ratio為該反饋環(huán)路的環(huán)路增益,。如果某個晶體管的return
ratio=0，則該晶體管不參與反饋,。本例子中M2引入電流-電壓反饋,，將輸出電流iout反饋為電壓vf，與輸入電壓vin作差后得到電壓ve,，如圖4所示,。其中，前向放大倍數Aopen=iout/ve=gm2,，反饋系數β=vf/iout=RS,，因此環(huán)路增益loop
gain=Aopenβ=gm2RS，與M2的return ratio相等,。
圖4 M2引入的電流-電壓反饋
例2.利用Bode分析法計算圖5所示電路的閉環(huán)增益（2種反饋機制,，M1和M2處于不同反饋環(huán)路中）
圖5
該電路中，M1既參與局部的電流-電壓反饋（與前一個例子中的source
follower引入的反饋一樣）,，又參與全局的電壓-電流反饋,，同時處在兩個反饋環(huán)路中；而M2只參與全局的電壓-電流反饋,。
如果選擇M1進行計算,，當i1=0時，流經電阻RS的電流為iin,，可以得到A和C的值
將iin置零,，可以得到B和D的值
M1的return ratio為
其中的gm1RS項與局部的電流-電壓反饋有關，gm1RSgm2RD項與全局的電壓-電流反饋有關,。閉環(huán)增益為
選擇M2進行計算可以得到系數A~D的值為
M2的return ratio為
閉環(huán)增益為
3 Blackman 阻抗定理
借助之前Bode 分析法的思想,，如果我們將輸出量定義為端口電壓vin，將輸入量定義為同一端口的電流iin,，如圖6所示,，則有
圖6 Blackman 阻抗定理推導所用的電路模型
這個端口的阻抗Zin=vin/iin，也可以看作是一種vin對于iin的“增益”,，因此有
為了使上式變得更加直觀,，我們定義開路環(huán)路增益（open-circuit loop gain，TOC）和短路環(huán)路增益（short-circuit
loop gain,，TSC）兩個量,。開路環(huán)路增益的定義為：當iin=0（端口開路）時，?gmv1/i1的值(回憶在第2節(jié)中,，return
ratio=?gmv1/i1可以理解為是環(huán)路增益）,，如圖7所示,。由于iin=0，則有
由此可以得到開路環(huán)路增益
圖7 開路環(huán)路增益的計算
類似地,，短路環(huán)路增益的定義為：當vin=0（端口短路）時,，？gmv1/i1的值,，如圖8所示,。由于vin=0，則有
由此可以得到短路環(huán)路增益
圖8 短路環(huán)路增益的計算
結合Zin,、TOC和TSC的表達式,，可以得到Blackman 阻抗定理：
其中A是當晶體管被撤掉時的端口阻抗，即開環(huán)端口阻抗,。因此要想計算端口阻抗,，只需要計算A、TOC和TSC即可,。另外,，我們知道：
（1）當反饋類型為電壓-電壓反饋或者電流-電壓反饋時,，反饋網絡向輸入端反饋電壓信號,，其與輸入端串聯(lián)，輸入阻抗Zin=Zin,open（1+T）,，其中T為環(huán)路增益,。
（2）當反饋類型為電壓-電流反饋或者電流-電流反饋時,，反饋網絡向輸入端反饋電流信號,，其與輸入端并聯(lián)，輸入阻抗Zin=Zin,open/（1+T）,。
?。?）當反饋類型為電壓-電壓反饋或者電壓-電流反饋時，反饋網絡檢測輸出端電壓信號,，其與輸出端并聯(lián),，輸出阻抗Zout=Zout,open/（1+T）。
?。?）當反饋類型為電流-電壓反饋或者電流-電流反饋時,，反饋網絡檢測輸出端電流信號，其與輸出端串聯(lián),，輸出阻抗Zout=Zout,open（1+T）,。
將這四個阻抗表達式與Blackman 阻抗定理相比較，可知：
?。?）在計算輸入阻抗時,，如果TOC=0,，則反饋網絡只向輸入端反饋電壓信號，反饋網絡與輸入端純串聯(lián),；如果TSC=0，則反饋網絡只向輸入端反饋電流信號,，反饋網絡與輸入端純并聯(lián),。
（2）在計算輸出阻抗時,，如果TSC=0,，則反饋網絡只檢測輸出電壓信號，反饋網絡與輸入端純并聯(lián),；如果TOC=0,，則反饋網絡只檢測輸出電流信號，反饋網絡與輸入端純串聯(lián),。
?。?）如果TOC和TSC均不為0，則既有電壓反饋,，又有電流反饋,。
4 漸進形式的閉環(huán)增益（Asymptotic Gain Form）
由第2節(jié)中推導得到的閉環(huán)增益表達式
再進行延伸。當gm=0時,，vout/vin=A,，因此將A記為H0。下標0代表其為gm=0時的閉環(huán)增益,。當gm→∞時,，vout/vin=A–BC/D，因此將A–BC/D記為H∞,，下標∞代表其為gm→∞時的閉環(huán)增益,。又有return
ratio的值T=–gmD，因此閉環(huán)增益可以表示為
因此得到閉環(huán)增益的漸進形式：
其中,，H0的意義為直接饋通增益,，H∞的意義為理想增益（即將放大器作虛短和虛斷處理后，得到的增益1/β）,。忽略反饋網絡的直接饋通時（H0=0）,，vout/vin=H∞T/（1+T），這與我們所熟知的公式vout/vin=A/（1+T）=（1/β）×T/（1+T）十分符合,。
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