摘  要： 采用基于信號(hào)處理領(lǐng)域最近興起的壓縮感知理論對(duì)NC-OFDM系統(tǒng)進(jìn)行信道估計(jì),，并將回溯迭代自適應(yīng)正交匹配追蹤算法（BAOMP）應(yīng)用到NC-OFDM系統(tǒng)的信道估計(jì)中，該算法在每次回溯迭代中核查所選原子的可靠性并刪除不可靠原子,。理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)表明,，BAOMP算法不但可以減少導(dǎo)頻的數(shù)目，而且其在保持OMP類算法優(yōu)點(diǎn)的同時(shí),，有著更好的重構(gòu)性能,，且不需要預(yù)先知道稀疏度K。

　　關(guān)鍵詞： 信道估計(jì),；壓縮感知,；NC-OFDM；BAOMP

　　無線通信中的傳播路徑非常復(fù)雜,，信號(hào)通常會(huì)有陰影衰落,、頻率選擇性衰落，而且會(huì)產(chǎn)生幅度,、相位失真等,。為了能從接收信號(hào)中準(zhǔn)確地恢復(fù)發(fā)送信號(hào)，就需要知道信道準(zhǔn)確的狀態(tài)信息,，因此進(jìn)行信道估計(jì)非常有必要,。

　　目前最常用的信道估計(jì)方法是基于導(dǎo)頻的信道估計(jì),，它通過估計(jì)混合在發(fā)送數(shù)據(jù)中的導(dǎo)頻數(shù)據(jù)的信道響應(yīng)，然后利用一些插值算法估計(jì)出數(shù)據(jù)的信道響應(yīng),。這種估計(jì)算法已相當(dāng)成熟,，如最小二乘算法（LS）、線性最小均方誤差算法（LMMSE）[1]等,。本文在基于導(dǎo)頻的信道估計(jì)方法中利用壓縮感知技術(shù)對(duì)NC-OFDM系統(tǒng)[2]進(jìn)行信道估計(jì),。

　　壓縮感知（CS）是一種全新的信息采集、編碼及解碼理論[3],，其核心思想是當(dāng)信號(hào)具有稀疏性時(shí),，將信號(hào)的采集、壓縮合并,，采集少量的信號(hào)投影,，然后通過一系列的解碼及信號(hào)重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)信號(hào)的近似重構(gòu)，從而降低信號(hào)采樣頻率和數(shù)據(jù)傳輸代價(jià),。目前基于貪婪迭代的匹配追蹤算法有MP[4],、OMP[5]、StOMP[6]等,，由于這些算法運(yùn)算量較小且容易實(shí)現(xiàn),，因此應(yīng)用較多。

　　1 NC-OFDM系統(tǒng)及其信道估計(jì)

　　NC-OFDM是基于認(rèn)知的OFDM,，它與OFDM最大的不同是通過動(dòng)態(tài)的頻譜感知模塊實(shí)時(shí)檢測(cè)周圍的頻譜環(huán)境,，動(dòng)態(tài)地調(diào)整子載波的分配，利用空閑頻譜進(jìn)行高速的數(shù)據(jù)傳輸,。本文假設(shè)信道為頻率選擇性慢衰落信道,，其離散時(shí)間模型可描述為：

　　其中，hk和?子k分別為第k條路徑的幅度和時(shí)延,，L為信道的多徑數(shù),。系統(tǒng)采用N點(diǎn)FFT，則接收端的N×1接收信號(hào)Y為：

　　Y=XH+n=XWh+n(2)

　　其中,，N×N矩陣X為用戶數(shù)據(jù)組成的對(duì)角陣,，h=[h1，h2,，…,，hL-1]T為信道沖擊響應(yīng)向量，N×1向量H為h的N點(diǎn)DFT,，N×1向量n為加性高斯白噪聲,，自相關(guān)矩陣為In。

　　P×N選擇矩陣S由N×N單位陣與導(dǎo)頻信號(hào)所在位置相對(duì)應(yīng)的P行構(gòu)成，它用來從N個(gè)子載波中選出P個(gè)導(dǎo)頻信號(hào)所在的位置,。則在接收端收到的導(dǎo)頻位置上的信號(hào)為：

　　Yp=Xp Hp+np=XpWp h+np(3)

　　其中,，P×1向量Yp=SY；P×P矩陣Xp=SXS′為發(fā)送端的導(dǎo)頻信號(hào),；P×1向量Hp=[H(n0),，H(n1)，…,，H(nk),，…，H(np-1)]T為導(dǎo)頻位置上的信道衰落系數(shù),；P×1矩陣Wp=SW,；np=Sn為導(dǎo)頻所在位置噪聲。對(duì)于接收端,，Yp,、Xp、Wp均為已知信號(hào),，因此接收端通過一定的算法能得到向量h，信道頻域響應(yīng)可由式(4)得出：

　　H=Wh(4)

　　導(dǎo)頻位置上信道估計(jì)方法中的最小二乘算法以觀測(cè)值與估計(jì)值之間加權(quán)誤差最小為原則,，利用LS估計(jì)導(dǎo)頻所在位置的信道頻域響應(yīng)為：

　　再以P,，LS為基礎(chǔ)，采用線性內(nèi)插的方式獲得所有子載波上信道頻域響應(yīng)LS,。

　　2 壓縮感知理論

　　已知某個(gè)信號(hào)是稀疏的或可在某個(gè)稀疏基下稀疏表示,，便可進(jìn)行壓縮感知。假設(shè)一個(gè)待壓縮有限長(zhǎng)信號(hào)x∈CN×1,，即x是復(fù)數(shù)空間C的N×1維列向量,，可用N×1維基向量{的線性組合表示，N×N維矩陣的列向量由得到,。x可表示為：

　　其中,，h=[h1，h2,，…,，hN]T為N×1維系數(shù)列向量，x和h可看作在不同域上的投影,。若h僅有k×N個(gè)非零系數(shù),，其他都是近似為零的小數(shù)值，則稱x是k-稀疏的,，?追稱為x的稀疏域,。已證明大部分信號(hào)都可以在某些變換域上投影為稀疏信號(hào)，從而為壓縮感知提供了前提。

　　根據(jù)壓縮感知理論,，可將稀疏信號(hào)x投影到一組基上,，得到M個(gè)投影值y，根據(jù)這M個(gè)投影值y就可以以極大概率恢復(fù)出信號(hào)x,，此時(shí)y可表示為,；

　　其中，準(zhǔn)為與追不相關(guān)的M×N維觀測(cè)矩陣,，Z=?準(zhǔn)?追為M×N維傳感矩陣,。接收端利用y的M個(gè)元素重建信號(hào)x，即從式(7)中求出x向量的N個(gè)元素,。由于式(7)中未知數(shù)數(shù)目多于方程組數(shù)目,，因此x的解不是唯一的。當(dāng)矩陣Z滿足受限等距條件（RIP）時(shí),，方程存在確定解,，即對(duì)任意?啄∈(0，1),，使Z對(duì)所有k稀疏信號(hào)x均滿足：

　　在最小l1范數(shù)下的最優(yōu)化問題成為基追蹤算法(BP)[7],。

　　3 基于壓縮感知的NC-OFDM系統(tǒng)的稀疏度自適應(yīng)估計(jì)算法

　　傳統(tǒng)的信道估計(jì)方法要求采樣值的個(gè)數(shù)滿足抽樣定理，才能根據(jù)式(3)中的采樣向量Yp和導(dǎo)頻符號(hào)Xp求解出信號(hào)在導(dǎo)頻位置上的頻域響應(yīng)Hp,，之后再進(jìn)行均衡等步驟完成信道估計(jì),。而在壓縮感知中，當(dāng)采樣向量Yp包含的元素個(gè)數(shù)小于導(dǎo)頻符號(hào)Xp的個(gè)數(shù)時(shí),，依然能夠利用一定的重構(gòu)算法恢復(fù)出Hp,。因此，在基于壓縮感知的信道估計(jì)中,，可利用少量的導(dǎo)頻實(shí)現(xiàn)信道估計(jì),，使得節(jié)省下來的子載波用來傳遞數(shù)據(jù)信息，提高系統(tǒng)吞吐量,。

　　在壓縮感知的重構(gòu)算法中,，傳統(tǒng)的貪婪迭代算法都不是自適應(yīng)的，需要預(yù)先估計(jì)稀疏信號(hào)的稀疏度K,，而且信號(hào)的重建精度也不能讓人滿意?，F(xiàn)實(shí)中，稀疏信號(hào)的稀疏度一般是未知的,，為了提高重建精度,，使算法具有自適應(yīng)性，參考文獻(xiàn)[8]提出了BAOMP算法,，該算法作為OMP算法的延伸,，采用了回溯迭代方法，通過在每一迭代步驟中自適應(yīng)地從冗余字典中增加或刪除原子，以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的重構(gòu),。

　　BAOMP算法首先自適應(yīng)地選取一些原子,，然后在接下來的處理中為了更準(zhǔn)確地確定支撐集，使用回溯策略移除某些選擇錯(cuò)誤的原子,，具體步驟如下：

　　輸入：M×N階觀測(cè)矩陣?準(zhǔn),，抽樣觀測(cè)向量y，預(yù)置的[0,，1]間增加原子的閾值?滋1,，預(yù)置[0，1]間刪除原子的閾值?滋2,，停止迭代的相關(guān)系數(shù)?著,，所允許的最大迭代次數(shù)nmax。

　　在該算法中,，∧是當(dāng)前迭代的支撐集,?準(zhǔn)∧由支撐集∧包含的列所對(duì)應(yīng)的觀測(cè)矩陣?準(zhǔn)的列向量組成,。與大多數(shù)OMP類型的算法一樣，該算法的第一步是選擇候選集Cn,，約束條件|Cn|≤M-|∧|用于保證的逆矩陣存在,。在第二步中，常數(shù)?滋2用于自適應(yīng)控制每次迭代刪除的原子數(shù),，這種貪婪算法的目的是尋找信號(hào)的k階系數(shù)表示,，其近似系數(shù)最大，從而可以減小誤差,。BAOMP算法使用上述回溯方法移除近似系數(shù)相對(duì)較小的原子，由于k并非是輸入?yún)?shù),，因此BAOMP算法的結(jié)束條件是||rn||2<?著或者迭代次數(shù)超過最大限值,。

　　BAOMP算法通過回溯的方法修正支撐集，但它不像SP和CoSaMP算法每次增添或刪除固定數(shù)目的原子,，而是通過當(dāng)前信號(hào)的特征自適應(yīng)地選擇增添或刪除一些原子,。即如果k較小，則較少數(shù)目的原子被增添或刪除,；如果k較大,，則較多數(shù)目的原子被增添或刪除。而且BAOMP算法在選擇了大多數(shù)的正確原子之后,，選擇的原子數(shù)目會(huì)逐漸變少,，會(huì)加速收斂，因此BAOMP算法會(huì)在算法復(fù)雜度和重構(gòu)精度之間達(dá)到很好的平衡,?；厮葑粉櫴笲AOMP算法兩次核查所選原子的可靠性，第一次核查是在考慮到觀測(cè)向量與殘差的相關(guān)性時(shí)，第二次是在觀察支撐集∧的近似系數(shù)時(shí),，回溯調(diào)整會(huì)帶來更好的稀疏度重構(gòu)性能,。

　　4 仿真與性能分析

　　在NC-OFDM系統(tǒng)中，使用MATLAB進(jìn)行仿真分析,，參數(shù)如下：可用子載波數(shù)為500,，授權(quán)用戶占用子載波數(shù)為100，每一次傳輸信號(hào)時(shí)可用子載波位置隨機(jī),。采用梳狀導(dǎo)頻圖案,，導(dǎo)頻圖案在可用子載波間均勻放置。

　　在本實(shí)驗(yàn)中,，分別利用OMP,、ROMP、StOMP和BAOMP算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)估計(jì),。原始信號(hào)是長(zhǎng)度N=256的高斯或者二進(jìn)制稀疏信號(hào),，假設(shè)采樣點(diǎn)M=128。針對(duì)每一個(gè)稀疏度K,每個(gè)算法都進(jìn)行500次獨(dú)立重構(gòu)實(shí)驗(yàn),，并統(tǒng)計(jì)出其中成功重構(gòu)的次數(shù),，將成功重構(gòu)的次數(shù)除以實(shí)驗(yàn)總次數(shù)便可得到成功重構(gòu)的概率。當(dāng)原始信號(hào)和重構(gòu)信號(hào)的最大數(shù)量級(jí)差小于10-3時(shí),，則認(rèn)為重構(gòu)信號(hào)是準(zhǔn)確的,，即xi-x<10-3。

　　稀疏度K不同的情況下信號(hào)的準(zhǔn)確重構(gòu)率如圖1所示,。從圖1(a)可以看到,，對(duì)于高斯稀疏信號(hào)，BAOMP算法要優(yōu)于其他三種算法,，其他三種算法的重構(gòu)率當(dāng)稀疏度K≥40時(shí)開始衰落,，然而BAOMP在稀疏度K≤50之前幾乎仍然保持100%的重構(gòu)率。此外,，當(dāng)原始信號(hào)不夠稀疏時(shí),，BAOMP算法仍然有較高的重構(gòu)率，例如當(dāng)K=65時(shí),，其他算法的重構(gòu)率幾乎為0,，而BAOMP的準(zhǔn)確重構(gòu)率依然超過0.6。圖1(b)展示了二進(jìn)制信號(hào)的情況,，可見BAOMP的重構(gòu)性能依然是最好的,。

　　圖2是在稀疏度K=30的情況下，當(dāng)采樣點(diǎn)M不同時(shí),，對(duì)信號(hào)的準(zhǔn)確重構(gòu)率的影響,。實(shí)驗(yàn)步驟類似,，仿真結(jié)果表明BAOMP有著最好的重構(gòu)性能。

　　本文將壓縮感知技術(shù)應(yīng)用到NC-OFDM系統(tǒng)的信道估計(jì)中并分析了自適應(yīng)重構(gòu)算法BAOMP,。與壓縮感知中的OMP類型算法相比,，BAOMP算法可以移除先前選擇錯(cuò)誤的原子，可以比其他OMP類型的算法提供更好的重構(gòu)性能,。實(shí)驗(yàn)表明,，BAOMP算法在計(jì)算復(fù)雜度和重構(gòu)性能方面可以達(dá)到很好的平衡，而且在某些應(yīng)用中,，當(dāng)稀疏度K未知或者某些貪婪算法預(yù)估的K值不能達(dá)到預(yù)期時(shí),，應(yīng)用BAOMP可以達(dá)到很好的重構(gòu)效果。

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