0 引言

    傅里葉分析技術(shù)^[1]在分析時(shí)變非線性信號(hào)時(shí)存在無法表述信號(hào)的時(shí)頻局部特性的局限性^[2]。為了分析處理非平穩(wěn)信號(hào),，人們相繼提出了一系列新的信號(hào)分析方法：短時(shí)傅里葉變換^[3],、雙線性時(shí)頻分布^[4]、Gabor變換^[5],、小波分析^[6],、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換^[7]等。這些算法從不同程度上對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)變性給予了恰當(dāng)?shù)拿枋?，改進(jìn)了傅里葉分析的性能^[8],。然而，方法仍是全局范疇,，原因在于其信號(hào)分析性能取決于基函數(shù)的選取,，存在局限性。

    1998年Huang等人提出了一種全新的信號(hào)時(shí)頻分析方法——希爾伯特·黃變換(Hilbert-Huang Transform,，HHT)^[9],。該方法首先采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decom-position，EMD)算法將非平穩(wěn)信號(hào)逐級(jí)分解為若干個(gè)固有模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Function,，IMF)和一個(gè)殘余量,，然后再對(duì)各個(gè)IMF分量進(jìn)行希爾伯特變換(Hilbert Transform，HT)得到能夠準(zhǔn)確反映信號(hào)能量在空間(或時(shí)間)各尺度上的分布規(guī)律^[9]的Hilbert譜^[10],。EMD具有數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的自適應(yīng)性,，能分析非線性非平穩(wěn)信號(hào)，不受Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理^[11]制約等優(yōu)點(diǎn),。

    然而，Huang提出的基于篩分(Sifting)算法的EMD得到的IMF分量^[12]存在模態(tài)混疊(Mode Mixing,，MM)^[9],。模態(tài)混疊的出現(xiàn)不僅會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)假的時(shí)頻分布，也使IMF失去物理意義,。圍繞模態(tài)混疊的消除或抑制,，國(guó)內(nèi)外開展了一系列的研究，并獲得不同程度的效果,。本文分別針對(duì)一維和多維EMD抑制模態(tài)混疊,，總結(jié)歸納了相關(guān)研究取得的主要成果，指出了各方法抑制效果的改進(jìn)及仍有的不足。最后討論了相關(guān)研究及應(yīng)用未來的發(fā)展趨勢(shì),。

1 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解及模態(tài)混疊

    EMD自適應(yīng)的逐級(jí)分解^[13]過程中,，IMF必須滿足以下兩個(gè)條件：(1)信號(hào)極值點(diǎn)和零點(diǎn)數(shù)相同或相差一個(gè)；(2)由信號(hào)局部極大,、小值點(diǎn)擬合的上,、下包絡(luò)線的局部均值為零，也即上下包絡(luò)線關(guān)于時(shí)間軸局部對(duì)稱^[14],。設(shè)待分解信號(hào)為X(t),，EMD算法的計(jì)算步驟如下^[9]：

    式(1)說明EMD分解具有完備性^[9]，信號(hào)X(t)經(jīng)分解后還能通過所有IMF及剩余分量被精確重構(gòu)出來,。

    EMD在非線性非平穩(wěn)信號(hào)分析中具有顯著優(yōu)勢(shì),。與傳統(tǒng)時(shí)頻分析技術(shù)相比，EMD無需選擇基函數(shù),，其分解基于信號(hào)本身極值點(diǎn)的分布,。而算法本身缺少完整的理論基礎(chǔ)，在實(shí)際計(jì)算與應(yīng)用中還存在著許多不足,，包括模態(tài)混疊^[15],、端點(diǎn)效應(yīng)^[16]、篩分迭代停止標(biāo)準(zhǔn)^[12]等,。一般情況下,，每個(gè)固有模態(tài)函數(shù)只包含一種頻率成分，不存在模態(tài)混疊的現(xiàn)象,。但是,，當(dāng)信號(hào)中存在由異常事件(如間斷信號(hào)、脈沖干擾和噪聲等)引起的間歇(Intermittency)現(xiàn)象時(shí),，EMD的分解結(jié)果就會(huì)出現(xiàn)模態(tài)混疊^[9],。

2 集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

    為克服EMD的模態(tài)混疊，2009年Wu和Huang提出一種噪聲輔助信號(hào)分析方法——集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Ensemble EMD,，EEMD)^[17],。該算法利用EMD濾波器組^[18]行為及白噪聲頻譜均勻分布的統(tǒng)計(jì)特性^[19]，使Sifting過程信號(hào)極值點(diǎn)分布更趨勻稱,，有效抑制由間歇性高頻分量等因素造成的模態(tài)混疊,。設(shè)待分解信號(hào)為X(t)，EEMD算法的計(jì)算步驟如下^[17]：

    然而,，在EEMD中,，每個(gè)加噪信號(hào) hⁱ(t)獨(dú)立地被分解，使得每個(gè) hⁱ(t)分解后可能產(chǎn)生不同數(shù)量的IMF,，導(dǎo)致集合平均時(shí)IMF分量對(duì)齊困難,。此外，添加的白噪聲幅值和迭代次數(shù)依靠人為經(jīng)驗(yàn)設(shè)置，當(dāng)數(shù)值設(shè)置不當(dāng)時(shí),，無法克服模態(tài)混疊^[20],。雖然增加集合平均次數(shù)可降低重構(gòu)誤差，但這是以增加計(jì)算成本為代價(jià),，且有限次數(shù)的集合平均并不能完全消除白噪聲,，導(dǎo)致算法重構(gòu)誤差大，分解完備性差^[21],。

3 互補(bǔ)集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

    Yeh等于2010年提出了互補(bǔ)集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Complementary EEMD,，CEEMD)^[22]。該方法向原始信號(hào)中加入正負(fù)成對(duì)的輔助白噪聲,，在集合平均時(shí)相消,，能有效提高分解效率，克服EEMD重構(gòu)誤差大,、分解完備性差的問題,。設(shè)待分解信號(hào)為X(t)，CEEMD算法的計(jì)算步驟如下^[22]：

4 自適應(yīng)噪聲的完整集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

    為解決集合平均時(shí)IMF分量對(duì)齊問題,，TORRES M E等在2011年從分解過程和添加白噪聲上對(duì)CEEMD進(jìn)行改進(jìn),，提出了自適應(yīng)噪聲的完整集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Complete EEMD with Adaptive Noise，CEEMDAN)^[24],。設(shè)待分解信號(hào)為X(t),，定義操作算子Ek(·)來表示信號(hào)經(jīng)過EMD分解后得到的第k階固有模態(tài)分量，CEEMDAN算法可描述如下^[24]：

    Wu和Huang建議^[17]使用小振幅值來處理由高頻信號(hào)支配的數(shù)據(jù),，反之則增大噪聲幅值,。在分解過程中添加的是白噪聲經(jīng)EMD分解得到的各階IMF分量，最后重構(gòu)信號(hào)中的噪聲殘余比EEMD的結(jié)果小,，降低了篩選次數(shù),。另一方面，各組信號(hào)經(jīng)CEEMDAN分解出第一階固有模態(tài)分量后立即進(jìn)行集合平均,，避免了CEEMD中各組IMF分解結(jié)果差異造成最后集合平均難以對(duì)齊的問題,，也避免了其中某一階IMF分解效果不好時(shí)，將影響傳遞給下一階,，影響后續(xù)分解,。盡管如此，CEEMDAN仍然有一些需要改進(jìn)的方面^[23],，如 IMF仍包含殘余噪聲；在分解的早期階段,，信號(hào)會(huì)出現(xiàn)一些“虛假”模式,，導(dǎo)致在前兩階或三階模態(tài)中仍包含了大量的噪聲和信號(hào)的相似尺度^[24，26]。

5 改進(jìn)的自適應(yīng)噪聲集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

    針對(duì)CEEMDAN存在的殘余噪聲及“虛假”模式問題,，TORRES M E等試圖估計(jì)每次分解剩余分量r_k的“真實(shí)”平均包絡(luò),，進(jìn)一步提出了改進(jìn)算法^[23]。定義M(·)為對(duì)信號(hào)進(jìn)行局部包絡(luò)平均運(yùn)算,，即取信號(hào)上下包絡(luò)的平均值,；nⁱ(t)表示方差為1的零均值白噪聲。設(shè)待分解的信號(hào)為X(t),，改進(jìn)的CEEMDAN算法描述如下[23]：

    (6)判斷是否滿足終止條件,，若滿足，則停止分解,。

    與EEMD和CEEMDAN相比,，改進(jìn)的CEEMDAN引入局部包絡(luò)平均減小殘余噪聲；在分解過程中,，依次計(jì)算IMF,，保證了分解的完整性，信號(hào)重構(gòu)誤差更小,。但計(jì)算量過大,，實(shí)時(shí)性有待進(jìn)一步改進(jìn)^[23，27],。

6 多維經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解及其噪聲輔助的模態(tài)混疊抑制

    將EMD直接用于分解多通道信號(hào)時(shí)存在各通道IMF分量在數(shù)量和頻率尺度上難以對(duì)齊問題,，使得重構(gòu)后各通道信號(hào)難以保持信號(hào)原有的相位關(guān)系^[28]。Rehman等人在2010年提出了能夠同時(shí)處理多通道信號(hào)的多維經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Multivariate EMD,，MEMD)^[28],。在此基礎(chǔ)上，將白噪聲作為信號(hào)其中一維或多維加入進(jìn)行MEMD處理,，提出了噪聲輔助多維經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Noise Assisted MEMD,，NA-MEMD)^[29-30]。由于白噪聲具有頻譜均勻分布的統(tǒng)計(jì)特性,，該算法能有效抑制經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解存在的模態(tài)混疊,。

6.1 多元經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

    MEMD 的提出解決了多通道信號(hào)的模式校準(zhǔn)問題。但MEMD分解也會(huì)得到一些虛假分量,，仍存在模態(tài)混疊問題^[33],，影響對(duì)后續(xù)的特征提取。

6.2 噪聲輔助的多元經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

    NA-MEMD方法是EMD的多變量噪聲擴(kuò)展形式,，算法不但充分利用了MEMD處理白噪聲時(shí)具有的固定通帶的頻率特性,，而且加入額外的獨(dú)立白噪聲確保分解后信號(hào)與噪聲的IMF分量完全可分離。相較于基于EEMD分解的方法無需進(jìn)行IMF的集合平均,，提高了計(jì)算效率,，減小了噪聲干擾,，性能更為優(yōu)越^[33，34],。

7 結(jié)論

    EMD將信號(hào)進(jìn)行平穩(wěn)化處理的過程中存在模態(tài)混疊,，影響該方法的性能及應(yīng)用。本文圍繞模態(tài)混疊抑制,，總結(jié)歸納了一維及多維EMD研究方面的主要工作,。EEMD雖然能有效抑制模態(tài)混疊，但在分解過程中添加的輔助白噪聲最終需要增加集合平均次數(shù)來抵消,，計(jì)算耗時(shí)長(zhǎng),，重構(gòu)誤差大。CEEMD在抑制模態(tài)混疊的同時(shí)正負(fù)成對(duì)噪聲相消,，部分降低了殘留噪聲的影響,，減輕了集合平均抑制添加白噪聲的負(fù)擔(dān)，提高了計(jì)算效率,。CEEMDAN及其改進(jìn)方法在每次分解時(shí)添加白噪聲的IMF分量,，添加噪聲逐級(jí)減少，固有模態(tài)分量中殘留噪聲更少,，有效減小了重構(gòu)誤差,，且在分解的每個(gè)階段都有一個(gè)全局停止標(biāo)準(zhǔn)，分解效率最高,。MEMD對(duì)多維信號(hào)同時(shí)進(jìn)行分解,，確保了各通道IMF分量在數(shù)量和尺度上相匹配，重構(gòu)的各通道信號(hào)間的相位無畸變,。但由于其采用與EMD算法相一致的思想,， MIMF也會(huì)存在模態(tài)混疊。NA-MEMD通過引入輔助噪聲通道,，消除了MEMD中存在的模態(tài)混疊,，同時(shí)還保證了信號(hào)分解的完備性，分解性能最優(yōu),，但由于多維空間極值點(diǎn)包絡(luò)及局部均值的估計(jì)算法過于復(fù)雜,，計(jì)算量最大。特別是對(duì)空間單位球面的采樣顯著增加了采樣,，導(dǎo)致計(jì)算量快速增加,，分解效率最差。因而需要在計(jì)算精度和復(fù)雜度之間折衷考慮,。

    針對(duì)模態(tài)混疊抑制,，未來還可以從添加的輔助信號(hào)形態(tài)、發(fā)生模態(tài)混疊的IMF再處理及對(duì)信號(hào)濾波后再分解三個(gè)方面展開探索,。此外,，從理論上深入研究EMD處理過程中模態(tài)混疊發(fā)生的機(jī)理也有助于探索新的抑制方法,，提高EMD算法的精度和效率，提升其應(yīng)用水平和適應(yīng)范圍,。

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作者信息:

戴  婷1，張榆鋒1,，章克信2,，何冰冰1，朱泓萱1,，張俊華1

（1.云南大學(xué) 信息學(xué)院電子工程系,，云南 昆明650091；2.昆明醫(yī)科大學(xué)第二附屬醫(yī)院,，云南 昆明650031）